楊榮如

（海軍駐上海地區(qū)艦艇設(shè)計(jì)研究軍代表室 上海200011）

引 言

隨著船舶設(shè)計(jì)的發(fā)展，人們?yōu)榱双@得更好的船舶操縱性能，在推力設(shè)備上采用了更高效的全回轉(zhuǎn)推進(jìn)器、吊艙推進(jìn)器和噴水推進(jìn)器等新一代推進(jìn)轉(zhuǎn)置。這樣雖然可以有效提高系統(tǒng)的可靠性，但同時(shí)也為系統(tǒng)增加了更多的冗余度。對于這樣的過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，“如何將控制系統(tǒng)得到的指令分配到各推進(jìn)器上”是系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中需要考慮的一個(gè)重要問題。

對于船舶運(yùn)動(dòng)控制，通常安裝多個(gè)可以實(shí)時(shí)產(chǎn)生變化的推力和轉(zhuǎn)矩的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，包括螺旋槳、舵、鰭等裝置。本文研究在位置保持及特定軌跡航行條件下的控制分配問題，該種作業(yè)條件下，執(zhí)行機(jī)構(gòu)可為管道螺旋槳、全回轉(zhuǎn)推進(jìn)器、吊艙推進(jìn)器和噴水推進(jìn)器等裝置。為了完成作業(yè)要求，通常船舶上安裝多個(gè)推進(jìn)裝置，由它們共同產(chǎn)生控制器計(jì)算得到系統(tǒng)所需要的力和力矩?？刂品峙浼夹g(shù)是完成控制量最優(yōu)分配的最為有效的方法，文章將對該問題進(jìn)行一般性描述，然后從線性和非線性兩個(gè)方面進(jìn)行討論，介紹推力分配技術(shù)的最新研究成果，討論該領(lǐng)域有待進(jìn)一步研究的問題。

1 問題描述

考慮一般的反饋控制系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述如下［1］：

其中向量x表示船舶系統(tǒng)的狀態(tài)，u為系統(tǒng)的輸入。通常船舶控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中，首先不考慮具體執(zhí)行機(jī)構(gòu)的性能，而是從船舶的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，根據(jù)擾動(dòng)情況，設(shè)計(jì)出控制器，該系統(tǒng)的輸入包括橫蕩力、縱蕩力及艏搖力矩三個(gè)自由度，向量u可以表示為：

但是該組力和力矩則需要由若干個(gè)具體的推進(jìn)器來實(shí)現(xiàn)，這樣系統(tǒng)的狀態(tài)空間變?yōu)橐韵氯齻€(gè)方程：

向量 表示推進(jìn)器產(chǎn)生的推力向量，其具體形式與安裝的推進(jìn)器數(shù)量及種類有關(guān)?？刂品峙渚褪且瓿傻脑O(shè)計(jì)，通過其反函數(shù)

可以將控制器得到的船舶系統(tǒng)三自由度的力和力矩的輸入，轉(zhuǎn)化為具體推進(jìn)器的輸入，進(jìn)而構(gòu)成一個(gè)完成的控制系統(tǒng)。以上是船舶控制分配問題的一般性描述。

2 線性控制分配

2.1 解線性方程組

Morgan的專著最早涉及到船舶的推力分配問題［2］。他所研究的系統(tǒng)安裝有3個(gè)推力方向固定的螺旋槳，產(chǎn)生的推力為 ，考慮到螺旋槳旋轉(zhuǎn)方向可逆，各推力可以取負(fù)值。第1個(gè)螺旋槳布置在尾部，其余2個(gè)螺旋槳作為側(cè)推。設(shè)3個(gè)推進(jìn)器的x軸與推進(jìn)器到船舶旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角分別為1，2，3，3推進(jìn)器到旋轉(zhuǎn)中心的距離為l1，l2，l3，由力和力矩的疊加原理可知［2］：

求解以上方程組，可得：

對于超過3臺(tái)推力器的情形，也可按上述方式求解并平均分配在各推進(jìn)器上。該分配方案中，推進(jìn)器的方式是固定的，這樣的方案并非能量最優(yōu)，也沒有考慮實(shí)際的工作海況。該種方法是船舶控制分配技術(shù)的最原始的形式，后來的各種方法是在該方式基礎(chǔ)上考慮更為實(shí)際的工作狀況而改進(jìn)形成的，例如Wichers提出的分組分解法，這種方法是將多個(gè)推進(jìn)器分成小組，首先根據(jù)指令在第1組推進(jìn)器中進(jìn)行分配，如果無法滿足則再加入第2組推進(jìn)器，這樣依次迭代，直到滿足條件后方可停止，但這樣最后幾組推力器往往得不到充分使用［3］。早期的這種方法只適用于推力方向固定的推進(jìn)裝置，如敞式螺旋槳、槽道螺旋槳等，該算法的使用范圍也頗受限制，目前此種算法應(yīng)用場合較少。

2.2 無約束偽逆算法

隨著船舶特種裝置的發(fā)展，全回轉(zhuǎn)推進(jìn)器逐步應(yīng)用到船舶操縱中。對于一個(gè)全回轉(zhuǎn)推進(jìn)器，具有推力大小和方向兩個(gè)變量，這使推力分配問題更加復(fù)雜，但這也為尋找最優(yōu)推力分配方法提供了可能。廣義逆分配算法，主要針對的是裝有全回轉(zhuǎn)推進(jìn)器的船舶而提出的，其本質(zhì)上采用L2范數(shù)近似描述系統(tǒng)消耗的總功率，作為該線性優(yōu)化目標(biāo)。該方案也是求解線性方程組的進(jìn)一步發(fā)展。因?yàn)槊總€(gè)推進(jìn)器變?yōu)?個(gè)輸入變量，這樣方程組含有無窮多解。偽逆算法就是要從中選取出最優(yōu)分配方案［4］。

對于裝有n個(gè)全回轉(zhuǎn)推進(jìn)器的船舶，設(shè)各個(gè)推力組成的推力向量為，各推進(jìn)方向與x軸夾角組成向量為，每個(gè)推進(jìn)器在船體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（xi，yi）。由各個(gè)推進(jìn)器產(chǎn)生的推力可以描述為：

式中：W為正定矩陣，對于以上的約束優(yōu)化問題，定義如下的拉格朗日函數(shù)：

式中： 為拉格朗日乘子，可以得到拉格朗日函數(shù)倒數(shù)如下：

式中u滿足：

將（4）帶入（1），有

如果取W為單位陣，最后得到的在某一給定角度下，最優(yōu)的推力方案為

此方案相比求解線性方程組，可以找到能量消耗最優(yōu)方案，而且求解方法簡單。由于沒有約束條件，無法對推進(jìn)器的最大值加以限制，此外某些物理?xiàng)l件也限制了該方法的使用。

2.3 約束線性優(yōu)化

上述偽逆算法不能保證約束，即 （其中為可行域）。但是考慮輸入的可行域，很有可能導(dǎo)致在可行域內(nèi)無法找到一點(diǎn)滿足 ，這導(dǎo)致控制分配算法產(chǎn)生一定的誤差。Durham在1993年證明出在加入簡單的飽和限制后，任何一個(gè)廣義逆都不能保證任何情況下進(jìn)行沒有誤差的控制分配。因?yàn)榧尤腼柡蜅l件后，系統(tǒng)誤差不可避免，因此將誤差納入到優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)中。

首先要給定變量的可行域，可以用矩陣A和向量b表示如下：

能量消耗可以采用1-范數(shù)或∞-范數(shù)進(jìn)行表征，這樣可以得到一個(gè)線性規(guī)劃問題［5-6］。如果考慮1-范數(shù)情況，控制分配的目標(biāo)函數(shù)如下：

約束條件如下：

這樣可以借助線性規(guī)劃的一般算法進(jìn)行求解，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量小，可以快速完成控制分配的計(jì)算。此種算法及后續(xù)幾種算法都是針對裝有多個(gè)全回轉(zhuǎn)推進(jìn)器（或其他推力方向可變的推進(jìn)器，如吊艙推進(jìn)器）進(jìn)行研究的，目前在水下航行器中，這些算法也有一定的應(yīng)用［20］。

2.4 誤差最優(yōu)的二次規(guī)劃

該種方法是與2.3中方法相對應(yīng)的，也是考慮約束條件的線性優(yōu)化方法，不同點(diǎn)是在目標(biāo)函數(shù)中能量消耗與誤差均采用L2范數(shù)進(jìn)行描述，這使得問題可以采用數(shù)值二次規(guī)劃的方法求解［7-9］。采用該種方法的控制分配可用如下目標(biāo)函數(shù)描述：

滿足：

這個(gè)問題可以變成一個(gè)二次規(guī)劃問題，如下：

滿足：

目前求解二次規(guī)劃問題是非常方便的，Matlab中提供了直接基于二次規(guī)劃求解控制分配的工具箱QCAT，目前也有C語言編寫的軟件。但是第2.3節(jié)和第2.4節(jié)中介紹的L1范數(shù)和L2范數(shù)都不是對船舶推進(jìn)裝置功率消耗狀況最準(zhǔn)確的描述［10］。

3 非線性控制分配

在非線性控制分配算法中，是一個(gè)非線性模型，這就使目標(biāo)函數(shù)和約束條件可以含有非線性項(xiàng)。為了更為準(zhǔn)確地描述控制分配過程，引入非線性算法是必要的，尤其是在線性模型很難近似的時(shí)變系統(tǒng)中。前面提到過，推力向量的L1范數(shù)、L2范數(shù)和L∞均很是對功率消耗的近似描述。對于螺旋槳及由其衍生出的推進(jìn)器裝置而言，其功率消耗P與轉(zhuǎn)速n有如下近似關(guān)系［11，17］：

這為目標(biāo)函數(shù)帶來了很強(qiáng)的非線性。

3.1 序列二次規(guī)劃算法

Johansen在2004年最早將序列二次規(guī)劃方法應(yīng)用到控制分配當(dāng)中，在其模型中考慮了能源消耗、避免奇異結(jié)構(gòu)，降低系統(tǒng)磨損等問題［12］。其基本模型如下［12，16］：

其中各項(xiàng)定義同2.2中定義的方法。系統(tǒng)中存在一種特殊的狀態(tài)，就是 非滿秩的時(shí)候，稱之為奇異狀態(tài)。在實(shí)際工作中，若系統(tǒng)陷入奇異狀態(tài)，當(dāng)控制信號發(fā)生較大變化時(shí)，各推力器無法在短時(shí)間合成所需要的力和力矩，此時(shí)系統(tǒng)不可控（這里的不可控不同于線性系統(tǒng)理論中所提到的不可控概念）。

此外全回轉(zhuǎn)推進(jìn)器在旋轉(zhuǎn)過程中會(huì)產(chǎn)生較大摩擦，為了減小機(jī)械磨損，需要對各推進(jìn)力方向的變化率加以限制，通常限制在1 °/s一下。

這樣就可以得到一下優(yōu)化模型：

滿足：

目標(biāo)函數(shù)中第一項(xiàng)表示能量函數(shù)，第二項(xiàng)是誤差，最后兩項(xiàng)是對推力方向變化及奇異線性限制采用的罰函數(shù)，其中矩陣Q為正定矩陣。Johansen對此問題采用序列二次規(guī)劃的方法進(jìn)行求解，簡要步驟如下：

（1）采用解析法或數(shù)值方式計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)J在 點(diǎn)的二階泰勒展開。

（2）采用解析或數(shù)值微分的方法計(jì)算出F和G在 點(diǎn)的一階泰勒展開。

（4）求解二次規(guī)劃問題，定義遞推結(jié)果如下：

序列二次規(guī)劃是工業(yè)界應(yīng)用最為廣泛的幾種非線性優(yōu)化算法之一，可以高效率地完成控制分配問題。但是若對于非凸函數(shù)，該種算法只可以取到局部最優(yōu)點(diǎn)，而非全局最優(yōu)點(diǎn)。

3.2 動(dòng)態(tài)尋優(yōu)方法

上面介紹的序列二次規(guī)劃方法，屬于靜態(tài)求解控制分配問題。如果考慮時(shí)變情形，Lagrange乘子變?yōu)椋?/p>

假設(shè)一個(gè)運(yùn)動(dòng)控制算法的Lyapunov函數(shù)存在，對于含有控制分配的Lyapunov函數(shù)可以定義如下：

其中 。我們需要一個(gè)沿著跟蹤軌跡的V具有負(fù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)，這樣可以得到一個(gè)控制分配算法如下：

其中，和K為對稱正定增益矩陣，和定義同 Johansen（2004）給出的方法［13-15］。

這種方法的優(yōu)點(diǎn)是沒有直接的數(shù)值優(yōu)化算法而帶來的龐大計(jì)算量。缺點(diǎn)是對于非凸的目標(biāo)函數(shù)與約束條件，這種方法不一定總是收斂的。

3.3 智能分配算法

對于前面兩種方法在某些條件下不能找到全局最優(yōu)的缺點(diǎn)，智能優(yōu)化算法也被應(yīng)用到求解控制分配問題，例如遺傳算法、粒子群算法等［20-21］。因?yàn)橹悄芩惴ú恍枰柚繕?biāo)函數(shù)的梯度信息，這樣就可以設(shè)計(jì)更為接近系統(tǒng)實(shí)際情況的非凸函數(shù)、非光滑的優(yōu)化模型。但是智能優(yōu)化算法由于運(yùn)算量龐大，往往不能滿足控制分配實(shí)時(shí)性的要求，這就要求其進(jìn)行離線計(jì)算，并制作出數(shù)據(jù)庫，在實(shí)際工況下進(jìn)行在線查詢。

4 結(jié) 論

船舶動(dòng)力定位中控制分配越來越受到人們的重視，利用控制分配技術(shù)，可以實(shí)現(xiàn)船舶控制器模塊化設(shè)計(jì)，即對船舶總體的運(yùn)動(dòng)控制可以先只考慮船體的總體運(yùn)動(dòng)性能，而不考慮具體執(zhí)行機(jī)構(gòu)的性能，這樣為船電系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來極大的方便。目前使用最多的控制分配算法是偽逆算法與序列二次規(guī)劃算法。傳統(tǒng)方法在尋找能量最優(yōu)解上存在一定的困難，近些年新興的智能優(yōu)化算法對尋找全局最優(yōu)解提供了可能，但是其巨大的計(jì)算量也為實(shí)行分配帶來了很大挑戰(zhàn)，因此智能優(yōu)化算法在控制分配問題中仍僅處于理論研究階段。

對于未來控制分配算法，主要有以下幾個(gè)方面的發(fā)展趨勢：一是得到更接近全局最優(yōu)解的優(yōu)化算法，可以考慮將各種已有的控制分配方法結(jié)合起來，充分利用各種方法的優(yōu)點(diǎn)［18-19］；二是提高智能優(yōu)化算法的收斂速度，這樣方可以廣泛用于推力分配的工程設(shè)計(jì)中來；三是充分考慮推力分配環(huán)節(jié)與系統(tǒng)整體的耦合問題，以改善系統(tǒng)的總體性能，這是一項(xiàng)極具挑戰(zhàn)性的工作。

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