王一蘋

摘 要：數(shù)學要學習很多數(shù)學名稱、概念、公式和法則等特定的數(shù)學語言，它們生活中并不常見，反復接觸的機會不多，再加上學習的信息量大，學生往往會由于理解不深刻或名稱不熟導致遺忘的問題發(fā)生。而新知往往必須建立在舊知識之上，如果教師不深刻理解溫故的目的，不尋找好的溫故的辦法，同樣會在新知的教學中造成困難。所以說，正確認識溫故，才能使我們的課程設計得到科學的實施。本文就如何溫故，結(jié)合個人在教學中的嘗試和經(jīng)驗，提出了對溫故的思考和認識，并提出游戲溫故的方法，簡便易行、效果良好，希望能給有相同疑惑和思考的教師帶來一些思考。

關鍵詞：遺忘定律；溫故；基礎；游戲助力

一、問題緣起

今天學校里聽了一節(jié)初三畢業(yè)班的一次函數(shù)復習研討課。課上老師提問正比例函數(shù)的定義，學生甲（成績好）不知道，學生乙（成績中下）不知道，學生丙（成績中上）才回答是y=kx。正比例函數(shù)是初二學習的內(nèi)容，并不難，像甲這樣的學生遇到題目都會做，可是時隔一年，雖然初三上學期學二次函數(shù)時有過復習，但是學生對這個定義還是遺忘了一部分。類似的情況，我在上課時也總是遇到，上學期講了等量代換，過了一個寒假，大家雖然看到題目會做，但對這個名稱都覺得沒有聽到過。像單項式、多項式、系數(shù)、冪、底數(shù)、指數(shù)等等數(shù)學名稱，也有很多學生過了一段時間就記不起來了。知道怎么做，卻說不出它們的名稱院，這是為什么呢？

德國著名的心理學家艾賓浩斯（Hermann Ebbinghaus，1850-1909）研究發(fā)現(xiàn)：輸入的信息在經(jīng)過人的注意過程的學習后，便成為人的短時記憶，但是如果不經(jīng)過及時地復習，這些記住過的東西就會遺忘，而經(jīng)過了及時地復習，這些短時的記憶就會成為人的一種長時的記憶，從而在大腦中保持著很長的時間。艾賓浩斯還在關于記憶的實驗中發(fā)現(xiàn)，比較容易記憶的是那些有意義的材料，而那些無意義的材料在記憶的時候比較費力氣，在以后回憶起來的時候也很不輕松。這就可以解釋為什么看到題知道怎么做，卻說不出它們的名稱。做題是理解記憶，而名稱往往是人為創(chuàng)造出來的名詞，如果不刻意思考取這個名稱的原因，名稱與意義的聯(lián)系，則名稱就是無意義的材料，記憶起來就費力氣。艾賓浩斯的實驗證實了一個道理，學習要勤于復習，而且記憶的理解效果越好，遺忘得也越慢。

《論語·為政》云：“溫故而知新，可以為師矣。”溫：溫習，復習；故：舊的，指已學習過的。這句話大意是：溫習舊的知識，從中得到新的理解、認識和體會。也指吸取歷史經(jīng)驗，更好地認識現(xiàn)在。

同樣，“溫故知新”在今天的數(shù)學教學中也有深層的意義。學生對新知識的學習是以舊知識為基礎的，新知要么是在舊知的基礎上引申和發(fā)展起來的，要么是在舊知的基礎上增加新的內(nèi)容，或由舊知重新組織或轉(zhuǎn)化而成。溫故除了可以鞏固并加深理解舊知識，使舊知識鞏固、系統(tǒng)化以外，還可以更好地讓學生循序漸進地探尋、學習、掌握新知識。相比語文，數(shù)學有更多的數(shù)學名稱、概念、公式和法則等生活中并不常見的數(shù)學特定語言，當然對于理解記憶能力好的或數(shù)感好的同學來說這些不算什么，可現(xiàn)實情況還是有很多同學達不到這樣的水平，何況現(xiàn)今的學習中，學生要學的、要記的知識時實在太多，很多同學切實地遇到這些遺忘的問題，如果教師不尋找好的溫故的辦法，則會在新知的教學中造成困難。所以說，正確認識溫故，深刻理解溫故的目的，能使我們的課程設計得到科學的實施。

二、溫故的現(xiàn)狀

通過溫習舊的知識，可以從中得到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)新的知識，對問題有新的認識，可以知道知識發(fā)展的進程，為學習新知識做好充分的準備。目前，數(shù)學課堂的復習普遍有三種誤區(qū)值得關注：

1.認為數(shù)學是理解的學科，不需要復習。這脫離了學生的實際起點。從學生的認識規(guī)律看，知識的形成和掌握往往是在舊知識的基礎上引出新知識，并使新舊知識相互溝通，從而促進遷移，發(fā)展智力，形成能力。而根據(jù)艾賓浩斯的遺忘理論，學生即使當時理解了也會或多或少地遺忘，教學如果不關注學生的學習起點，這個起點沒生成，包括知識起點和經(jīng)驗起點，跳躍大，會導致學習力不從心，新知識就成了空中樓閣。

2.認為復習指的是圍繞前一天學習的內(nèi)容進行，這忽視了知識的內(nèi)在聯(lián)系。許多新教師都有這樣的問題，批作業(yè)時發(fā)現(xiàn)前一天學生掌握得不扎實，就自然地認為數(shù)學復習就是復習前一天的知識，上課時往往第一件事是回顧一下昨天我們學習了什么，然后再講今天我們要學習什么，之間沒有關聯(lián)。有的老師感覺到這樣不太對勁，則想方設法去找昨天的內(nèi)容與今天的內(nèi)容之間的聯(lián)系，卻往往造成生拉硬拽、牽強附會。甚至有的教師怕漏了這個環(huán)節(jié)，每節(jié)課都要把昨天的內(nèi)容復習一下，講講作業(yè)問題、講講昨天的知識點。卻沒理解實際上這個復習引入是為了今天學的新知識而進行的，教師應該做的是找到新知識的建立基礎，對這個基礎進行復習。這種不注重知識內(nèi)在聯(lián)系的復習，不但無效，而且會導致前后知識脫節(jié)，顯得零亂無序。

3.認為復習是專門的復習課的事情。并在新課教學中片面強調(diào)情境引入，丟棄了必要的復習環(huán)節(jié)。這樣一下子觸及新知識，導致學生在沒有舊知識的支撐下進行學習，往往措手不及。復習課通常是指整冊書學完后的整理復習，為的是加大知識的深度。而溫故知新的“溫故”，為的是在學習新知時將新知賴以建立的基礎打打結(jié)實。

三、怎樣進行數(shù)學教學的溫故知新

基于以上分析，數(shù)學教學溫故知新有以下三方面策略：巧用舊知，導入新課；降低坡度，循序漸進；

著眼基礎，融會貫通。

1.巧用舊知，導入新課

數(shù)學知識具有嚴密的邏輯系統(tǒng)，初中數(shù)學課本的設計是螺旋式的上升。知識點其實并不多，很多知識都是在以前學習的基礎上上升了一個層次。就學生的學習過程來說，某些舊知識是新知識的基礎，新知識又是舊知識的延伸和發(fā)展，學生的認識活動也總是以已有的舊知識和經(jīng)驗為前提。例如在學習分式的加減時，如果不對分數(shù)的加減進行復習，就直接進入分式的通分，往往會造成學生學習成果差距拉大；而如果先復習分數(shù)的加減，尤其是異分母的加減再進行分式加減的教學，這種差距就會減小。教師在備課時應盡可能地找到與每一個新知識相關的舊知識，并對其中學生有困難的進行復習，充分利用已有的知識來搭橋鋪路，引導學生運用知識遷移規(guī)律，在獲取新知識的過程中發(fā)展思維。學生從復習舊知識的活動中，其認知結(jié)構(gòu)再度獲得同化或順應，進而利用既有的知識與技能去探索數(shù)學問題。

2.降低坡度，循序漸進

在教學過程中，我們講到一些問題尤其是綜合性的問題時，往往會遇到困難，學生怎么講都聽不懂，其實這是因為學生遺忘了一些基礎性的知識，這時教師就應該降低坡度，化難為易。比如我們在八年級下冊學習四邊形時，會發(fā)現(xiàn)很多學生在證明時會出現(xiàn)困難，仔細觀察后我們會發(fā)現(xiàn)，學生把之前學習的幾何定理等淡忘了，尤其是像關于余角、補角、角平分線、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角之類需要仔細觀察再運用的定理，已經(jīng)淡忘了很多。為什么呢？除了遺忘曲線給出我們的答案，個體差異、理解能力、學習容量壓力大都是不可忽視的原因。因此在教學中，作為教師如果沒有意識到這種問題的存在，不復習就直接運用，會造成學生差異加大。在新知教學中注意對相關知識點進行一些復習，就能降低坡度，化難為易。蘇霍姆林斯基指出：“教給學生能借助已有的知識去獲取新的知識，這是最高的教學技巧之所在?！?/p>

理想的學習，就是要求新知識同學生已有舊結(jié)構(gòu)處于動態(tài)平衡的、互相容納的狀態(tài)中。依照教材的一定順序，隨著教學思路拓寬，依次點撥重要知識，層層深入地挖掘問題的本質(zhì)，才能使學生按照由淺入深、由易到難、由現(xiàn)象到本質(zhì)的順序?qū)W習。急于求成、貪多求快，結(jié)果學得多忘得快，這是沒有按照學習規(guī)律教學造成的。

3.著眼基礎，融會貫通

梳理比較，溝通聯(lián)系。“溫故”之所以能夠“知新”，是因為新舊知識之間存在著內(nèi)在的必然的聯(lián)系。因此教學時需要對知識進行梳理比較，溝通聯(lián)系。從學生的思維角度看，主要是求同思維和求異思維。前者是異中求同，尋求兩者相似點，找出共同性東西；后者是同中求異，尋求兩者的不同點，找到差異性東西。通過比較，以舊引新，以新帶舊，促進學生知識鞏固、明晰，加強知識之間的聯(lián)系。例如，學習“圓柱體積公式”，可以先復習長方體、正方體的體積公式，通過比較和推理，得到圓柱體體積公式。學生通過認真思考，合作研討，思路逐漸清晰：①回想長方體、正方體的體積公式；②觀察圓柱體與長方體的關聯(lián)；③比較、猜測、推導得出圓柱的體積公式。這樣的訓練，有效地培養(yǎng)了學生歸納比較的能力，使知識得到遷移和升華。

在學期開始，也應當對整冊書做一個梳理比較，溝通聯(lián)系。開始本冊書的教學前，進行一個新舊知識的連接架構(gòu)，溫故知新，消除學生對新術語的擔心和疑惑，使他們感到新知識其實并不很新，而是舊知識的延伸。比如七年級下冊的第一節(jié)課，我對整冊書進行了分析：本學期我們將要學習哪些內(nèi)容？與我們以前學習的哪些知識有關聯(lián)？比如第二章二元一次方程組和我們學過的一元一次方程有什么區(qū)別？兩個未知數(shù)，比一個未知數(shù)的方程要難。那我們只要想辦法把二元的方程減少一元，就可以把二元一次方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉淮畏匠?。用什么辦法消元呢？很簡單，大家都會呀?。◤土暤攘看鷵Q）比如x=5，y=x+7，那么也y=？依據(jù)什么道理呢？兩個方程x=5+y，x-y=2，怎么解出x、y的呢？也只要進行等量代換，這里簡稱代入，這兩個方程不就變成了一個一元一次方程嗎？經(jīng)過比較，學生發(fā)現(xiàn)原來很簡單，代入他們本來都會嘛！通過這樣的梳理比較，點燃了學生學習新知識的信心。

四、小游戲“我說你猜”助力溫故知新

利用游戲教學，不僅能調(diào)節(jié)學生的精神，而且能寓教學于游戲之中，使學生通過輕松愉快的游戲鞏固已獲得的知識，并加深對知識的理解，也可以讓學生通過游戲，學習新的知識，促進知識的遷移。

我在教學中嘗試了一種“我說你猜”的小游戲，兩位同學上臺，我在紙上寫下一些數(shù)學名詞，一位同學想辦法用數(shù)學方法表達，一般不能用到名詞中的字，另一位同學要猜出這個名詞。

例如，在學生即將學習三角形、四邊形等幾何證明時，我寫的是“同角或等角的補角相等”、“同角或等角的余角相等”等在幾何證明中常用但學生又不熟練的知識點。提問的學生在黑板上寫：∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°可以得到什么？依據(jù)什么？也有同學畫了兩條相交線來表示，經(jīng)過一兩次這樣的復習，學生對這個定理得到了比較好的掌握，在遇到使用該定理的例題和練習時，能更快地進入狀態(tài)，打通思路。尤其是當該節(jié)課的例題或練習中有涉及這兩個知識點的應用時，更應復習。

再比如，在學習二元一次方程時，要先觀察得出定義“像2a=3b+20這樣，含有兩個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次的方程叫作二元一次方程”。學習同底數(shù)冪的乘法，要清楚“冪”“底數(shù)”是什么。但根據(jù)以往的經(jīng)驗，我感到學生對代數(shù)式、整式、單項式、多項式、項、項的系數(shù)、單項式次數(shù)、多項式的次數(shù)、冪、底數(shù)這些名稱的應用并不能做到熟練，很多同學可能遺忘，而要歸納出二元一次方程的定義，必須明白并說出項和次數(shù)這些名稱，如果此時對這些名稱不知道，不能做出快速反應，則在學習中會造成理解困難，知道的同學和不知道的同學就不能站在同一起跑線上，導致后面的差距拉大。所以在上這一章時，我特意提前在每節(jié)課前安排了這些知識點的復習，我在紙上寫下“整式”“項”“項的次數(shù)”“同底數(shù)冪”等與即將學習的內(nèi)容相關的名稱，通過每節(jié)課前的“我說你猜”，學生們在集中注意力的思考后得到答案，對這些名稱分別進行了很好地復習，在學習新知識點時學生就很容易理解了。

在學習應用題時，教師應注意到部分學生對利息=本金*利率*時間、原價、現(xiàn)價、成本價、配套等名詞或公式掌握得不好，可以在小游戲中適當挑一些來猜一猜，一則加強對這些名詞的理解，二則引起學生對這些名詞的重視，使學生在讀題時能有意識地先去理解題中的名詞，盡量改變有些同學讀題不會讀的問題，培養(yǎng)良好的審題習慣。

五、進行游戲“我說你猜”的感悟

1.簡便易行，面向全體

這樣的游戲我在每節(jié)課開始時進行，只需花兩三分鐘，簡短而有效，當學生無法表達時，我就代替他進行表達，讓大家猜，猜到的同學當然很開心，沒猜對的同學得知答案后也恍然大悟，個別實在沒掌握好的同學也進行了又一次學習。這對本節(jié)課或者下節(jié)課將要上的內(nèi)容打下了基礎，大家相當于又站到了同一個地基上來學習新知識。這種以游戲復習的形式，不僅極大地調(diào)動了同學的積極思考，而且讓老師發(fā)現(xiàn)了學生掌握不佳的知識點，同時對這些知識點進行了復習鞏固。

2.挖掘知識的深度和廣度

在備課中，我發(fā)現(xiàn)有很多類似的需要復習的知識點，比如二元一次方程的解、用含x的代數(shù)式表示y、等式的性質(zhì)、配套、冪、完全平方公式、平方差公式，等等。教師們經(jīng)常會為這些都是講過的知識，學生應該都掌握了，所以就往往直接教授新課，而實際情況并沒有我們想象得那么好，學生通常學會怎么做題或憑感覺做題，但常常并不知道自己為什么這樣做，這是因為把基礎知識淡忘了，從而導致思路并不清晰。通過“我說你猜”的復習，學生掌握起來就更清楚、更容易了。游戲不僅是名稱的復習，還可以展示知識的內(nèi)涵。比如前面講的“同角的補角相等”等知識點，說的同學用畫圖或?qū)懙仁降姆椒?，不僅復習了知識點，也展示了知識點的由來，過一段時間變成復習“等角的補角相等”，學生對這個知識就有了深入、難忘的理解。尤其是對后進生，幫助很大。

3.提高教師對學生和課堂的理解和掌控

只為游戲而開展的游戲教學，是一種形式主義的活動。只有以興趣為前提，完成課程標準與教材規(guī)定的內(nèi)容，并實現(xiàn)教學要求，這樣的游戲教學才能取得良好的教育效果。我們設置一個游戲在課堂上實施，必須要先學習把握課程標準與教材內(nèi)容，根據(jù)教材內(nèi)容來設置。教師備課時要備好學生，要清楚地知道學生有哪些知識點或數(shù)學詞語是不清楚或可能遺忘的，然后在上這節(jié)課之前，準備好如何復習。這就提高了教師的自我要求，教師自然會去了解學生的知識基礎、生活經(jīng)驗，研究學生的思維特點、學習心理、認知障礙等。對學生多一分了解，多一分研究，教師也提高了一分能力。

數(shù)學教學內(nèi)容是前后有序，又不斷發(fā)展著的一個整體，一節(jié)課的內(nèi)容往往是整體中的一個有機環(huán)節(jié)。筆者認為，新課程下克服以上問題，要繼承和創(chuàng)新傳統(tǒng)教學的優(yōu)勢，“溫故知新”就是教學中行之有效的方法，要賦予新的詮釋，在探索新知的過程中，引導學生加速新舊知識的聯(lián)系，促成知識由無序向有序、由片段記憶向整體記憶發(fā)展，提高學生思維的廣度和深度。

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（作者單位：浙江省杭州市余杭區(qū)閑林中學）