陳菊，張毅

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

非完整系統(tǒng)基于El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型的Noether對稱性與攝動(dòng)

陳菊1，張毅2*

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

El-Nabulsi針對非保守系統(tǒng)的建模提出了一類新的分?jǐn)?shù)階模型，即El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型或類分?jǐn)?shù)階變分方法。文章研究該模型下線性非完整系統(tǒng)Noether對稱性的攝動(dòng)與絕熱不變量問題，給出了該模型下線性非完整系統(tǒng)絕熱不變量存在的條件及其形式。

非完整力學(xué)系統(tǒng)；El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型；Noether對稱性的攝動(dòng)；絕熱不變量

為研究非保守系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模，El-Nabulsi[1-2]于2005年在分?jǐn)?shù)階微積分的框架下基于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義提出了一種新的非保守動(dòng)力學(xué)模型，即El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型或類分?jǐn)?shù)階變分方法。在El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型中，分?jǐn)?shù)階時(shí)間積分僅依賴于一個(gè)實(shí)參數(shù)α，所得到的Euler-Lagrange方程出現(xiàn)相應(yīng)于耗散力的廣義分?jǐn)?shù)階外力且不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[3-6]?；贓l-Nabulsi動(dòng)力學(xué)模型的對稱性與守恒量以及對稱性的攝動(dòng)與絕熱不變量的研究已經(jīng)取得了一些重要成果[7-12]。筆者將進(jìn)一步研究線性非完整系統(tǒng)Noether對稱性的攝動(dòng)與絕熱不變量問題。

1 El-Nabulsi變分問題與非完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

在固定邊界條件

稱上述變分問題為El-Nabulsi變分問題，泛函（1）為El-Nabulsi-Hamilton作用量。

假設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)受有r個(gè)線性非完整約束

其中akβ和a0β是廣義坐標(biāo)qs，廣義速度q˙s和時(shí)間t的函數(shù)。約束（3）對虛位移的限制條件為

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qk（k=1，…，n）來確定，El-Nabulsi提出的基于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的變分問題定義如下[7]：

求積分泛函

由El-Nabulsi-d’Alembert-Lagrange原理和條件（4），并利用Lagrange乘子法，可以得到[12]

其中λβ為約束乘子，（5）式為El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型下線性非完整系統(tǒng)帶乘子形式的運(yùn)動(dòng)微分方程。

2 Noether對稱性與精確不變量

引進(jìn)時(shí)間和廣義坐標(biāo)的無限小變換

El-Nabulsi-Noether等式給出[11]

非完整約束對虛位移的限制條件（4）給出

定理1對于El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型下未受擾的線性非完整系統(tǒng)（3）、（5），如果無限小變換的生成元ξ00，ξk0滿足El-Nabulsi-Noether等式（7）和限制條件（8），則系統(tǒng)的Noether對稱性直接導(dǎo)致精確不變量

3 Noether對稱性的攝動(dòng)與絕熱不變量

如果El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型下線性非完整系統(tǒng)（3）、（5）受到小擾動(dòng)νQk的作用，那么系統(tǒng)原有的對稱性與不變量將會(huì)在小擾動(dòng)作用下相應(yīng)地發(fā)生改變。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)正軌滿足的運(yùn)動(dòng)微分方程變?yōu)?/p>

假設(shè)系統(tǒng)受到擾動(dòng)后的無限小變換生成元ξ0，ξk是在系統(tǒng)未受擾動(dòng)時(shí)的生成元基礎(chǔ)上發(fā)生的小攝動(dòng)，且規(guī)范函數(shù)G也相應(yīng)地發(fā)生了小攝動(dòng)，即有

定理2El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型下線性非完整系統(tǒng)（3）、（5）在受到小擾動(dòng)νQk的作用下，如果存在規(guī)范函數(shù)，使無限小變換的生成元，滿足

且滿足限制條件

其中j=0時(shí)，約定ξ0-1=ξk-1=0，則

是該系統(tǒng)的一個(gè)z階絕熱不變量。

證明將Iz對時(shí)間τ求導(dǎo)數(shù)，利用方程（10），以及條件（12）和（13），得

由絕熱不變量定義[11]，可知Iz是El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型下線性非完整系統(tǒng)的z階絕熱不變量。

4 算例

例系統(tǒng)Lagrange函數(shù)和所受的線性非完整約束分別為

El-Nabulsi-Noether等式（7）和限制條件（8）式分別給出

聯(lián)立方程（18）和（19）式，有如下解

生成元（20）相應(yīng)于El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型下所論非完整系統(tǒng)的Noether對稱性。由定理1，系統(tǒng)存在如下精確不變量

因此，相應(yīng)于生成元（20）式的不變量是平庸的。假設(shè)系統(tǒng)受到的小擾動(dòng)為

條件（12）式和限制條件（13）分別給出

聯(lián)立方程（23）和（24）式有如下解

從式（20）和（25），由定理2得知系統(tǒng)存在如下一階絕熱不變量

進(jìn)一步可求得系統(tǒng)的更高階絕熱不變量。

[1]El-Nabulsi A R.A fractional approach to nonconservative Lagrangian dynamical systems[J].Fizika A，2005，14（4）：289-298.

[2]El-Nabulsi A R.A fractional action-like variational approach of some classical，quantum and geometrical dynamics[J].Int J Appl Math，2005，17（3）：299-317.

[3]El-Nabulsi A R.Necessary optimality conditions for fractional action-like integrals of variational calculus with Riemann-Liouville derivatives of order（a，b）[J].Math Methods Appl Sci，2007，30：1931-1939.

[4]El-Nabulsi A R.Fractional action-like variational problems in holonomic，non-holonomic and semi-holonomic constrained and dissipative dynam-ical systems[J].Chaos，Solitons and Fractals，2009，42：52-61.

[5]El-Nabulsi A R.Fractional variational problems from extended exponentially fractional integral[J].Applied Mathematics and Computation，2011，217：9492-9496.

[6]El-Nabulsi A R.Universal fractional Euler-Lagrange equation from a generalized fractional derivate operator[J].Central European Journal of Physics，2011，9（1）：250-256.

[7]張毅.相空間中類分?jǐn)?shù)階Noether對稱性與守恒量[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，52（4）：20-25.

[8]Long Z X，Zhang Y.Noether’s theorem for fractional variational problem from El-Nabulsi extended exponentially fractional integral in phase space[J].Acta Mech，2014，225（1）：77-90.

[9]Chen J，Zhang Y.Perturbation to Noether symmetries and adiabatic invariants for disturbed Hamiltonian systems based on El-Nabulsi nonconservative dynamics model[J].Nonlinear Dynamics，2014，77：353-360.

[10]陳菊，張毅.El-Nabulsi模型下Birkhoff系統(tǒng)Noether對稱性的攝動(dòng)與絕熱不變量[J].物理學(xué)報(bào)，2014，63（10）：104501.

[11]張毅.非保守動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)Noether對稱性的攝動(dòng)與絕熱不變量[J].物理學(xué)報(bào)，2013，62（16）：164501.

[12]Zhang Y，Zhou Y.Symmetries and conserved quantities for fractional action-like Pfaffian variational problems[J].Nonlinear Dynamics，2013，73（1-2）：783-793.

Noether symmetries and perturbation for nonholonomic systems based on El-Nabulsi fractional order models

CHEN Ju1，ZHANG Yi2
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

El-Nabulsi put forward a new method of modelling nonconservative dynamic systems in 2005,which was called El-Nabulsi fractional order model or fractional action-like variational approach.This paper studies the perturbation of Noether symmetries and adiabatic invariants for a linear nonholonomic system based on this model.The conditions for the adiabatic invariants were given and their formulation was presented.

nonholonomic mechanical system；El-Nabulsi fractional order model；perturbation of Noether symmetry；adiabatic invariants

O316MR（2000）Subject Classification：00A69

A

1672-0687（2015）01-0008-04

責(zé)任編輯：謝金春

2014-09-23

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10972151；11272227）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃立項(xiàng)項(xiàng)目（CXLX13_855）；蘇州科技學(xué)院研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目（SKCX13S_050）

陳菊（1987-），女，安徽宿州人，碩士研究生，研究方向：力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法。*