王 超，陳云翔，蔡忠義，潘天峰，羅承昆

（1.空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，西安 710051；2.空軍裝備部，北京 100843；3.解放軍94997部隊，北京 100076）

基于TOPSIS的直覺模糊多屬性群決策方法*

王 超1，2，陳云翔1，蔡忠義1，潘天峰3，羅承昆1

（1.空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，西安 710051；2.空軍裝備部，北京 100843；3.解放軍94997部隊，北京 100076）

針對直覺模糊信息環(huán)境下的多屬性群決策問題，對專家給出的直覺模糊集決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理，利用直覺模糊集的相關(guān)理論，提出基于直覺模糊熵的屬性權(quán)重確定方法；為了便于度量任意兩個專家之間決策信息的相似度，將各專家給出的直覺模糊集決策矩陣轉(zhuǎn)化決策向量，提出基于直覺模糊相似度的專家權(quán)重確定方法；利用逼近于理想解的排序方法（TOPSIS）對專家群的決策信息進(jìn)行綜合集成，給出備選方案優(yōu)劣排序。結(jié)合算例驗證方法的有效性。

群決策，直覺模糊集，直覺模糊熵，相似度，理想解

0 引言

Atanassov K.T［1］在對模糊集進(jìn)行擴展的基礎(chǔ)上，提出了直覺模糊集的概念。由于直覺模糊集克服了模糊集的局限性，可以較靈活、方便地描述不確定性，尤其是決策者判斷過程中的猶豫程度，受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。在現(xiàn)實管理決策中，許多決策問題本身具有一定的直覺模糊性，而且需要多個決策者參與。因此，直覺模糊集多屬性群體決策已成為決策科學(xué)、管理科學(xué)等交叉學(xué)科的一個重要研究領(lǐng)域［2］。

直覺模糊多屬性群決策是指通過對各方案屬性評價值的綜合，以及各決策者給出的直覺模糊判斷信息的集結(jié)，從而對備選方案進(jìn)行優(yōu)選與排序的過程［3］。這一過程中存在著兩類矛盾沖突，即同一決策者不同屬性之間的矛盾沖突和同一屬性不同決策者之間的矛盾沖突。

第1類矛盾主要通過決策者的偏好程度和各屬性權(quán)重來解決，是一個多屬性決策過程，如文獻(xiàn)［4-5］；第2類矛盾主要是通過決策群體的直覺模糊集決策信息集結(jié)和決策者權(quán)重來解決。目前已有不少學(xué)者提出了有效集結(jié)算法，如直覺模糊有序加權(quán)平均（IFOWA）算子［6-7］，逼近于理想解的排序方法（TOPSIS）［8］等；對于群決策中專家權(quán)重，主要有熵最大化加權(quán)法［9］，非猶豫度的精確加權(quán)（AWD）方法［10］。文獻(xiàn)［10］忽視了隸屬度與非隸屬度之間關(guān)聯(lián)關(guān)系，隱含了專家判斷信息，會導(dǎo)致其評價值與其他專家產(chǎn)生高度沖突，影響到備選方案的排序結(jié)果。

基于上述考慮，本文在TOPSIS的基礎(chǔ)上，通過對各專家給出的直覺模糊信息進(jìn)行充分挖掘與綜合集成，提出基于TOPSIS的直覺模糊多屬性群決策方法。首先，對專家給出的直覺模糊集決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理；然后，提出基于模糊熵的屬性權(quán)重確定和基于直覺模糊相似度的專家權(quán)重確定；最后，運用TOPSIS的基本思路，對備選方案進(jìn)行評價與優(yōu)選，結(jié)合算例加以驗證。

1 預(yù)備知識

定義1 若論域X上的兩個映射為：μA∶X→［0，1］和υA∶X→［0，1］，使得x∈X|→μA（x）∈［0，1］和x∈X|→υA（x）∈［0，1］并滿足條件：0≤μA（x）+υA（x）≤1，則稱μA和υA確定了論域X上的一個直覺模糊集A，可簡記為A={＜x，μA（x），υA（x）＞|x∈X}，分別稱μA（x）和υA（x）為元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，稱πA（x）=1-μA（x）-υA（x）為元素x屬于A的猶豫度。

論域X中的元素x屬于A的隸屬度與非隸屬度所組成的有序?qū)Γ鸡藺（x），υA（x）＞稱為直覺模糊數(shù)，直覺模糊集A可以看作是全體直覺模糊數(shù)的集合，表示為：

定義2 對于任意zij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）都是直覺模糊數(shù)，則矩陣Z=（zij）m×n稱為直覺模糊矩陣。

定義3 設(shè)?：Ω2→Θ，Ω為X上所用直覺模糊集的集合，且設(shè)Ai∈Ω（i=1，2，3），若?（A1，A2）滿足以下性質(zhì)：

①0≤?（A1，A2）≤1；

②?（A1，A2）=1當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2；

③?（A1，A2）=?（A2，A1）

④若A1?A2?A3，則?（A1，A3）??（A1，A2）且?（A1，A3）??（A2，A3）

則稱?（A1，A2）為A1和A2的直覺模糊相似度。

定義4 設(shè)直覺模糊集A的正、負(fù)理想解分別為 A+和理想解為 A-，可表示為：A+=＜μA+，υA+＞，A-=＜μA-，υA-＞，其中：

2 基于直覺模糊信息的權(quán)重確定

2.1 問題的描述

現(xiàn)有n個可行方案xj（j=1，2，…，n）組成方案集X={x1，x2，…，xn}，由K個專家Pk（k=1，2，…，K）組成一個決策群體對每個方案關(guān)于m個屬性oi（i=1，2，…，m）組成屬性集O={o1，o2，…，om}進(jìn)行評價。

從而將專家Pk的決策矩陣Dk轉(zhuǎn)化為規(guī)范化決策矩陣Dk。

2.2 屬性權(quán)重的確定

對于直覺模糊數(shù)a=＜μA（x），υA（x）＞，其直覺模糊熵表示為

對于任意直覺模糊數(shù)aij，由上式可計算其直覺模糊熵，記為eij。若直覺模糊熵越大，說明該直覺模糊數(shù)的不確定性越大。

專家Pk關(guān)于屬性oi（i=1，2，…，m）的直覺模糊熵Eik為

式中：eijk為專家Pk關(guān)于于方案j的屬性oi的直覺模糊熵；λj為方案j的權(quán)重。由于每個方案地位的平等性，故λj=1/n。

專家Pk關(guān)于屬性oi的直覺模糊熵Eik為：

專家Pk關(guān)于屬性oi的權(quán)重表示為：

2.3 專家權(quán)重的確定

為了確定專家的權(quán)重值，需要繼續(xù)挖掘?qū)＜医o出的直覺模糊決策信息，采用直覺模糊相似度來度量。

為了便于度量任意兩個專家之間直覺模糊相似度，需要將專家Pk的規(guī)范化決策矩陣Dk轉(zhuǎn)化為決策向量，具體做法如下：

其中：

對于直覺模糊相似度的計算，文獻(xiàn)［2］分別給出了漢明相似度、歐幾里德相似度和切比雪夫相似度的計算公式。根據(jù)研究工作實際，本文選取歐幾里德相似度計算公式，如下：

對于任意兩個專家Pl和Pk的直覺模糊集決策向量分別為和，可構(gòu)造兩者之間的歐幾里德相似度：

則專家Pk的權(quán)重φk表示為：

φk反映的是專家Pk提供的決策信息被其他專家所提供的決策信息支持的程度。顯然，該專家的決策信息與其他專家決策信息的相似度之和越大，表明該信息被其他專家所提供的決策信息支持的程度越高，該專家賦予的權(quán)重應(yīng)越大。

則專家群權(quán)重矩陣Φ表示為：

3 基于TOPSIS的群決策方法

在多屬性決策問題中，在理想解和權(quán)重已知的條件下，運用TOPSIS算子，可以很好地解決多方案選優(yōu)的問題。其基本思想是：所選擇的滿意方案應(yīng)盡可能接近正理想解（或方案），同時又盡可能遠(yuǎn)離負(fù)理想解?；诖?，本文將TOPSIS算子推廣運用到多屬性群決策問題中。

3.1 理想解的確定

參照定義4，定義專家Pk的直覺模糊集規(guī)范化決策矩陣Dk的正理想解為xk+和負(fù)理想解為xk-，其直覺模糊集表示為：

3.2 綜合評價結(jié)果

專家Pk關(guān)于方案xj與規(guī)范化決策矩陣Dk的正、負(fù)理想解的歐幾里德距離表示為：

式中：

則專家Pk關(guān)于方案xj與直覺模糊集規(guī)范化決策矩陣Dk的正理想解的相對貼近度表示為：

專家群關(guān)于方案集的相對貼近度矩陣記為F

考慮專家的權(quán)重后，專家群關(guān)于方案集的最終評價矩陣C，可表示為C=［c1，c2，…，cn］，其中：

3.3 群決策的過程

綜上所述，基于直覺模糊信息的多屬性群決策過程歸納如下：

Step1:確定K個專家Pk（k=1，2，…，K）組成一個決策群體，待評估方案集X={x1，x2，…，xn}以及屬性集oi（i=1，2，…，m）。

Step2:獲取專家Pk的直覺模糊集決策矩陣Dk，由式（1）進(jìn)行規(guī)范化處理，得到專家Pk的規(guī)范化決策矩陣Dk。

Step3:由式（4），式（5）確定專家Pk關(guān)于屬性集的權(quán)重矩陣Wk。

Step5:由式（10）確定專家Pk的規(guī)范化決策矩陣Dk的正、負(fù)理想解。

Step6:由式（11）確定專家Pk關(guān)于方案xj與規(guī)范化決策矩陣Dk的正、負(fù)理想解的歐幾里德距離dk（xj，xk+）和dk（xj，xk-）。

Step7:由式（12）確定專家Pk關(guān)于方案xj與直覺模糊集決策矩陣的正理想解的相對貼近度，得到專家群關(guān)于方案集的相對貼近度矩陣F。

Step8:由式（13）確定專家群關(guān)于方案集的最終評價矩陣C，從而確定備選方案的優(yōu)劣排序。

4 算例分析

假設(shè)現(xiàn)有3個專家P1，P2，P3組成一個決策群體，對某型老舊機載設(shè)備的3個可靠性增長試驗方案xj（j=1，2，3）進(jìn)行評估與選優(yōu)。經(jīng)過分析，選擇以下4個因素作為評估指標(biāo)即屬性：方案可行性（o1）、方案經(jīng)濟性（o2）、方案風(fēng)險可承受性（o3）以及預(yù)期實施效果（o4）。采用專家咨詢的方法，可以得到各個專家Pk（k=1，2，3）對于方案xj（j=1，2，3）關(guān)于屬性 oi（i=1，2，3，4）給出的滿意度、不滿意度，具體數(shù)據(jù)見表1。

由表1可以獲取專家Pk的直覺模糊集決策矩陣，由式（1）規(guī)范化處理后得到Dk；由式（4），式（5）確定專家Pk關(guān)于屬性集O的權(quán)重矩陣Wk為

由式（7），式（8）專家群的直覺模糊相似度矩陣：

由式（9）確定專家的權(quán)重矩陣Φ：

由式（10）確定專家Pk的直覺模糊集決策矩陣Dk的正理想解Dk+、負(fù)理想解Dk-。

由式（11）確定專家Pk關(guān)于方案集x與直覺模糊集決策矩陣的正、負(fù)理想解的歐幾里德距離dk（X，xk+）和dk（X，xk-）。

由式（12）確定專家群關(guān)于方案集的相對貼近度矩陣F。

由式（13）確定專家群關(guān)于方案集的最終評價矩陣C，即C=［0.557 0.336 0.528］。

因此，備選方案的優(yōu)劣排序為x1＞x3＞x2，且x1為最滿意的方案。

5 結(jié)束語

本文在直覺模糊環(huán)境下，通過對專家群直覺模糊決策信息進(jìn)行充分挖掘和綜合集成，采用了直覺模糊熵來確定各屬性的權(quán)重；將專家的直覺模糊集決策矩陣轉(zhuǎn)化決策向量，提出了基于直覺模糊相似度的專家權(quán)重確定方法；利用TOPSIS方法對進(jìn)行專家群決策信息進(jìn)行綜合集結(jié)，給出了專家群關(guān)于方案集的相對貼近度矩陣，得到了備選方案的優(yōu)劣排序。結(jié)合算例表明，該方法可以有效克服多屬性群決策中的兩類沖突矛盾，結(jié)果可行有效。

［1］Atanassov K T.Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Fuzzy and Systems，1986，20（1）:87-96.

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Method on Intuitionistic Fuzzy Multi-attribute Group Decision-making Based on TOPSIS

WANG Chao1，2，CHEN Yun-xiang1，CAI Zhong-yi1，PAN Tian-feng3，LUO Cheng-kun1
（1.School of Equipment Management and Safety Engineering，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China；2.Equipment Department of the Air Force，Beijing100843，China；3.Troops 94997 of PLA，Beijing 100076，China）

Aim at multi-attribute group decision-making problem in condition of intuitionistic fuzzy information，the decision matrix of every expert’s intuitionistic fuzzy set is made to be standardized，relevanttheory ofintuitionistic fuzzy setisused，method on attribution-weight determination is put forward based on intuitionistic fuzzy entropy;in order to get the similarity degree of two experts’decision information arbitrary，the decision matrix of every expert’s intuitionistic fuzzy set is converted its decision vector，method on expert-weight determination is put forward based on similarity degree of intuitionistic fuzzy.Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution（TOPSIS）is used to integrate the group decision information，the ordering of alternatives is given.An example is used to verify validity of this method.

group decision-making，intuitionistic fuzzy set，intuitionistic fuzzy entropy，similarity degree，ideal solution

C93

A

1002-0640（2015）09-0011-05

2014-08-07

2014-09-17

“：十二五”國防預(yù)先研究基金資助項目（51327020104）

王 超（1984- ），男，河北石家莊人，碩士，工程師。研究方向：裝備維修保障。