徐光魯，莊 健

(安徽工業(yè)大學(xué)商學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

復(fù)合多層RBF網(wǎng)絡(luò)及其在偏微分方程數(shù)值解中的應(yīng)用

徐光魯，莊 健

(安徽工業(yè)大學(xué)商學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

針對(duì)多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)具有很高的實(shí)函數(shù)逼近能力，但每個(gè)聚類上的逼近精度不高的特點(diǎn)，通過引進(jìn)子網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)造復(fù)合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)。模擬實(shí)驗(yàn)表明：這種網(wǎng)絡(luò)可提高逼近精度，尤其對(duì)于實(shí)函數(shù)逼近精度更高；將該網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于偏微分方程的求解,可以克服傳統(tǒng)徑向基函數(shù)插值法因?yàn)橐雽?dǎo)數(shù)邊界條件而精度大幅下降的缺點(diǎn)，使得數(shù)值解的精度提高3～4個(gè)數(shù)量級(jí)。

子網(wǎng)絡(luò)；復(fù)合多層RBF網(wǎng)絡(luò)；數(shù)值解；偏微分方程

無網(wǎng)格法[1-2]是近20年來發(fā)展起來的求偏微分方程數(shù)值解的新方法。該方法無需像有限元法那樣對(duì)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格化，因此可以用于有限元法失效的場合，如模擬裂縫的隨機(jī)延生、區(qū)域和邊界不規(guī)則、三維以上空間而難以網(wǎng)格化的場合以及物體動(dòng)態(tài)變形使網(wǎng)格嚴(yán)重扭曲以致誤差很大的場合等。

徑向基函數(shù)的插值法是無網(wǎng)格法的一種，它的最大特點(diǎn)是與維數(shù)無關(guān)，可以用于高維的場合。該方法首先由Kamsa[3]、Chen和Golberg[4]提出，之后Hon和Wu[5-6]作了許多有益的工作。但該方法的缺點(diǎn)是在許多情況下精度不高[7-8]，導(dǎo)數(shù)邊界條件難處理以及求逆矩陣時(shí)條件數(shù)過大等問題。Liu和Gu[1]提出的強(qiáng)式和弱式相結(jié)合的方法雖然在一定程度上解決了導(dǎo)數(shù)邊界條件的問題，但這種方法不是完全意義上的無網(wǎng)格法。

基于徑向基函數(shù)的插值法的無網(wǎng)法由于其無需網(wǎng)格化，適用于任意區(qū)域，任意邊界和任意維空間。該方法吸引國內(nèi)許多研究者[7-10]，其中文獻(xiàn)[7]找出MQ擬插值算法中形狀參數(shù)必須滿足的條件，解決了這類插值問題中形狀參數(shù)難以確定的問題；文獻(xiàn)[8]在Wu提出的徑向基函數(shù)的擬插值方法的基礎(chǔ)上提出新的動(dòng)點(diǎn)算法，其精度比Wu的方法更高；文獻(xiàn)[9]對(duì)移動(dòng)最小二乘法的無網(wǎng)格法作了改進(jìn)，解決這種方法引入邊界條件難的問題；文獻(xiàn)[10]鑒于有限元法存在色散問題，將基于徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格法用于聲學(xué)問題，取得良好的效果。本文提出一種復(fù)合徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)，它由多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)[11]和改進(jìn)的多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)[12]改進(jìn)而來的，以提高算法的逼近精度。

1 復(fù)合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)

1.1 多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)

(1)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)[11-12]由多個(gè)單層徑向函數(shù)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成，其在第1層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上再用第2層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)去擬合第1層網(wǎng)絡(luò)的殘差函數(shù)，然后將得到的殘差函數(shù)和第1層的擬合結(jié)果相加得到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的總輸出；再在2層網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，用第3層網(wǎng)絡(luò)去擬合2層網(wǎng)絡(luò)的擬合殘差函數(shù)，如此進(jìn)行下去，得到高精度的多層徑向函數(shù)網(wǎng)絡(luò)。

(2)層數(shù)的確定給定一個(gè)充分小的正數(shù)ε。記第k層的廣義交叉率為GCVk。如果則計(jì)算擬合誤差，繼續(xù)構(gòu)造第k+1層網(wǎng)絡(luò)；如果，就放棄這一層網(wǎng)絡(luò)，保留k-1層網(wǎng)絡(luò)。廣義交叉率GCV按下式計(jì)算

權(quán)重的確定方法為

1.2 復(fù)合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)

為進(jìn)一步提高多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)函數(shù)逼近能力，將聚類中的每個(gè)樣本皆看成一個(gè)徑向基函數(shù)的中心，這樣一個(gè)樣本對(duì)應(yīng)一個(gè)徑向基函數(shù)，這些徑向基函數(shù)共同逼近這個(gè)聚類上的實(shí)函數(shù)，精度就會(huì)有很大的提高。

1.3 自適應(yīng)遺傳算法

文中采用自適應(yīng)遺傳算法采用浮點(diǎn)數(shù)編碼，每個(gè)染色體具有1個(gè)向量，對(duì)應(yīng)寬度系數(shù)。自適應(yīng)遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)是GCV，適應(yīng)度函數(shù)是GCV的倒數(shù)。交叉操作采用均勻交叉，變異操作采用均勻變異，由于均勻交叉和均勻變異操作對(duì)樣本的“破壞”較大，所以交叉概率和變異概率采用自適應(yīng)方法，根據(jù)適應(yīng)度值所確定的概率分布選擇生存的個(gè)體和淘汰的個(gè)體。

2 偏微分方程的求解

先構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)的第1層。將區(qū)域內(nèi)的樣本點(diǎn)和邊界上的樣本點(diǎn)混合，作增廣樣本，用k-mean法對(duì)其進(jìn)行聚類，得到m1個(gè)增廣聚類，由增廣聚類得到m1個(gè)樣本聚類。假設(shè)第i個(gè)樣本聚類有個(gè)樣本，其中區(qū)域內(nèi)樣本個(gè)，各邊界上的樣本分別為個(gè)。將每個(gè)樣本作為徑向基函數(shù)，按上述的用基本多層徑向基函數(shù)求偏微分方程數(shù)值解的方法構(gòu)造一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)。這樣共得到m1個(gè)子網(wǎng)絡(luò)。將各子網(wǎng)絡(luò)綜合起來便得到第1層網(wǎng)絡(luò)。用同樣的方法構(gòu)造其余網(wǎng)絡(luò)，得到整個(gè)復(fù)合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的輸入為區(qū)域或邊界上的點(diǎn)時(shí)，輸出為偏微分方程的解的近似值。

3 計(jì)算仿真

在區(qū)域內(nèi)取1 600個(gè)樣本點(diǎn)，在4條邊界線上各取100個(gè)樣本點(diǎn)。每層網(wǎng)絡(luò)的聚類個(gè)數(shù)為40。遺傳算法的種群個(gè)數(shù)取40，最大進(jìn)化代數(shù)取100。訓(xùn)練結(jié)果每層的訓(xùn)練誤差（均方根誤差）及其對(duì)比見表1。

由表1可以看出，隨著層數(shù)的增加，方根誤差逐漸減小。特別是第2層，誤差比第1層減小一個(gè)數(shù)量級(jí)。復(fù)合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)要比未改進(jìn)的多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)小3～4個(gè)數(shù)量級(jí)。

表1 每層的訓(xùn)練誤差均方根誤差及其對(duì)比Tab.1 Comparison of every layer of RMSE

數(shù)值解和解析解的相對(duì)誤差，按下式計(jì)算

表2給出了幾種方法的相對(duì)誤差結(jié)果比較，PPCM模型結(jié)果引自參考文獻(xiàn)[13]，可見復(fù)合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的有效性。

表2 解析解與數(shù)值解的相對(duì)誤差對(duì)比Tab.2 Comparison of numerical solution and analytic solution

4 結(jié) 論

本文提出復(fù)合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)并將其用于求偏微分方程的邊值問題的數(shù)值解。仿真計(jì)算結(jié)果表明，用該網(wǎng)絡(luò)求解偏微分方程的邊值問題，具有更高的精度，其精度要比基本多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)高3～4個(gè)數(shù)量級(jí)，比PPCM方法高5個(gè)數(shù)量級(jí)，且不存在導(dǎo)數(shù)邊界條件問題，因而這是一種有效的求偏微分方程數(shù)值解的無網(wǎng)格法方案。

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責(zé)任編輯：丁吉海

Compound Multilayer RBF Network and ItsApplication to Numerical Solution to Partial Differential Equations

XU Guanglu,ZHUANG Jian
(School of Business,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

Multilayer radial basis function network has high ability for real function approximation.But approximation accuracy of each cluster is not high.By introducing sub-RBF network,compound multilayer radial basis function network was constructed.Computer simulation experiment confirmed that with this constructed compound multilayer RBF network the approximation accuracy is improved,especially for real function approximation.When used to solve the numerical solution of partial differential equations,it can overcome the defect of inaccuracy of traditional radical RBF with introducing derivative boundary conditions,and the accuracy of numerical solution is improved by 3-4 orders of magnitude.

subnetwork;compound multilayer RBF network;numerical solution;partial differential equations

O241.82

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2015.01.015

2014-09-18

徐光魯(1990-)，男，山東聊城人，碩士生，研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)。

莊健(1957-)，男，上海市人，博士，研究員，研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)與機(jī)器學(xué)習(xí)。

1671-7872(2015)-01-0076-05