曹利紅，徐志京

（上海海事大學(xué) 信息工程學(xué)院，上海 201306）

圖像復(fù)原技術(shù)的發(fā)展始于二十世紀(jì)五十年代的空間探索，人們期待有一種技術(shù)能夠彌補(bǔ)和找回由于圖像獲取以及傳輸系統(tǒng)不完善而造成的圖像降質(zhì)。任何一種因素造成的圖像降質(zhì)都會(huì)降低科學(xué)價(jià)值，同時(shí)也是巨大的經(jīng)濟(jì)損失。因此，“數(shù)字圖像復(fù)原”技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生?，F(xiàn)代圖像復(fù)原技術(shù)理論與實(shí)際應(yīng)用上都較為成熟，根據(jù)數(shù)據(jù)處理域的不同可以分為基于時(shí)域、基于頻域和基于小波域的方法等。

常用的頻域方法主要有：逆濾波法、Wiener濾波法、約束最小二乘法；時(shí)域方法主要有：凸集投影法、最大熵復(fù)原算法、受限制自適應(yīng)復(fù)原算法。

近年來(lái)，一種新型信息處理理論——壓縮感知理論又稱壓縮傳感理論 （Compressed Sensing or Compressed Sampling，CS）出現(xiàn)，它是由著名的數(shù)學(xué)家D.Donoho與E.Candes在2006年提出的[1-2]。壓縮感知理論突破了傳統(tǒng)Nyquist信號(hào)采樣定理的限制，它指出，只要信號(hào)是可壓縮的或在某個(gè)變換域是稀疏的，那么就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將變換所得高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，然后通過(guò)求解一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題就可以從這些少量的投影中以高概率重構(gòu)出原信號(hào)，可以證明這樣的投影包含了重構(gòu)信號(hào)的足夠信息。在該理論框架下，采樣速率不決定于信號(hào)的帶寬，而決定于信息在信號(hào)中的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容。

壓縮感知信號(hào)重構(gòu)部分與圖像復(fù)原都要解決“反問(wèn)題”[3]，這很自然讓人聯(lián)想到是否可以將壓縮感知理論運(yùn)用于圖像復(fù)原領(lǐng)域。事實(shí)證明，基于壓縮感知理論的圖像復(fù)原效果優(yōu)于傳統(tǒng)圖像復(fù)原方法，且降低了算法復(fù)雜度，節(jié)約了存儲(chǔ)空間與傳輸成本，這使得壓縮感知理論在圖像復(fù)原領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景。目前壓縮感知理論已經(jīng)在圖像復(fù)原領(lǐng)域得到了初步應(yīng)用，例如，基于圖像復(fù)原領(lǐng)域ROF模型[4]的總變分重構(gòu)方法和已應(yīng)用于圖像復(fù)原領(lǐng)域的迭代閾值法等。

文中將建立基于壓縮感知的圖像復(fù)原模型，選取小波基作為變換基，高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣作為觀測(cè)矩陣，OMP算法作為信號(hào)重構(gòu)算法對(duì)圖像進(jìn)行復(fù)原，并用MATLAB進(jìn)行仿真，對(duì)比傳統(tǒng)圖像復(fù)原和基于壓縮感知理論的圖像復(fù)原效果。

1 壓縮感知原理簡(jiǎn)介

壓縮感知理論主要分成3個(gè)核心步驟：稀疏性變換、觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)、信號(hào)重構(gòu)算法設(shè)計(jì)。如圖1為基于壓縮感知理論的信號(hào)重構(gòu)過(guò)程框圖。

圖1 基于壓縮感知理論的信號(hào)重構(gòu)過(guò)程框圖Fig.1 Structure diagram of compressed sensing signal reconstruction

設(shè)有一信號(hào)（X∈RN），可以作 N×1 維列向量，元素為[n]，n=1，2，…，N。若RN空間的任何信號(hào)都可以用N×1維的正交基向量{Ψi}Ni=1的線性組合表示，把向量{Ψi}Ni=1作為列向量形成N×N維的基矩Ψ=[Ψ1，Ψ2，…ΨN]，于是任何信號(hào)X都可表示為：

其中Θ是投影系數(shù)。顯然，X和Θ是同一個(gè)信號(hào)的等價(jià)表示，是信號(hào)在時(shí)域的表示，Θ則是信號(hào)在Ψ域的表示。如果的非零個(gè)數(shù)K比N小很多（即K＜＜N），則表明該信號(hào)在域是可壓縮的（也稱稀疏的）?？梢杂靡粋€(gè)與變換基Ψ不相關(guān)的觀測(cè)基Φ（M×N維，且M＜＜N）對(duì)系數(shù)向量進(jìn)行線性變換，并得到M×1維觀測(cè)集合Y，其中

信號(hào)的稀疏表示和觀測(cè)過(guò)程也可以表示為信號(hào)X通過(guò)矩陣ACS進(jìn)行非自適應(yīng)觀測(cè)，即有

其中，ACS稱為CS信息算子。

當(dāng) ACS滿足 RIP（restricted isometric property）等距約束條件[5]，從觀測(cè)集合Y中重構(gòu)原始信號(hào)X則轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題：

2 基于壓縮感知的圖像復(fù)原模型

圖像復(fù)原關(guān)鍵問(wèn)題是要建立退化模型。假設(shè)f（x，y）為原始圖像，g（x，y）為退化圖像，（x，y）為復(fù)原圖像，n（x，y）為噪聲，H[·]是綜合所有退化因素的系數(shù)，則圖像退化和復(fù)原過(guò)程的空間域模型如圖2所示。

圖2 圖像退化和復(fù)原模型Fig.2 Model of image degradation and recovery

基于壓縮感知的圖像復(fù)原模型如圖3所示。

圖3 基于壓縮感知理論的圖像復(fù)原模型Fig.3 Model of image degradation and recovery based on compressed sensing

根據(jù)壓縮感知理論，用測(cè)量矩陣Φ對(duì)退化圖像g（x，y）進(jìn)行頻域隨機(jī)測(cè)量，之后經(jīng)過(guò)反卷積復(fù)原圖像。在此，我們考慮圖像退化模型

其中，Φ∈RK×N，K＜＜N 被稱為 CS 觀測(cè)矩陣。

從K×1維的觀測(cè)信號(hào)y中復(fù)原N×1維的信號(hào)f是一個(gè)不確定系統(tǒng)，然而，壓縮感知理論表明，如果信號(hào)f在Ψ域能進(jìn)行稀疏變換并且觀測(cè)矩陣與稀疏變換基不相關(guān)，我們就可以從小部分非完整觀測(cè)數(shù)據(jù)中精確或者高概率重構(gòu)信號(hào)[6]。由此，我們得到

其中，Ψ－1是一個(gè)快速稀疏變換，Ψ而是它的逆。這就是基于壓縮感知理論的圖像退化模型。

那么基于壓縮感知理論的圖像復(fù)原模型為：

即圖像的復(fù)原中要解決的反變換問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了壓縮感知的信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題，這大大減少了采樣數(shù)據(jù)，節(jié)約了存儲(chǔ)空間。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果說(shuō)明

為了驗(yàn)證本文所提算法對(duì)退化圖像復(fù)原的有效性和實(shí)用性，對(duì)大量退化圖像進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，以下是部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果。以MATLAB2008a為仿真軟件，稀疏基選擇離散小波基，觀測(cè)矩陣選擇高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣，重構(gòu)算法選擇OMP算法。

首先以大小為的灰度圖像Lena為例，在原始圖像中加入均值為0，方差為0.001的高斯白噪聲，生成含噪圖像如圖4（a）所示，分別用高斯濾波、維納濾波以及本文所提CS圖像復(fù)原方法（其中采樣點(diǎn)數(shù)M=190）對(duì)退化圖像進(jìn)行重構(gòu)，結(jié)果分別如圖 4（b）、4（c）、4（d）所示。

圖4 含噪圖像以及復(fù)原圖像Fig.4 Blurred image and recovered image

其次，對(duì)混雜了高斯白噪聲的Lena、Cameraman、Barbara經(jīng)典圖像分別用高斯濾波、維納濾波以及CS圖像復(fù)原方法（M=190）進(jìn)行復(fù)原，分別測(cè)得的PSNR結(jié)果如表1。

根據(jù)表2，對(duì)比不同退化圖像在不同復(fù)原方法下的PSNR值，基于壓縮感知的復(fù)原圖像質(zhì)量高于傳統(tǒng)的圖像復(fù)原質(zhì)量。壓縮感知理論降低了圖像的采集量，避免了存儲(chǔ)空間的浪費(fèi)并提高了傳輸效率，同時(shí)又能有效地實(shí)現(xiàn)圖像重構(gòu)。

表1 三種退化圖像不同復(fù)原方法的PSNRTab.1 PSNR of three kinds of recovered method for degraded image

接下來(lái)，對(duì)由于“運(yùn)動(dòng)模糊”造成退化的圖像就行仿真研究，對(duì)比不同復(fù)原方法的優(yōu)劣性。依舊以大小為256*256的灰度圖像Lena為例，將原始圖像通過(guò)均衡濾波器，使圖像產(chǎn)生模糊，結(jié)果如圖5（a）所示。分別用高斯濾波、維納濾波以及本文所提CS圖像復(fù)原方法（其中采樣點(diǎn)數(shù)M=190）對(duì)退化圖像進(jìn)行重構(gòu)，結(jié)果分別如圖 5（b）、5（c）、5（d）所示。

圖5 含噪圖像以及復(fù)原圖像Fig.5 Blurred image and recovered image

依舊對(duì)通過(guò)均衡濾波器模糊了的 Lena、Cameraman、Barbara經(jīng)典圖像分別用高斯濾波、維納濾波以及CS圖像復(fù)原方法（M=190）進(jìn)行復(fù)原，分別測(cè)得的PSNR結(jié)果如表2。

表2 三種退化圖像不同復(fù)原方法的PSNRTab.2 PSNR of three kinds of recovered method for degraded image

根據(jù)表2，對(duì)比不同退化圖像在不同復(fù)原方法下的PSNR值，基于壓縮感知的復(fù)原圖像質(zhì)量高于傳統(tǒng)的圖像復(fù)原質(zhì)量。壓縮感知理論降低了圖像的采集量，避免了存儲(chǔ)空間的浪費(fèi)并提高了傳輸效率，同時(shí)又能有效地實(shí)現(xiàn)圖像重構(gòu)。

最后，文獻(xiàn)[7]定義了“峰值信噪比-采樣率”（“PSNRSampling Rate”）曲線，用于說(shuō)明圖像復(fù)原質(zhì)量與測(cè)量矩陣觀測(cè)數(shù)據(jù)量的關(guān)系。本文以Lena圖像為例，稀疏基選擇離散小波基，觀測(cè)矩陣選擇高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣，重構(gòu)算法選擇OMP算法，對(duì)應(yīng)不同采樣率（壓縮感知理論框架下采樣率定義為M/N）下圖像復(fù)原PSNR走勢(shì)如圖6所示。

圖6 圖像復(fù)原的壓縮感知"峰值信噪比-采樣率"曲線（Lena圖）Fig.6 "PSNR-Sampling Rate"curve of compressed sensing image recovery （Lena image）

由圖6可以看出，隨著采樣率的增大，復(fù)原圖像的PSNR值逐漸提高，變化程度趨于穩(wěn)定。

4 結(jié) 論

文中將基于小波變換的壓縮感知理論應(yīng)用于圖像復(fù)原領(lǐng)域，提出了基于小波變換的壓縮感知圖像快速?gòu)?fù)原算法模型，打破了傳統(tǒng)信號(hào)采樣受Nyquist采樣定理的限制，通過(guò)信號(hào)的稀疏變換來(lái)實(shí)現(xiàn)采樣和壓縮，大大降低了圖像存儲(chǔ)與傳輸成本，提高了圖像復(fù)原效率與主客觀復(fù)原質(zhì)量。通過(guò)

Matlab實(shí)驗(yàn)仿真，結(jié)果表明，本文所提圖像復(fù)原可以僅從較少的稀疏性觀測(cè)結(jié)果中對(duì)退化圖像進(jìn)行高概率復(fù)原并獲得了較好的復(fù)原效果，并且可以通過(guò)減少OMP重構(gòu)算法的迭代次數(shù)等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)復(fù)原速度的提升。

[1]Donoho D.Compressed Sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）:1289-1306.

[2]Candès E，RombergJ，Tao T.Robust uncertaintyprinciples:Exact signal reconstruction from highly incompletefrequency information[J].IEEETrans.Inform.Theory，2006，52（2）:489-509.

[3]JING Li-chen，TAN Shan.Development and prospect of image multiscale geometric analysis[J].Acta Electronica Sinica，2003，31（12A）：1975-1981.

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[5]Candès E，Tao T.Decoding by linear programming[J].IEEE Trans.Inf.Theory，2005，51（12）:4203-4215.

[6]Candès E，Romberg J，Tao T.Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurement[J].Commun.Pure Appl.Math.，2006，59（8）:1207-1223.

[7]Fiqueiredo M A T，Nowak R D，wheat SJ.Gradient projection for sparsereconstruction：application to compressed sensing and other inverse problems[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2007，1（4）：586-598.