“矩陣與變換”內(nèi)容不多，卻在高考中占“一席之地”.那么，在高考中涉及這個(gè)內(nèi)容的考點(diǎn)有哪些呢？就讓本文來(lái)告訴你！

考點(diǎn)一、矩陣的相關(guān)概念

例1 設(shè)矩陣M=x-11

0q-1，N=

21-p

y2+y2，若M=N，求x，y，p，q.

分析：題中涉及x，y，p，q四個(gè)未知量，可根據(jù)M=N列出4個(gè)方程，解方程組求值即可.

解：因?yàn)镸=x-11

0q-1，

N=21-p

y2+y2，且M=N，

所以x-1=2

y2+y=0

1-p=1

q-1=2，解得x=3，y=0或-1，p=0，q=3.

評(píng)注：解方程（組）是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本運(yùn)算，因此對(duì)一元二次方程根的求法，消元法解方程組要熟練掌握，避免出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

考點(diǎn)二、二階矩陣與平面向量乘法的應(yīng)用

例2 已知在二階矩陣M對(duì)應(yīng)變換的作用下，四邊形ABCD變成四邊形A′B′C′D′，其中A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），A′（3，-3），B′（1，1），D′（-1，-1）.

（1）求出矩陣M;

（2）確定點(diǎn)D及點(diǎn)C′的坐標(biāo).

分析：已知在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下A→A′，B→B′，由此可求出矩陣M，再由矩陣M可求出點(diǎn)D及C′的坐標(biāo).

解：（1）設(shè)M=ab

cd，則有ab

cd1

1=3

-3，ab

cd-1

1=1

1

故a+b=3

c+d=-3

-a+b=1

-c+d=1，解得a=1，b=2，c=-2，d=-1，∴M=12

-2-1.

（2）由12

-2-1-1

-1=-3

3知，C′（-3，3），

由12

-2-1x

y=-1

-1得，

x+2y=-1

-2x-y=-1，解得x=1

y=-1.∴D（1，-1）.

評(píng)注：1.本例中已知“前”點(diǎn)，“后”點(diǎn)求M是解題的關(guān)鍵，根據(jù)二階矩陣與平面向量的乘法列出方程組后求矩陣.2.第（2）問(wèn)中點(diǎn)D是“前”點(diǎn)，點(diǎn)C′是“后”點(diǎn).解題過(guò)程中一定要分清，順序顛倒是易犯的錯(cuò)誤.

考點(diǎn)三、二階矩陣與曲線的變換

例3 變換T是將平面上每個(gè)點(diǎn)M（x，y）的橫坐標(biāo)乘2，縱坐標(biāo)乘4，變到點(diǎn)M′（2x，4y）.

（1）求變換T的矩陣;

（2）圓C：x2+y2=1在變換T的作用下變成了什么圖形？

分析：本例已知變換T前后點(diǎn)的坐標(biāo)，故先求出變換T的矩陣后，再利用此矩陣可求出圓C變換后的曲線方程，從而判斷圖形形狀.

解：（1）設(shè)變換T的矩陣為A，由已知得T：

x′

y′=Ax

y=2x

4y=20

04x

y

∴變換T的矩陣是20

04

（2）由x′=2x，y′=4y，得x=12x′，y=14y′，

代入方程x2+y2=1，得14x′2+116y′2=1，

∴圓C：x2+y2=1在變換T的作用下變成了橢圓x24+y216=1.

評(píng)注：1.本例（1）中通過(guò)前后點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系觀察得出矩陣，也可以設(shè)出矩陣A=ab

cd，列出方程組后求a，b，c，d，從而求出矩陣A;2.求出變換后的曲線方程后含有x′，y′，最后下結(jié)論時(shí)應(yīng)改為用x、y表示.

考點(diǎn)四、逆矩陣的求法及其應(yīng)用

例4 已知A=1-2

2-1，

（1）求逆矩陣A-1;

（2）若矩陣X滿足AX=1

-1，求矩陣X.

分析：本題可直接利用公式求逆矩陣.

解：（1）|A|=1×（-1）-（-2）×2=3，

∴A-1=-1323

-2313.

（2）∵AX=1

-1，∴X=A-11

-1=-1323

-23131

-1=-1

-1.

評(píng)注：求逆矩陣的方法各有千秋，有方程思想的體現(xiàn)，有公式法的簡(jiǎn)潔展現(xiàn)，有線性變換的巧妙揭示，解題過(guò)程中應(yīng)根據(jù)題目條件特點(diǎn)，恰當(dāng)選取最優(yōu)方法解題.

考點(diǎn)五、二階矩陣的運(yùn)算在線性變換中的應(yīng)用

例5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）.設(shè)k為非零實(shí)數(shù)，矩陣M=k0

01，N=01

10.點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到的點(diǎn)分別為A1、B1、C1，△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求k的值.

分析：計(jì)算出MN是解答本題的基礎(chǔ)，再分別求出A1、B1、C1的坐標(biāo)，求出面積，最后根據(jù)面積關(guān)系求k值.

解：∵M(jìn)N=k0

0101

10=0k

10，

又∵點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，0），（-2，0），（-2，1），

∴0k

100

0=0

0，

0k

10-2

0=0

-2，

0k

10-2

1=k

-2，

∴A1（0，0），B1（0，-2），C1（k，-2）.

∵△ABC的面積是1，而△A1B1C1的面積是|k|，∴|k|=2×1=2，∴k=±2.

評(píng)注：通過(guò)本例可以進(jìn)一步體會(huì)矩陣的乘法在線性變換中的應(yīng)用.此外，求三角形面積要靈活確定三角形的底和高.

考點(diǎn)六、求矩陣的特征值，特征向量

例6 求矩陣21

12的特征值及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量.

分析：求矩陣的特征值與特征向量可按照相應(yīng)的步驟進(jìn)行，先寫(xiě)出特征多項(xiàng)式，并求出特征值.

解：特征多項(xiàng)式f（λ）=λ-2-1

-1λ-2=（λ-2）2-1=λ2-4λ+3，

由f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=3，將λ1=1代入特征方程組，得-x-y=0

-x-y=0，

即x+y=0，可取1

-1為屬于特征值λ1=1的一個(gè)特征向量，

同理，λ2=3時(shí)，由x-y=0

-x+y=0，即x-y=0，所以可取1

1為屬于特征值λ2=3的一個(gè)特征向量.

綜上所述，矩陣21

12有兩個(gè)特征值λ1=1，λ2=3;屬于λ1=1的一個(gè)特征向量為1

-1，屬于λ2=3的一個(gè)特征向量為1

1.

評(píng)注：求矩陣的特征向量及特征值時(shí)，準(zhǔn)確寫(xiě)出特征多項(xiàng)式，解出特征方程的根是解題的前提.列出線性方程組后，根據(jù)系數(shù)特點(diǎn)恰當(dāng)賦值求出特征向量，最后注意特征向量與特征值對(duì)應(yīng)要準(zhǔn)確.

考點(diǎn)七、Anα簡(jiǎn)單表示

例7 若10

21A=12

18，α=-3

-1.求A2α.

分析：本題涉及矩陣的乘法運(yùn)算，Anα的表示，求出矩陣A后，將α用ξ1，ξ2線性表示，即α=t1ξ1+t2ξ2，再利用公式Anα=t1λn1ξ1+t2λn2ξ2，求A2α，也可以直接求出A2后求A2α.

解：令M=10

21，∴|M|=1×1-0×2=1，

∴M-1=10

-21，

∴A=M-112

18

=10

-2112

18

=12

-14.

方法一：矩陣A的特征多項(xiàng)式為

f（λ）=λ-1-2

1λ-4=λ2-5λ+6，

令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3.

當(dāng)λ1=2時(shí)，得α1=2

1;

當(dāng)λ2=3時(shí)，得α2=1

1，

又∵α=-2α1+α2，

∴A2α=A2（-2α1+α2）=-2A2α1+A2α2

=-2λ21α1+λ22α2=-232

1+321

1=-7

1.

方法二：A2=12

-1412

-14=-110

-514，∴A2α=-110

-514-3

-1=-7

1.

評(píng)注：對(duì)于求解Anα的問(wèn)題，一般可利用矩陣A的特征值求特征向量來(lái)解決，對(duì)n較小的情況，也可直接采用矩陣乘法來(lái)解決.

（作者：王佩其，太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)）

（上接第23頁(yè)）

了說(shuō)理深刻，論證有力。

佳作展示

遠(yuǎn)見(jiàn)方能遠(yuǎn)行

韓非子云：“智術(shù)之士，必遠(yuǎn)見(jiàn)而明察。”這句話告訴我們，在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中，如果把目光放在當(dāng)下，就會(huì)出現(xiàn)偏差，唯有遠(yuǎn)見(jiàn)方能遠(yuǎn)行。起錨前點(diǎn)一盞燈火于河岸，能幫助你驅(qū)散返航時(shí)的黑暗;外出時(shí)攜帶一把雨傘，能幫助你遮擋突如其來(lái)的大雨。這是認(rèn)知的遠(yuǎn)見(jiàn)性在生活中的智慧體現(xiàn)。

遠(yuǎn)見(jiàn)，是立命安身之法寶;遠(yuǎn)見(jiàn)，是立功成事之良方。因此，人生當(dāng)有遠(yuǎn)見(jiàn)，方能正確認(rèn)識(shí)當(dāng)下的情形，從而趨利避害。“飛鳥(niǎo)盡，良弓藏;狡兔死，走狗烹”，輔佐勾踐滅掉吳國(guó)的范蠡，預(yù)見(jiàn)到了自己將來(lái)的結(jié)局，于是卸下榮華富貴的鎧甲，乘一葉扁舟，出三江而入五湖，居于陶而成巨富?！案咧?，廣積糧，緩稱王”，朱元璋采納了謀士朱升的建議，不急于張揚(yáng)樹(shù)敵，發(fā)展生產(chǎn)，擴(kuò)充軍備，徐圖緩進(jìn)。二十年后，他登上大明皇帝的寶座，四海臣服。

因?yàn)檫h(yuǎn)見(jiàn)，他們能夠深思熟慮，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，因而不被眼前的利益所誘惑，察人之所未察，行人之所未行，成就精彩人生。

不僅一個(gè)人要有遠(yuǎn)見(jiàn)，一個(gè)團(tuán)體、一個(gè)企業(yè)、一個(gè)政府……都要有遠(yuǎn)見(jiàn)。

因?yàn)槿狈h(yuǎn)見(jiàn)的認(rèn)識(shí)帶來(lái)的是百害而無(wú)一益的行為，最終損害的是國(guó)家和人民的形象。如果有遠(yuǎn)見(jiàn)就會(huì)自覺(jué)遵守體育賽場(chǎng)的規(guī)則，中國(guó)羽毛球隊(duì)也不至于在倫敦奧運(yùn)會(huì)中因?yàn)橐粓?chǎng)消極比賽被取消參賽資格;如果有遠(yuǎn)見(jiàn)，在城市規(guī)劃時(shí)就會(huì)考慮到排水系統(tǒng)的重要性，也不至于一場(chǎng)傾盆暴雨，讓北京一夜之間成為澤國(guó);如果有遠(yuǎn)見(jiàn)，就會(huì)呵護(hù)草木、保護(hù)耕田，也不至于一陣大風(fēng)，讓北方城市沙塵漫天。

因?yàn)槿狈h(yuǎn)見(jiàn)的認(rèn)識(shí)帶來(lái)的是浪費(fèi)資源、損害人民健康的行為，最終降低的是企業(yè)和商家的信譽(yù)。某一知名食品集團(tuán)采用喂食“瘦肉精”的生豬當(dāng)原料，致使人們?cè)匐y相信號(hào)稱經(jīng)過(guò)“十八道檢驗(yàn)工序”的食品的安全性;肯德基在產(chǎn)品中使用了喂食激素的“速成雞”，即便開(kāi)展“雷霆行動(dòng)”的整治措施，又如何能完全打消人們心中的疑慮？以“有點(diǎn)甜”為榮的農(nóng)夫山泉受困于“水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”的一片質(zhì)疑聲中，致使人們普遍感覺(jué)農(nóng)夫山泉“有點(diǎn)懸”。

“人無(wú)遠(yuǎn)慮，必有近憂?！痹谡J(rèn)識(shí)事物時(shí)，我們要把目光放得遠(yuǎn)一點(diǎn)，少一些短視，少一點(diǎn)狹隘，因?yàn)檫h(yuǎn)見(jiàn)方能遠(yuǎn)行。

[點(diǎn)評(píng)]

本文以韓非子的名言和形象化說(shuō)理引出觀點(diǎn)“遠(yuǎn)見(jiàn)方能遠(yuǎn)行”，主體部分采用正反對(duì)比，先從正面列舉范蠡和朱元璋的事例，論述遠(yuǎn)見(jiàn)的意義，接著從反面批判當(dāng)今社會(huì)存在的各種缺乏遠(yuǎn)見(jiàn)的現(xiàn)象，最后提出希望，重申觀點(diǎn)。廣泛關(guān)注現(xiàn)實(shí)，深刻思考社會(huì)，是本文最突出之處。作者以敏銳的眼光，挖掘出社會(huì)上的種種短視行為，予以一針見(jiàn)血的批判，鞭辟入里，發(fā)人深省，體現(xiàn)了作者強(qiáng)烈的憂患意識(shí)和良好的思辨能力。