金愛(ài)兵

帶電體在電場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)是近幾年高考和高校自主招生考試的的熱點(diǎn)問(wèn)題.為應(yīng)對(duì)新的自主招生考試模式，筆者根據(jù)幾例自主招生考題和它的母題談帶電體在電場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)這一重要的模型.并將這一模型用于開(kāi)放式探究性復(fù)習(xí)課的課堂，這將有助于培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力、知識(shí)與方法的遷移能力、空間想象能力、總結(jié)歸納能力，更為突出的是培養(yǎng)學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中作圖這一技術(shù)素養(yǎng).

1.帶電體在點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)

母題1 已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，氫原子的核外電子在原子核的靜電力吸引下做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則電子運(yùn)動(dòng)形成的等效電流大小為多少？

解析 由庫(kù)侖力提供向心力有： ke2r2=m4π2T2r

得 T=2πremrk

根據(jù)電流的定義即可算出等效電流的大小，截取電子運(yùn)動(dòng)軌道的任一截面，在電子運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間T內(nèi)，通過(guò)這個(gè)截面的電荷量q=e，則有I=qt=eT=e22πr2mkmr.

考題1 （2011年華約自主招生）如圖1所示，帶電質(zhì)點(diǎn)P1固定在光滑的水平絕緣桌面上，在桌面上距離P1一定距離有另一個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)P2，P2在桌面上運(yùn)動(dòng)，某一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)P2的速度沿垂直于P1P2的連線方向，則（ ）.

A.若P1、P2帶同種電荷，以后P2一定做速度變大的曲線運(yùn)動(dòng)

B.若P1、P2帶同種電荷，以后P2一定做加速度變大的曲線運(yùn)動(dòng)

C.若P1、P2帶異種電荷，以后P2的速度大小和加速度大小可能都不變

D.若P1、P2帶異種電荷，以后P2可能做加速度、速度都變小的曲線運(yùn)動(dòng)

解析 答案：ACD.若P1、P2帶同種電荷，以后P2一定做加速度變小的曲線運(yùn)動(dòng).若庫(kù)侖力小于所需的向心力，P2圍繞P1做離心運(yùn)動(dòng)，以后P2做加速度、速度都變小的曲線運(yùn)動(dòng).若P1、P2帶異種電荷，某一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)P2的速度沿垂直于P1P2的連線方向，庫(kù)侖力的方向與帶電質(zhì)點(diǎn)P2的速度方向垂直，若正好滿足庫(kù)侖力等于向心力，P2圍繞P1做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以后P2的速度大小和加速度大小都不變.

考題2 一帶電量為Q的固定正點(diǎn)電荷在真空中形成的電場(chǎng)如圖2所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為q的微粒在此點(diǎn)電荷附近做周期為T(mén)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，微粒的重力不能忽略，求：

1.微粒的帶電性質(zhì).

2.微粒的軌跡所在平面及圓心O的位置

解析 1.微粒的靜電力和重力的合力提供向心力，異種電荷相互吸引，故微粒帶負(fù)電;

2.考慮重力的帶電體做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡在水平面內(nèi)，且圓心O在點(diǎn)電荷的正下方，設(shè)其離O點(diǎn)的距離為H;對(duì)于微粒受力分析如圖3所示.

由牛頓第二定律得mgtanα=m

4π2T2r ①

由幾何知識(shí)得r=Htanα ②

由①②得H=gT24π2

帶電體的軌跡所在平面為水平面，圓心O在Q下方 的位置.

本題的實(shí)質(zhì)上是圓錐擺模型.若使小球帶上- q 的負(fù)電荷，同時(shí)在懸點(diǎn)處置一電量為+Q 的正點(diǎn)電荷，合理選取參數(shù)，即可實(shí)現(xiàn)負(fù)電荷在某一平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng).還可以讓學(xué)生討論該帶電體的軌跡平面是否可以在固定點(diǎn)電荷的正上方;如果將固定點(diǎn)電荷換成負(fù)電荷，那么帶電體的電性及軌道又如何？

2.帶電體在輻向電場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)

母題2 如圖4所示，空間A 、B 兩點(diǎn)固定著一對(duì)等量正點(diǎn)電荷，今有一重力可忽略的帶電微粒在它們產(chǎn)生的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，帶電微粒在電場(chǎng)中所做的運(yùn)動(dòng)可能是（ ）.

A. 勻變速直線運(yùn)動(dòng) B. 類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)

C. 機(jī)械振動(dòng) D. 勻速圓周運(yùn)動(dòng)

解析 CD.從勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件出發(fā)思考，重力可忽略的帶電體要做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，等量異種電荷的電場(chǎng)對(duì)帶負(fù)電的帶電體施加一大小不變且方向指向圓心的電場(chǎng)力，電場(chǎng)力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.軌跡是在AB連線的中垂面內(nèi)以O(shè)為圓心的圓，但要使帶負(fù)電的帶電體在AB連線的中垂面內(nèi)具有一定的速度.

設(shè)兩同種點(diǎn)電荷帶電量為Q，之間距離為2a，另一在AB連線中垂面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷電量為-q，距O點(diǎn)的距離為x，速率為v.圓軌道處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為

E=2kQa2+x2·xa2+x2=2kQx（a2+x2）32

電場(chǎng)力提供向心力Eq=mv2x

得出v=（2kQq）12·x（a2+x2）34·m12，方向與電場(chǎng)方向垂直.

3.帶電體在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的約束軌道做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)

母題3 水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，用長(zhǎng)為R的輕質(zhì)細(xì)線在O點(diǎn)懸掛一質(zhì)量為m的帶電小球，靜止在A處，AO的連線與豎直方向夾角為37°，現(xiàn)給小球施加一個(gè)沿圓弧切線方向的初速度v0，小球便在豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，為使小球能在豎直面內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)，這個(gè)初速度v0至少應(yīng)為多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

解析 靜止時(shí)對(duì)球受力分析如右圖，且F=mgtan37°=34mg

等效場(chǎng)力F′=（mg）2+F2=54mg，方向與細(xì)線拉力方向相反，

等效加速度g′=54g，與重力場(chǎng)相類(lèi)比可知，小球能在豎直面內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度位置在AO連線B處，且最小的速度vB′=g′R，從B到A運(yùn)用動(dòng)能定理，可得F′·2R=12mv20-12mv2B，得v0=52gR.

考題3 （2013年北約試題）如圖所示，在水平O-xy 坐標(biāo)平面的第Ⅰ象限上，有一個(gè)內(nèi)外半徑幾乎同為R、圓心位于x=R、y=0處的半圓形固定細(xì)管道，坐標(biāo)平面上有電場(chǎng)強(qiáng)度沿著y軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).帶電質(zhì)點(diǎn)P在管道內(nèi)，從x=0、y=0位置出發(fā)，在管道內(nèi)無(wú)摩擦地運(yùn)動(dòng)，其初始動(dòng)能為Eko.P運(yùn)動(dòng)到x=R、y=R位置時(shí)，其動(dòng)能減少了二分之一.

1.試問(wèn)P所帶電荷是正的，還是負(fù)的？為什么？

2.P所到位置可用該位置的x坐標(biāo)來(lái)標(biāo)定，試在2R

≥x≥0范圍內(nèi)導(dǎo)出 P 的動(dòng)能Ek隨x變化的函數(shù).

3.P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受管道的彈力FN也許是徑向朝里的（即指向圓心的），也許是徑向朝外的 （即背離圓心的）.通過(guò)定量討論，判定在 2R≥x≥0 范圍內(nèi)是否存在FN徑向朝里的x

取值區(qū)域，若存在，請(qǐng)給出該區(qū)域;繼而判定在2R≥x≥0范圍內(nèi)是否存在FN徑向朝外x取值區(qū)域，若存在，請(qǐng)給出該區(qū)域.

解析 1.帶電質(zhì)點(diǎn) P在管道內(nèi)無(wú)摩擦地運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能減少，電勢(shì)能增加，電場(chǎng)力做負(fù)功，故該帶電質(zhì)點(diǎn)帶負(fù)電（-q）.

2.設(shè)P運(yùn)動(dòng)到某一位置坐標(biāo)為（x，y），由（x-R）2+y2=R2 ①根據(jù)能量守恒，EqR=12EK0.②-Eqy=EK-EK0. ③聯(lián)立①②③得EK=[1-12xR（2-xR）]EKo ④.

3. 根據(jù)題意判斷該帶點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性，只需討論0≤x≤R范圍即可.

設(shè)P運(yùn)動(dòng)到某一位置坐標(biāo)為（x，y），質(zhì)點(diǎn)和（R，0）點(diǎn)連線與豎直方向夾角為θ，假設(shè)彈力FN的方向徑向朝里.FN+Eqcosθ=mv2R ⑤ 當(dāng)x=0，cosθ=0 ⑥ v是最大值，此位置的彈力FN為最大值，有FNmax=mv2R=2EK0R>0，而后x增大，mv2R減小，Eqcosθ增大，F(xiàn)N減小，當(dāng)x=R時(shí)，mv2R達(dá)最小值，Eqcosθ達(dá)最大值為Eq，此位置的彈力FN為最小值，F(xiàn)Nmin=EK0R-EK02R=EK02R>0，即得0≤x≤R區(qū)域內(nèi)有FN>0，故FN的方向徑向朝里.根據(jù)對(duì)稱性，0≤x≤2R 范圍內(nèi)FN徑向朝里，不存在FN徑向朝外的取值范圍.

這個(gè)模型可以轉(zhuǎn)化成軌道在豎直平面內(nèi)，不受電場(chǎng)力，在重力和彈力的作用做變速圓周運(yùn)動(dòng)，那么這個(gè)模型就是考生比較熟悉的“雙軌約束”模型.如果將本題改編為將圓軌道放在豎直平面內(nèi)且考慮帶電體的重力，也可以運(yùn)用相同的方法解決.

電場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)類(lèi)型較多，無(wú)論有無(wú)外界約束軌道、無(wú)論是否勻速率，解題的關(guān)鍵就是對(duì)向心力來(lái)源的分析以及對(duì)軌跡平面、圓心、半徑的確定，根據(jù)牛頓定律和能量知識(shí)列方程，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行討論解答.本文著重例析幾種不同電場(chǎng)情境中的圓周運(yùn)動(dòng)，在課堂中采用開(kāi)放探究教學(xué)，以提高學(xué)生的綜合能力.