石東洋, 閆鳳娜

(鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 河南 鄭州 450001)

Sobolev方程非協(xié)調(diào)混合有限元格式的收斂性分析

石東洋, 閆鳳娜

(鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 河南 鄭州 450001)

Sobolev方程; 新混合有限元方法; 全離散格式; 最優(yōu)誤差估計

0 引言

考慮如下Sobolev方程:

(1)

1 混合有限元的構(gòu)造

若q=∞,將積分換成ess sup.

定義有限元空間Vh及Wh如下:

其中:Qij=span{xrys:0≤r≤i,0≤s≤j};當(dāng)li?Ω時,[v]表示v跨過邊界li的跳度，而當(dāng)li??Ω時,[v]=v.

設(shè)Ih:v∈H1(Ω)→Ihv∈Vh和∏h:q∈(L2(Ω))2→∏hq∈Wh為相應(yīng)的插值算子,分別滿足

和

這里ni是對應(yīng)邊li的單位法向量.

由插值定理知,對于任意的u∈H2(Ω),有如下插值誤差估計:

(2)

(▽h(u-Ihu),▽hvh)h=0,?vh∈Vh,

(3)

(▽h(u-Ihu),θ)=0,?θ∈Wh,

(4)

(5)

2 全離散格式及收斂性分析

設(shè)q=-(▽ut+▽u),則問題(1)可以寫成:

(6)

(7)

首先給出(7)關(guān)于時間t的半離散格式.假設(shè)0=t0

(8)

(9)

考慮(8)的全離散格式為

(10)

則可以得到引理1.

引理1 問題(10)的解是存在唯一的.

則(10)等價于下列形式:

其中：

B=(φi,▽hφj)r1×r2,Q=(f,φj)r1×r1,M=(▽hφi,φj)r2×r1,N=(φi,φj)r2×r2.

由于A,B,M,N均是正定的,所以對任意的t∈[0,T],由文獻[15]得(10)的解是存在唯一的.

為了方便進行誤差估計,記

(11)

(12)

證明 一方面,在(8)中取v=vh,w=wh,并與(10)對應(yīng)相減得

(13)

由于▽Vh?Wh,在(13)中,令vh=ξn,wh=▽vh=▽ξn,由(3)可得下列誤差方程：

(14)

下面對Ni(i=1,2,…,6)逐項進行估計.由Cauchy-Schwartz引理和(2)得

(15)

將Cauchy不等式分別應(yīng)用于N3,N4,N5，有

(16)

(17)

(18)

根據(jù)(5)可得

(19)

將(15)～(19)代入(14),整理得

(20)

注意到ξ0=0,▽ξ0=0,將(20)從1到n求和得

(21)

當(dāng)(1-CΔt)>0時,利用離散的Gronwall不等式有

(22)

由(2)及(9)可得

(23)

(11)式證畢.

下面證明(12).記?tun=(un-un-1)/Δt,在(13)中,取vh=?tξn,wh=▽vh=?t(▽ξn),并結(jié)合(3)可得誤差方程:

(24)

首先由(24)不難得到

(25)

其次,類似于(16)～(18)的估計,有

(26)

(27)

將(25)～(27)代入(24),得

(28)

另一方面,由(7)的第2個式子,有

(qn,wh)+(?t(▽hun),wh)+(▽hun,wh)=0.

(29)

令wh=θn,根據(jù)(4)可得

(30)

由Young不等式，有

(31)

(32)

再由(28)可得

(33)

將(31)～(33)代入(30),并由(22)得

(34)

最后由三角不等式可得(12),定理1證畢.

3 數(shù)值算例

為驗證理論分析的正確性,對于問題(1),取Ω=[0,1]×[0,1],T=1,f=etxy(1-x)(1-y)+4ety(1-y)+4etx(1-x).可以驗證真解u=etxy(1-x)(1-y),中間變量q=-(2ety(1-2x)(1-y),2etx(1-2y)(1-x)).對Ω沿x軸和y軸剖分成m×m份,數(shù)值結(jié)果見表1和表2,其中α表示收斂階.

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(責(zé)任編輯：孔 薇)

Convergence Analysis of Nonconforming Mixed Finite Element Scheme for Sobolev Equation

SHI Dongyang, YAN Fengna

(SchoolofMathematicsandStatistics,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450001,China)

Sobolev equation; new mixed finite element method; fully-discrete scheme; optimal error estimate

2015-06-05

國家自然科學(xué)基金資助項目,編號11271340.

石東洋(1961—),男,河南平頂山人，河南省特聘教授, 博士生導(dǎo)師, 主要從事有限元方法及其應(yīng)用研究,E-mail: shi_dy@zzu.edu.cn.

石東洋，閆鳳娜.Sobolev方程非協(xié)調(diào)混合有限元格式的收斂性分析[J].鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2015，47(4)：6-11.

O242.21

A

1671-6841(2015)04-0006-06

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.002