蔣敏

函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重較大，綜合知識(shí)多、題型多、應(yīng)用技巧多。函數(shù)思想，即將所研究的問題借助建立函數(shù)關(guān)系式亦或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題。方程思想，即將問題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為方程模型加以解決。

函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。而方程y-f（x）=0的解也可以看成是圖像f（x）與圖像 y=0交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，兩者相輔相成。

但有的問題，并不一定是把方程轉(zhuǎn)化為圖像f（x）與圖像 y=0交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，還可以轉(zhuǎn)化為圖像f（x）與圖像g（x）交點(diǎn)問題，從而達(dá)到簡化解題的目的。如何選擇合適的圖像f（x）與圖像g（x），也就是本文所要探討的問題。

本文希望通過由易到難的例題，利用圖形計(jì)算器畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)的圖像，選擇合適的圖像來求參數(shù)范圍，通過觀察、討論，最后能形成一些分析選擇合適函數(shù)圖像問題的經(jīng)驗(yàn)（本文中圖像上的A對應(yīng)題中的參數(shù)a）。

一、例題

問題1：若函數(shù)f（x）=x2-x-a有2個(gè)零點(diǎn)，則求a的范圍。

分析：

方法一：函數(shù)f（x）=x2-x-a有零點(diǎn)，即方程x2-x-a=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，只要滿足△>0即可求a的范圍。

方法二：可以從函數(shù)的圖像角度來理解，看成是二次函數(shù)f（x）=x2-x-a圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即只要求出f（x）的最小值小于0即可。

實(shí)際上，等式還可以變形為：

1.x2-x=a;

2.x2=a+x;

3.x2-a=x。

那也可以分別看成是等式左邊的函數(shù)圖像與等式右邊的函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，展示如下：

展示1：畫出y=x2-x與y=a圖像，可以明顯看出只a要大于y=x2-x的最小值即可。

■

展示2：畫出y=x2與y=x+a圖像，只要兩個(gè)圖像相切時(shí)是臨界狀態(tài)。

■

生3：畫出y=x2-a與y=x圖像，只要兩個(gè)圖像相切時(shí)是臨界狀態(tài)。

師：大家展示得都很好，也都能解決問題。從這個(gè)問題我們可以總結(jié)點(diǎn)什么出來呢？

生：方程的解的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)來解決。方程解的問題，可以選擇不同的函數(shù)圖像來構(gòu)造交點(diǎn)。

通過對比，發(fā)現(xiàn)展示一的函數(shù)圖像容易操作，優(yōu)勢明顯。

問題2：若方程ax2-x-1=0的解在（0，1）上，則求a的范圍。

分析：根據(jù)剛剛的解題經(jīng)驗(yàn)，從函數(shù)角度，此題可以看成f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。要考慮當(dāng)a<0，a=0，a>0的情況，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像過定點(diǎn)（0，-1），并且只要當(dāng)a>0，f（1）>0時(shí)，滿足題意，求出的范圍。

其實(shí)還可以根據(jù)等式的恒等變形，還有可能這樣幾種情形：

1.a=■=■+■

2.ax2=x+1

展示1：a=■=■+■，即畫y=g（x）=■與y=a圖像，看在區(qū)間（0，1）上的交點(diǎn)，通過圖像，很容易知道只要a>g（1）即可。

■

但從圖像上來看y=■圖像要不通過計(jì)算器來作圖，比較困難。因此只能通過令t=■換元，把等式變成a=t2+t來處理。

展示2：ax2=x+1，即畫y=f（x）=ax2與y=g（x）=x+1圖像，看交點(diǎn)，如下圖展示。

通過動(dòng)態(tài)圖變化a，也能很容易得出結(jié)論，f（1）>g（1）即可。

■

通過上面的比較，大家會(huì)選擇f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，或者ax2=x+1形式來處理。因?yàn)檫@兩種形式，在不用計(jì)算器的情況下，也能進(jìn)行分析，而且所畫圖形不復(fù)雜，是我們常見的圖形。

問題3：若關(guān)于x的方程■=ax2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ? .

分析：討論完零為解得情況后，方程還可以變形為■=a，■=a（x-1），■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）。

展示1：■=a|x|，（x≠0且x≠1）

■

展示2：■=a（x-1），（x≠0且x≠1）

■

展示3：■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）

■

通過圖像展示，發(fā)現(xiàn)都能解出實(shí)數(shù)的范圍。但是前兩幅圖像不通過計(jì)算器，畫出來比較困難，第三幅看起來比較容易畫出來。

二、小結(jié)

在本文研究過程中，我們發(fā)現(xiàn)了函數(shù)與方程是可以轉(zhuǎn)化的，并且在轉(zhuǎn)化的過程中，需要選擇合適的函數(shù)來解題，選擇的原則是盡可能讓函數(shù)簡單、易畫，以轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)形式為主。

函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重較大，綜合知識(shí)多、題型多、應(yīng)用技巧多。函數(shù)思想，即將所研究的問題借助建立函數(shù)關(guān)系式亦或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題。方程思想，即將問題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為方程模型加以解決。

函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。而方程y-f（x）=0的解也可以看成是圖像f（x）與圖像 y=0交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，兩者相輔相成。

但有的問題，并不一定是把方程轉(zhuǎn)化為圖像f（x）與圖像 y=0交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，還可以轉(zhuǎn)化為圖像f（x）與圖像g（x）交點(diǎn)問題，從而達(dá)到簡化解題的目的。如何選擇合適的圖像f（x）與圖像g（x），也就是本文所要探討的問題。

本文希望通過由易到難的例題，利用圖形計(jì)算器畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)的圖像，選擇合適的圖像來求參數(shù)范圍，通過觀察、討論，最后能形成一些分析選擇合適函數(shù)圖像問題的經(jīng)驗(yàn)（本文中圖像上的A對應(yīng)題中的參數(shù)a）。

一、例題

問題1：若函數(shù)f（x）=x2-x-a有2個(gè)零點(diǎn)，則求a的范圍。

分析：

方法一：函數(shù)f（x）=x2-x-a有零點(diǎn)，即方程x2-x-a=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，只要滿足△>0即可求a的范圍。

方法二：可以從函數(shù)的圖像角度來理解，看成是二次函數(shù)f（x）=x2-x-a圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即只要求出f（x）的最小值小于0即可。

實(shí)際上，等式還可以變形為：

1.x2-x=a;

2.x2=a+x;

3.x2-a=x。

那也可以分別看成是等式左邊的函數(shù)圖像與等式右邊的函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，展示如下：

展示1：畫出y=x2-x與y=a圖像，可以明顯看出只a要大于y=x2-x的最小值即可。

■

展示2：畫出y=x2與y=x+a圖像，只要兩個(gè)圖像相切時(shí)是臨界狀態(tài)。

■

生3：畫出y=x2-a與y=x圖像，只要兩個(gè)圖像相切時(shí)是臨界狀態(tài)。

師：大家展示得都很好，也都能解決問題。從這個(gè)問題我們可以總結(jié)點(diǎn)什么出來呢？

生：方程的解的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)來解決。方程解的問題，可以選擇不同的函數(shù)圖像來構(gòu)造交點(diǎn)。

通過對比，發(fā)現(xiàn)展示一的函數(shù)圖像容易操作，優(yōu)勢明顯。

問題2：若方程ax2-x-1=0的解在（0，1）上，則求a的范圍。

分析：根據(jù)剛剛的解題經(jīng)驗(yàn)，從函數(shù)角度，此題可以看成f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。要考慮當(dāng)a<0，a=0，a>0的情況，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像過定點(diǎn)（0，-1），并且只要當(dāng)a>0，f（1）>0時(shí)，滿足題意，求出的范圍。

其實(shí)還可以根據(jù)等式的恒等變形，還有可能這樣幾種情形：

1.a=■=■+■

2.ax2=x+1

展示1：a=■=■+■，即畫y=g（x）=■與y=a圖像，看在區(qū)間（0，1）上的交點(diǎn)，通過圖像，很容易知道只要a>g（1）即可。

■

但從圖像上來看y=■圖像要不通過計(jì)算器來作圖，比較困難。因此只能通過令t=■換元，把等式變成a=t2+t來處理。

展示2：ax2=x+1，即畫y=f（x）=ax2與y=g（x）=x+1圖像，看交點(diǎn)，如下圖展示。

通過動(dòng)態(tài)圖變化a，也能很容易得出結(jié)論，f（1）>g（1）即可。

■

通過上面的比較，大家會(huì)選擇f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，或者ax2=x+1形式來處理。因?yàn)檫@兩種形式，在不用計(jì)算器的情況下，也能進(jìn)行分析，而且所畫圖形不復(fù)雜，是我們常見的圖形。

問題3：若關(guān)于x的方程■=ax2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ? .

分析：討論完零為解得情況后，方程還可以變形為■=a，■=a（x-1），■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）。

展示1：■=a|x|，（x≠0且x≠1）

■

展示2：■=a（x-1），（x≠0且x≠1）

■

展示3：■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）

■

通過圖像展示，發(fā)現(xiàn)都能解出實(shí)數(shù)的范圍。但是前兩幅圖像不通過計(jì)算器，畫出來比較困難，第三幅看起來比較容易畫出來。

二、小結(jié)

在本文研究過程中，我們發(fā)現(xiàn)了函數(shù)與方程是可以轉(zhuǎn)化的，并且在轉(zhuǎn)化的過程中，需要選擇合適的函數(shù)來解題，選擇的原則是盡可能讓函數(shù)簡單、易畫，以轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)形式為主。

函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重較大，綜合知識(shí)多、題型多、應(yīng)用技巧多。函數(shù)思想，即將所研究的問題借助建立函數(shù)關(guān)系式亦或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題。方程思想，即將問題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為方程模型加以解決。

函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。而方程y-f（x）=0的解也可以看成是圖像f（x）與圖像 y=0交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，兩者相輔相成。

但有的問題，并不一定是把方程轉(zhuǎn)化為圖像f（x）與圖像 y=0交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，還可以轉(zhuǎn)化為圖像f（x）與圖像g（x）交點(diǎn)問題，從而達(dá)到簡化解題的目的。如何選擇合適的圖像f（x）與圖像g（x），也就是本文所要探討的問題。

本文希望通過由易到難的例題，利用圖形計(jì)算器畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)的圖像，選擇合適的圖像來求參數(shù)范圍，通過觀察、討論，最后能形成一些分析選擇合適函數(shù)圖像問題的經(jīng)驗(yàn)（本文中圖像上的A對應(yīng)題中的參數(shù)a）。

一、例題

問題1：若函數(shù)f（x）=x2-x-a有2個(gè)零點(diǎn)，則求a的范圍。

分析：

方法一：函數(shù)f（x）=x2-x-a有零點(diǎn)，即方程x2-x-a=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，只要滿足△>0即可求a的范圍。

方法二：可以從函數(shù)的圖像角度來理解，看成是二次函數(shù)f（x）=x2-x-a圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即只要求出f（x）的最小值小于0即可。

實(shí)際上，等式還可以變形為：

1.x2-x=a;

2.x2=a+x;

3.x2-a=x。

那也可以分別看成是等式左邊的函數(shù)圖像與等式右邊的函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，展示如下：

展示1：畫出y=x2-x與y=a圖像，可以明顯看出只a要大于y=x2-x的最小值即可。

■

展示2：畫出y=x2與y=x+a圖像，只要兩個(gè)圖像相切時(shí)是臨界狀態(tài)。

■

生3：畫出y=x2-a與y=x圖像，只要兩個(gè)圖像相切時(shí)是臨界狀態(tài)。

師：大家展示得都很好，也都能解決問題。從這個(gè)問題我們可以總結(jié)點(diǎn)什么出來呢？

生：方程的解的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)來解決。方程解的問題，可以選擇不同的函數(shù)圖像來構(gòu)造交點(diǎn)。

通過對比，發(fā)現(xiàn)展示一的函數(shù)圖像容易操作，優(yōu)勢明顯。

問題2：若方程ax2-x-1=0的解在（0，1）上，則求a的范圍。

分析：根據(jù)剛剛的解題經(jīng)驗(yàn)，從函數(shù)角度，此題可以看成f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。要考慮當(dāng)a<0，a=0，a>0的情況，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像過定點(diǎn)（0，-1），并且只要當(dāng)a>0，f（1）>0時(shí)，滿足題意，求出的范圍。

其實(shí)還可以根據(jù)等式的恒等變形，還有可能這樣幾種情形：

1.a=■=■+■

2.ax2=x+1

展示1：a=■=■+■，即畫y=g（x）=■與y=a圖像，看在區(qū)間（0，1）上的交點(diǎn)，通過圖像，很容易知道只要a>g（1）即可。

■

但從圖像上來看y=■圖像要不通過計(jì)算器來作圖，比較困難。因此只能通過令t=■換元，把等式變成a=t2+t來處理。

展示2：ax2=x+1，即畫y=f（x）=ax2與y=g（x）=x+1圖像，看交點(diǎn)，如下圖展示。

通過動(dòng)態(tài)圖變化a，也能很容易得出結(jié)論，f（1）>g（1）即可。

■

通過上面的比較，大家會(huì)選擇f（x）=ax2-x-1圖像在（0，1）上與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，或者ax2=x+1形式來處理。因?yàn)檫@兩種形式，在不用計(jì)算器的情況下，也能進(jìn)行分析，而且所畫圖形不復(fù)雜，是我們常見的圖形。

問題3：若關(guān)于x的方程■=ax2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ? .

分析：討論完零為解得情況后，方程還可以變形為■=a，■=a（x-1），■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）。

展示1：■=a|x|，（x≠0且x≠1）

■

展示2：■=a（x-1），（x≠0且x≠1）

■

展示3：■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）

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通過圖像展示，發(fā)現(xiàn)都能解出實(shí)數(shù)的范圍。但是前兩幅圖像不通過計(jì)算器，畫出來比較困難，第三幅看起來比較容易畫出來。

二、小結(jié)

在本文研究過程中，我們發(fā)現(xiàn)了函數(shù)與方程是可以轉(zhuǎn)化的，并且在轉(zhuǎn)化的過程中，需要選擇合適的函數(shù)來解題，選擇的原則是盡可能讓函數(shù)簡單、易畫，以轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)形式為主。