段素芳

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東青島266106)

目前關(guān)于求非齊次線性微分方程的通解，主要是求一、二階非齊次線性微分方程的通解(或特解)［1］，還有的求三階(常系數(shù))非齊次線性微分方程的通解［2］，本文推廣以后得到n階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)與一、二階方程通解的結(jié)構(gòu)相同.

1 一階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)

首先，利用分離變量再積分的方法得齊次方程(2)的通解為 y=ce-∫p(x)dx，c為任意常數(shù).

其次，利用常數(shù)變易法得非齊次方程(1)的通解

而方程(2)的通解為Y(x)=ce-∫p(x)dx

故一階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)為

2 二階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)

關(guān)于二階非齊次線性微分方程的通解有如下定理

定理［3］設(shè)y*(x)是二階非齊次線性微分方程(3)的特解，Y(x)是對(duì)應(yīng)齊次方程(4)的通解，則y=Y(x)+y*(x)是方程(3)的通解.

注:以上定理對(duì)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程同樣成立.

3 定理及證明

由一、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程，得如下結(jié)論

定理n階常系數(shù)非齊次線性微分方程為

設(shè)Y(x)是n階常系數(shù)齊次線性微分方程

的通解，y*(x)是方程(6)的特解，則n階常系數(shù)非齊次線性微分方程(5)的通解為

其中方程(6)的通解為Y(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn，y1，y2，…yn是方程(6)的n個(gè)線性無關(guān)的特解.

證明:設(shè)y* 是方程(5)的特解，y1，y2，…yn是對(duì)應(yīng)齊次方程(6)的n個(gè)線性無關(guān)的特解，則齊次方程(6)的通解為Y(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn

又設(shè)方程(5)的任意一個(gè)解為y，則y-y* 是對(duì)應(yīng)齊次方程(6)的一個(gè)解，

于是存在不全為零的n個(gè)數(shù)c1，c2，…，cn使得y-y* =c1y1+c2y2+…+cnyn

即y=y* +c1y1+c2y2+…+cnyn

上式即為n階常系數(shù)非齊次線性微分方程(5)的通解.

4 舉例說明

例1 求方程y?-4y″+4y′=(2x+1)e2x的通解.

解:對(duì)應(yīng)齊次方程:y?-4y″+4y′=0

特征方程:r3-4r2+4r=0

特征根:r1=0，r2=r3=2

由題意知Pm(x)=x+2(m=1)λ=2

因?yàn)棣?2是特征方程的二重根，故可設(shè)原方程特解y* =x2(ax+b)e2x

例2求方程y?+2y″-2y′-4y=excosx的通解

解:特征方程:r3+2r2-2r-4=0

要求原方程一個(gè)特解，先求方程y?+2y″-2y′-4y=ex(cosx+isinx)=e(1+i)x的特解

令 Q=a，Q′=Q″=Q?=0，φ(λ)= λ3+2λ2-2λ-4

且φ(1+i)=4i-8

故原方程得通解為:y=Y(x)+y*

5 結(jié)語

一、二階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解加上非齊次方程自身的一個(gè)特解，以此類推得到n階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)也與之相同，同時(shí)在例2的計(jì)算過程中公式使得傳統(tǒng)的待定系數(shù)法更加簡單.

［1］陳華喜.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的若干求法［J］.長沙大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，(5):1－2.

［2］吳檀.三階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解［J］.北京科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1994，(2):2－5.

［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第6版)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［4］鄧云輝.線性常系數(shù)非齊次微分方程的特解公式［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，(5):2－3.