劉 垚

（山西大學 工程學院，山西 太原 030013）

0 引言

變幅桿在超聲波加工中被稱為超聲聚能器，在整個設備的振動系統(tǒng)中有著重要的作用。機械振動的質點位移或速度通過變幅桿可以得到放大，同時在較小的面積上聚集超聲能量，起到聚能作用。超聲波加工中的換能器設備在頻率20kHz范圍內(nèi)振幅只有幾微米，但在超聲焊接、超聲金屬成型和某些超聲外科設備中，需要幾十到幾百微米的輻射面振動幅度，因此必須在換能器與工具頭之間連接超聲波變幅桿，把機械振幅放大到所需的要求。為了使超聲能量更有效地從換能器向負載傳輸，變幅桿還作為阻抗變換器進行阻抗匹配［1］，因此變幅桿的設計顯得尤為重要。本文從常用的3種設計方法入手，分析它們的適用范圍和各自的優(yōu)缺點。

1 解析法

振動能量通過變幅桿的任一截面時保持不變（傳播損耗不計），因此能量密度在截面積小的地方變大，截面面積與能量密度成反比，振幅A的平方與能量密度成正比，表示為：

其中：Ke為系數(shù)；ρe為能量密度；A為振幅。

由式（2）可知，能量密度變大振幅隨之也得到放大。通常我們要使變幅桿的外激振動頻率和固有頻率相等，使兩者處于共振狀態(tài)，從而獲得最大的振幅。

我們從經(jīng)典理論出發(fā)，建立變幅桿動力學微分方程，根據(jù)變幅桿的邊界條件求其確定解，從而推導出各設計參數(shù)公式，這種方法就是解析法。在生產(chǎn)實踐中它很有使用價值，物理意義明確。解析法適用于1／4的振動波長大于變幅桿各部位橫截面尺寸的情況，這時不需考慮橫向振動對縱向振動的影響。由此我們可以計算出結構簡單的圓錐形、指數(shù)形及階梯形等變幅桿的諧振長度、彈性力分布、節(jié)點位置和頻率方程。通過解析方法，結合機電類比原則，也可建立變幅桿機械阻抗分析模型，對其進行超聲性能分析［2］。

但是當1／4的振動波長小于變幅桿橫截面尺寸時，就必須考慮橫向振動對縱向振動的影響，若這時通過解析法計算，得出的結果將會出現(xiàn)較大的偏差。為了解決橫向振動的影響我們采用表觀彈性法，對于圓錐形、指數(shù)形及階梯形等變幅桿的二維耦合振動，利用表觀彈性法都可以得出其振動參數(shù)的計算公式［3］。

對于典型結構的變幅桿，借助于計算機并利用解析法，通過經(jīng)驗數(shù)據(jù)和圖表已經(jīng)能解決工程上的大部分問題。但是隨著科學技術的發(fā)展，超聲波加工技術的應用范圍也不斷擴展，對于截面復雜多變的變幅桿，數(shù)學公式已經(jīng)很難準確描述其結構，在此情況下解析法就不再適用。

2 轉換矩陣法

對于非軸對稱變幅桿，利用等效四端網(wǎng)絡法，根據(jù)面積等效方式計算出其頻率方程，由此得出變幅桿的固有頻率，這種方法稱之為轉換矩陣法。轉換矩陣法適用于平面波通過變幅桿截面的情況，我們把變幅桿分解成許多小圓錐臺的組合，建立超聲系統(tǒng)激勵模型，推導出輸入電能與變幅桿的關系式，根據(jù)此關系式就可以設計出低阻抗非軸對稱變幅桿［4］。轉換矩陣法在工程領域已經(jīng)應用了很長時間，具有定性分析和預測超聲換能系統(tǒng)的特點。

但是對于結構更復雜、截面尺寸變化較大或橫向尺寸大于或等于1／4波長的變幅桿，轉換矩陣法就不再適用，這時較好的解決方法是有限元分析法。

3 有限元法

以變分原理為基礎將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內(nèi)假設的近似函數(shù)來分片表示求解域上待求的未知函數(shù)，并利用計算機進行求解計算，這就是有限元方法，在復雜的工程問題中它是一種有效的計算工具。對于截面變化復雜的變幅桿，波動方程求解起來比較困難，甚至是無法求解，這時可以利用有限元方法對其進行分析計算。通過實驗得出的變幅桿結構利用有限元方法優(yōu)化后，其輸出端振幅比傳統(tǒng)方法計算出的變幅桿高出4倍左右，從而使變幅桿的效能得到有效的提高［5］。

在工程領域中復合型變幅桿通常利用ANSYS有限元分析程序進行優(yōu)化設計，計算出變幅桿的最優(yōu)結構，從而在輸出端得到較大的振幅。本文以圓柱圓錐復合型變幅桿為例，材料采用45鋼，彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3，質量密度為7 800kg／m3，建立的有限元模型如圖1所示。

有限元模型建立后，我們采用完全法進行諧響應分析。在變幅桿固定端面內(nèi)所有的節(jié)點上施加軸向方向為0.01mm的位移，變幅桿的固有頻率為12.758kHz，計算輸出端面產(chǎn)生的持續(xù)周期位移響應，分析結果如圖2所示。選取端面不同徑向的節(jié)點，經(jīng)過時間歷程后處理器得出在變幅桿輸出端的最大平均振幅為0.085mm，由于輸入端振幅為0.01mm，所以變幅桿的放大比例為8.5倍。

有限元法從根本上解決了結構形狀復雜的變幅桿的設計，它不僅計算精度高，而且能大幅度提高變幅桿結構設計的整體性。

圖1 復合型變幅桿的有限元模型

圖2 節(jié)點諧響應分析結果

4 結論

本文分析了變幅桿的解析法、轉換矩陣法等傳統(tǒng)設計方法，并對其適用范圍和局限性進行了說明。而有限元法則適用于具有復雜結構形狀的變幅桿，能有效提高所設計變幅桿的整體性和適應性。通過ANSYS軟件建立了圓柱圓錐復合型變幅桿的有限元模型，并進行諧響應分析得出變幅桿輸出端面產(chǎn)生的位移響應。

［1］ 曾凡凡，王時英，呂明.階梯型變幅桿圓弧過渡動力學分析［J］.機械設計與制造，2012（10）：210－212.

［2］ 賀西平，胡時岳.復合超聲縱振型變幅桿的簡化設計［J］.蘭州大學學報（自然科學版），2002（5）：24－26.

［3］ 王時英，呂明，軋剛.圓錐過渡復合變幅桿動力學特性研究［J］.太原理工大學學報，2007（2）：95－97.

［4］ 劉戰(zhàn)鋒，李培繁，王天琦.超聲復合變幅桿的設計與研究［J］.現(xiàn)代制造工程，2008（2）：102－105.

［5］ 張成光，于興芝.超聲波研磨加工機理的影響因素研究［J］.機床與液壓，2007（6）：65－67.