□ 徐曉東

高職高專的數(shù)學(xué)課與中學(xué)、小學(xué)不同，這時(shí)的數(shù)學(xué)叫高等數(shù)學(xué)(亦稱數(shù)學(xué)分析)。高等數(shù)學(xué)主要講授的是動(dòng)態(tài)變化的量的計(jì)算問(wèn)題，如汽車運(yùn)行的瞬時(shí)速度，加速度等問(wèn)題都要通過(guò)高等數(shù)學(xué)來(lái)解決。這種計(jì)算變化量的方法最早是由牛頓等人整理并應(yīng)用的。資料顯示，英國(guó)劍橋大學(xué)辦學(xué)時(shí)，遇到了困難，教師的工資數(shù)月沒(méi)有發(fā)放，在這關(guān)鍵時(shí)刻，牛頓把多年計(jì)算變化動(dòng)態(tài)量的計(jì)算方法匯總整理，寫出一本書(shū)叫《高等數(shù)學(xué)》，并規(guī)定所有劍橋大學(xué)的學(xué)生都必須學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課，考試不及格，必須花高價(jià)補(bǔ)修補(bǔ)考，從此，劍橋大學(xué)又重新走向輝煌。由此可見(jiàn)，高等數(shù)學(xué)很重要也很難學(xué)。目前高職高專高等數(shù)學(xué)課也面臨著同樣的問(wèn)題，學(xué)生學(xué)習(xí)困難重重，每個(gè)高數(shù)教師憂心忡忡，急于找到破解之門。“擒賊擒王”，解決這一難題還要從高等數(shù)學(xué)的極限思想入手。因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)是由極限的思想和理論產(chǎn)生發(fā)展起來(lái)的，并以極限為工具刻劃了微分和積分以及無(wú)窮級(jí)數(shù)等無(wú)限過(guò)程的概念，通過(guò)有限到無(wú)限變化過(guò)程的描述，把直與曲，方與圓，變與不變等矛盾從代數(shù)與幾何的雙重角度分析，歸納使之化為辯證的統(tǒng)一，那么有限與無(wú)限過(guò)程是如何演變的，在教學(xué)中用什么方法來(lái)強(qiáng)化無(wú)限思想的教學(xué)呢?

縱觀各類高等數(shù)學(xué)資料分析，高等數(shù)學(xué)不但將研究范圍擴(kuò)大到無(wú)限，而且研究的手段也常常采用無(wú)限，例如求極限、導(dǎo)數(shù)、定積分都是一種無(wú)限的手段。它既能研究無(wú)限也能研究有限。其中，極限思想貫穿高等數(shù)學(xué)的始終，高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須通過(guò)極限關(guān)。德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾(H.Weyl 1885～1955)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)是關(guān)于無(wú)限的科學(xué)”。因此學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，有效地灌輸極限思想是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，一個(gè)學(xué)生只有建立起無(wú)限的思想，才能很好地利用極限思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。現(xiàn)實(shí)問(wèn)題就是如何讓學(xué)生理解并接受無(wú)限的思想，經(jīng)過(guò)多次教學(xué)實(shí)踐，筆者嘗試了下面的方法來(lái)解決這一問(wèn)題。

在講授高等數(shù)學(xué)知識(shí)之前，有必要先講授無(wú)限的思想(教科書(shū)中沒(méi)有的內(nèi)容)，使學(xué)生進(jìn)入到一個(gè)無(wú)限的思想空間。為此，采用了情景教學(xué)，虛構(gòu)了一個(gè)旅館，這個(gè)旅館有無(wú)限個(gè)房間(這需要學(xué)生想象)，每個(gè)房間僅住一位客人，而且每個(gè)房間都住人了(客滿)。假如你是旅館老板，你如何解決下面的問(wèn)題。

問(wèn)題1:旅館客滿后又來(lái)了一位客人，老板怎么安排呢?

在這里，教師要引領(lǐng)學(xué)生如何理解無(wú)限個(gè)房間的含義。我們首先利用學(xué)生中學(xué)學(xué)習(xí)的平面幾何知識(shí)來(lái)協(xié)助理解，向?qū)W生提問(wèn)，你見(jiàn)過(guò)直線嗎?事實(shí)上，沒(méi)有學(xué)生能回答這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)闆](méi)有人看見(jiàn)過(guò)直線。雖然沒(méi)有人看見(jiàn)過(guò)直線，但學(xué)生都理解直線，這是因?yàn)閷W(xué)生利用了自己的想象空間，能夠看到直線的無(wú)限性質(zhì)。當(dāng)人們有了對(duì)直線無(wú)限性質(zhì)的理解經(jīng)驗(yàn)，就很容易理解射線了。射線就是有起始點(diǎn)但沒(méi)有終點(diǎn)的線。利用類比的方法，這個(gè)有無(wú)限個(gè)房間的旅館就是一條射線(事實(shí)上，一個(gè)線段也有無(wú)限個(gè)點(diǎn))。解決問(wèn)題的方法是，讓1號(hào)房間的客人到2號(hào)房間，2號(hào)房間的客人到3號(hào)房間，3號(hào)房間到4號(hào)房間，依次類推，空出1號(hào)房間，安排客人，問(wèn)題就解決了?？梢?jiàn)，如果這是有限房間的旅館，就無(wú)法解決這個(gè)問(wèn)題了(具體安排方法如圖1所示)。

圖1

圖2

問(wèn)題2:旅館客滿后，又來(lái)了一個(gè)旅游團(tuán)，有無(wú)窮個(gè)客人，老板能安排嗎?

教師讓學(xué)生討論，一個(gè)無(wú)限的旅館，能否分成兩個(gè)無(wú)限的旅館?這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。同學(xué)們很容易想到，自然數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，每一類都有無(wú)限個(gè)數(shù)，既然如此，我們就找到了解決問(wèn)題的方法。老板需要重新安排原來(lái)的客人，方法是:將已經(jīng)入住的客人重新安排，1號(hào)到2號(hào)，2號(hào)到4號(hào)，3號(hào)到6號(hào)……k號(hào)到2k號(hào)……;接下來(lái)把新來(lái)的有無(wú)窮個(gè)客人的旅游團(tuán)分別安排在標(biāo)有奇數(shù)號(hào)碼的1號(hào)、3號(hào)、5號(hào)、……2k+1號(hào)房間就行了。如此處理，問(wèn)題便可以解決(具體安排方法如圖2所示)。

問(wèn)題3:客滿后來(lái)了1000個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)里都有無(wú)限個(gè)客人，老板怎么安排?

已經(jīng)入住的客人，1號(hào)到1001號(hào)、2號(hào)到2002號(hào)、3號(hào)到3003號(hào)……k號(hào)到k×1001號(hào)……這中間都留下1000個(gè)房間，每個(gè)旅游團(tuán)的第一號(hào)客人分別到第一個(gè)預(yù)留的1～1000號(hào)房間入住，每個(gè)旅游團(tuán)的第二號(hào)客人分別到第二個(gè)預(yù)留的1002～2001號(hào)房間入住，每個(gè)旅游團(tuán)的第三號(hào)客人分別到2003～3002號(hào)房間入住……以此類推，這1000個(gè)旅游團(tuán)就能入住了，而且原來(lái)的客人也入住了。

通過(guò)這樣的情景教學(xué)，能使學(xué)生了解到，有限空間無(wú)法解決的問(wèn)題，可以在無(wú)限的空間中解決。有了無(wú)限思想，運(yùn)動(dòng)就進(jìn)入了數(shù)學(xué)，辯證法也進(jìn)入了數(shù)學(xué);根據(jù)問(wèn)題1，當(dāng)老板讓1號(hào)客人到2號(hào)房間，2號(hào)客人到3號(hào)房間……運(yùn)動(dòng)就產(chǎn)生了，而且永無(wú)休止。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，運(yùn)動(dòng)解決了問(wèn)題，無(wú)限空間總能分成有限個(gè)無(wú)限空間。揭示本質(zhì)后，這個(gè)就是規(guī)律了，就可以推廣了。今后，來(lái)多少個(gè)旅游團(tuán)，都可以解決了。例如，來(lái)了10，000個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)旅游團(tuán)都有無(wú)限個(gè)客人怎么辦?把原來(lái)旅館的k號(hào)客人安排到10，001×k號(hào)房間即可;來(lái)了837個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)有無(wú)限個(gè)客人怎么辦?把原來(lái)旅館k號(hào)房間的客人安排到838×k號(hào)房間即可。要善于總結(jié)，善于發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)規(guī)律。

事實(shí)上，這個(gè)情景教學(xué)中的無(wú)限是可數(shù)的無(wú)限，是有規(guī)律可循的無(wú)限思想。關(guān)于有限與無(wú)限，康托(Cantor)在其實(shí)變函數(shù)論中用集合理論來(lái)實(shí)現(xiàn)的。例如，自然數(shù)集合是無(wú)限可數(shù)的集合，整數(shù)集合是可數(shù)的集合，有理數(shù)集合是可數(shù)的集合，而實(shí)數(shù)集合是不可數(shù)集合。對(duì)于不可數(shù)的無(wú)限還需要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。極限的思想方法是人們從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法，它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)。

掌握無(wú)限思想的目的是利用無(wú)限思想理解數(shù)學(xué)的極限思想。極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，高等數(shù)學(xué)就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級(jí)數(shù))為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問(wèn)題的步驟一般可概括為:對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量;最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。如果學(xué)生沒(méi)有建構(gòu)起無(wú)限思想，就無(wú)法理解并掌握極限思想，整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就困難了。極限思想是微積分的基本思想，高等數(shù)學(xué)中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來(lái)定義的。如果要問(wèn):“高等數(shù)學(xué)是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說(shuō):“高等數(shù)學(xué)就是用極限思想來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科”。

通過(guò)這樣的情景教學(xué)片斷，多數(shù)高職學(xué)生能對(duì)無(wú)限思想有了清醒的認(rèn)識(shí)，然后筆者不失時(shí)機(jī)地講授函數(shù)的極限思想，并在極限思想下，讓學(xué)生掌握函數(shù)的連續(xù)性，計(jì)算函數(shù)變化率的極限，從而引進(jìn)導(dǎo)數(shù)的概念，使整個(gè)微積分的學(xué)習(xí)變得輕松了。

［1］陸魁宏.關(guān)于認(rèn)識(shí)的有限性和無(wú)限性問(wèn)題的幾點(diǎn)體會(huì)［J］.科學(xué)社會(huì)主義，2006

［2］詹姆斯·卡斯 .有限與無(wú)限的游戲:一個(gè)哲學(xué)家眼中的競(jìng)技世界［M］.北京:電子工業(yè)出版社 ，2013

［3］杜江.無(wú)限思想與數(shù)學(xué)發(fā)展［J］.湖南教育(數(shù)學(xué)教師)，2007