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從兩種不同解法談發(fā)展學(xué)生的思維

2015-01-23 16:50張劉坤安國釵
關(guān)鍵詞:拋物線平行四邊形例題

張劉坤+安國釵

郅庭瑾先生指出:“無論使學(xué)生‘學(xué)會生存也好,‘學(xué)會關(guān)心‘學(xué)會學(xué)習(xí)也好,只有學(xué)會思維,學(xué)會創(chuàng)造性地思維才是最核心和最首要的.”美國教育大師杜威先生也指出:“學(xué)習(xí)就是要學(xué)會思維”,“教育在理智方面的任務(wù)是形成清醒的,細(xì)心的,透徹的思維習(xí)慣.”大師們?yōu)榻逃虒W(xué)指明了目標(biāo)與方向. 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),學(xué)數(shù)學(xué)離不開訓(xùn)練,離不開解題. 但訓(xùn)練的目的和側(cè)重點是解題的技能技巧還是解決問題的思維方法卻是一個重大的原則性問題.重在訓(xùn)練技能技巧可能會禁錮學(xué)生的思維,而重在訓(xùn)練思維卻會促進思維更好的發(fā)展. 本文就一個例題的兩種不同解法與各位同行交流對發(fā)展學(xué)生思維的若干思考.

一、題目呈現(xiàn)

如圖1,拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A,B兩點(A點在B點左側(cè)),直線l與拋物線交于A,C兩點,其中C點的橫坐標(biāo)為2.(1)求A,B兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;(2)P是線段AC上的一個動點,過P點作y軸的平行線交拋物線于E點,求線段PE長度的最大值;(3)點G是拋物線上的動點,在x軸上是否存在點F,使以A,C,F(xiàn),G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的F點坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

二、題目簡析

本題是一個以拋物線為背景的綜合題,第(1)問較簡單,第(2)問由點P的運動導(dǎo)致點E位置及線段PE長度的變化,可建立一個新的二次函數(shù),轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值.第(3)問是一個動態(tài)幾何問題,不但豐富了(1)(2)問中的數(shù)形結(jié)合思想,而且增加了分類討論思想.要使以A,C,F(xiàn),G四點為頂點的四邊形是平行四邊形,由于未說明頂點字母順序,因此需按頂點字母順序進行分類討論,F(xiàn),G是動點,故應(yīng)抓住定點A,C進行分類,A,C兩點是相鄰點(即AC為邊)或A,C兩點是相對點(即AC為對角線)進行討論.

三、兩種解法展示

解法1:①當(dāng)AC為邊時,F(xiàn)G平行且等于AC,F(xiàn),G有三種不同的位置關(guān)系.第一種(如圖2),F(xiàn)1G1平行且等于AC,過G1,C分別作x軸的垂線,垂足分別為M,N,易證△F1G1M≌△ACN,故G1M=CN=3,G1縱坐標(biāo)為3,把y=3代入拋物線解析式中,x2-2x-3=3,解得x1=1-■,x2=1+■,即可得出點G1的橫坐標(biāo)為1-■(第二種G2的橫坐標(biāo)為1+■,如圖3),由F1M=NA=3可知F1(4-■,0)(第二種F2(4+■,0));第三種(如圖4),CG3平行且等于AF3得G3(0,-3),F(xiàn)3(-3,0). ② 當(dāng)AC為對角線時(如圖5),CG4平行且等于AF4,得F4(1,0). 綜上所述,滿足條件的F點有四個,它們的坐標(biāo)分別是F1(4-■,0),F(xiàn)2(4+■,0),F(xiàn)3(-3,0),F(xiàn)4(1,0).

解法2:因為平行四邊形的對角線互相平分,運用中點坐標(biāo)公式,設(shè)F(m,0),G(x,x2-2x-3),分以下三種情況:

①當(dāng)A,F(xiàn)是相對點時,■=■,■=■,解得x1=1+■,m1=4+■或x2=1-■,m2=4-■.

②當(dāng)A,G是相對點時■=■,■=■,解得x=0(x=2時,點G與點C重合,舍去),m=-3.

③當(dāng)A,C是相對點時■=■,■=■,解得x=0(x=2時,舍去),m=1.

綜上所述,滿足條件的F點的坐標(biāo)為(4+■,0),(4-■,0),(-3,0),(1,0).

四、分析與討論

對于解法1,關(guān)鍵是先引導(dǎo)學(xué)生畫出滿足條件的圖形. 當(dāng)AC為邊時,向上平移AC,使點A不離拋物線. 當(dāng)點C平移到x軸上點F1時,點A平移到點G1位置,再可以把G1F1沿x軸向右平移. 當(dāng)點G1落在拋物線上點G2位置時,點F1平移到x軸上點F2,然后沿x軸向左平移AC. 當(dāng)點C平移到拋物線與 y軸交點G3(0,-3)時,點A平移到x軸上的點F3. 畫出圖形后,學(xué)生不難求出F3的坐標(biāo),而對于F1,F(xiàn)2的坐標(biāo),可抓住GF平行且等于AC,求點的坐標(biāo)可轉(zhuǎn)化為求線段長度. 因此過點G,C分別作x軸的垂線構(gòu)造全等三角形先求出點G的坐標(biāo),然后進一步求出點F的坐標(biāo). 當(dāng)AC為對角線時,根據(jù)平行四邊形對角線互相平分,則GF必經(jīng)過AC中點,由AF平行且等于CG,就可確定G與(0,-3)重合,再由AF=CG可得F4的坐標(biāo)為(1,0).該解法在數(shù)形結(jié)合思想的指引下,用變化的眼光去觀察和研究圖形. 在平移AC的過程中,以靜制動,最終捕捉、定格出符合條件的圖形,再結(jié)合圖形探求解題思路.中間用到了平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),而后通過列方程求出點G的坐標(biāo),再進一步求出點F的坐標(biāo). 這種解法的側(cè)重點是在解決問題的思維方法,讓學(xué)生經(jīng)歷問題逐步轉(zhuǎn)化,獲得解決思路的過程.

有的教師說,我是選擇解法2進行分析,因為按照解法1很多學(xué)生圖形都畫不出,下面構(gòu)造全等三角形就更加不會. 而解法2不用畫圖,只要分成三種情況,機械套用中點坐標(biāo)公式(列方程時甚至可以把分母2直接去掉),答案馬上出來了,方法快捷而實惠,何樂不為呢?答案是出來了,但是否少了什么?

確實,解法2是一種方法,學(xué)生掌握是件好事.但如果僅僅是為了求得問題結(jié)果而放棄解法1,那中間就缺失了太多的數(shù)學(xué)思維,而“培養(yǎng)思維能力、發(fā)展理性精神”是數(shù)學(xué)的育人本分.解題教學(xué)的目標(biāo)不僅僅是求得問題的結(jié)果,真正的目標(biāo)是提高學(xué)生分析問題,解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神. 這個目標(biāo)的達(dá)成,必須以學(xué)生親歷解題結(jié)果的探索過程,親歷對解題的主要思路,關(guān)鍵因素和解題方法的挖掘和概括過程為基礎(chǔ).解法1對學(xué)生盡管不能立竿見影,但思想方法非常深刻,不僅需要掌握坐標(biāo)與圖形相互轉(zhuǎn)換的知識和相關(guān)經(jīng)驗,還需要對其轉(zhuǎn)換具有深刻的理解和很強的應(yīng)用知識.解題過程中滲透的數(shù)形結(jié)合思想具有普遍意義,遷移能力強,是有思想的教學(xué),是發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué). 而解法2最后簡化為簡單的方法傳授,學(xué)生只會依葫蘆畫瓢,缺乏創(chuàng)新能力,結(jié)果在稍有變化的情境中,方法失靈,而出現(xiàn)“講過的不一定會,沒講過的一定不會”的情況.如下題(圖6),在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△AOB≌Rt△CDA,且A(-1,0),B(0,2),拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點C.(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線(對稱軸的右側(cè))上是否存在兩點P,Q,使四邊形ABPQ是正方形?若存在,求點P,Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.此題第(2)小題由原例題的平行四邊形變成了正方形,如果學(xué)生沒有從例題的解法1中獲取應(yīng)有的思維能力,而只“記住”了套用中點坐標(biāo)公式,那么根本應(yīng)付不了這變化了的問題,求不出結(jié)果也在所難免了.endprint

五、幾點思考

1.親歷問題解決 ? 暴露思維過程

數(shù)學(xué)活動歸根結(jié)底是思維活動,學(xué)生的思維能力只有在數(shù)學(xué)思維活動過程中,才能得以發(fā)展.因此,在解決問題的探索過程中,教師要設(shè)置具有挑戰(zhàn)性的問題,引導(dǎo)學(xué)生積極參與分析題意,啟發(fā)學(xué)生尋求解題思路. 讓學(xué)生用自己的語言把問題表達(dá)出來,盡量讓他們暴露分析問題和解決問題的思維過程,以便于總結(jié)分析問題的方法,提高解決問題的能力.如上述例題的解答過程中,先給學(xué)生機會嘗試畫出符合條件的平行四邊形. 學(xué)生往往會漏解,老師應(yīng)抓住契機及時讓學(xué)生總結(jié). 遇見哪些情形需要分類討論,分別怎樣確定分類標(biāo)準(zhǔn). 畫出平行四邊形求點的坐標(biāo)時,教師不要急于給出輔助線的作法,而是先讓學(xué)生思考怎樣作輔助線,為什么要這樣作. 不斷激發(fā)學(xué)生思維的積極性,發(fā)展學(xué)生思維.在教學(xué)過程中,如果只重結(jié)果輕過程,那就會損害數(shù)學(xué)思維過程的完整性,不利于思維能力的培養(yǎng),沒有過程的教學(xué)是把思維的體操降格為“刺激——反應(yīng)”訓(xùn)練. 是教學(xué)功利化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的集中體現(xiàn),為使數(shù)學(xué)教學(xué)成為“有思想的教學(xué)”,成為發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的舞臺,就必須堅持“重結(jié)果,更重過程”的原則.

2.優(yōu)化解題教學(xué) ? 強化思維訓(xùn)練

解題教學(xué)是運用數(shù)學(xué)概念,原理,尋找問題的條件,結(jié)論,將問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的表達(dá)方式,并連接相關(guān)知識領(lǐng)域通道的過程. 在解題思路的獲得過程中,我們需要通過學(xué)生的思維和操作活動,展現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的過程,理清相關(guān)知識領(lǐng)域連接的通道.數(shù)學(xué)教師應(yīng)尋找,抓住并利用好思維的關(guān)節(jié)點,如上述例題的教學(xué)中,為什么要分類,怎樣分類,如何畫出符合條件的平行四邊形?如何想到作垂線?怎樣求一個點的坐標(biāo)等都是解決該問題的關(guān)節(jié)點.抓住和利用好這些關(guān)節(jié)點,才能訓(xùn)練學(xué)生思維,促進思維更好地發(fā)展.而如果只是玩解題的技能技巧,那么學(xué)生學(xué)習(xí)就會停留在機械模仿的水平上.正如杜威先生所指出:“純粹的模仿,采用指定的步驟,機械式的練習(xí),均可能取得最快的效果,然后,對反省思維能力的增強,卻可能鑄成不可挽回的錯誤.”

3.學(xué)會數(shù)學(xué)思考 ? 積淀思維經(jīng)驗

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,讓學(xué)生愿意思考,會思考,思維真正參與其中是關(guān)鍵.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,善于問為什么,善于尋根究底,善于浮想聯(lián)翩和聯(lián)系推廣,是思維真正參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的重要方面.要使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考,首先從觀察入手,善于發(fā)現(xiàn)問題,如例題中畫出平行四邊形ACF1G1后,如果有一定的思維經(jīng)驗,通過觀察就會得到點G和點C縱坐標(biāo)的絕對值相等,其次學(xué)會運用歸納和類比進行猜想,并在猜想基礎(chǔ)上學(xué)會演繹證明,“點G和點C縱坐標(biāo)的絕對值相等”可以通過作垂線構(gòu)造全等三角形加以證明.“任何數(shù)學(xué)問題的解決都不是單一方法可以奏效的,常常是類比,歸納,演繹與直覺一起起作用,它們之間的關(guān)系是‘剪不斷,理還亂.”因此要為學(xué)生提供對具體事例進行觀察、比較、分析、歸納、概括的機會,使學(xué)生的思維深度參與到數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)和應(yīng)用中來,達(dá)到對知識實質(zhì)性的理解.幫助和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考,積淀思維經(jīng)驗,不僅是為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),更是為了學(xué)生一生的發(fā)展.日本米山國藏指出:在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識,畢業(yè)后若沒什么機會去用,一兩年后,很快就忘掉了.然而,不管他們從事什么工作,唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等,卻隨時隨地發(fā)生作用,使他們終生受益.endprint

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