李澗青，高長生，鄭建華，荊武興

（1.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.中國科學院 空間科學與應(yīng)用研究中心，北京 100080）

0 引言

觀測日冕，通常是將日冕儀放在火箭、軌道天文臺、天空實驗室上進行大氣外觀測。隨著空間探索事業(yè)的發(fā)展，科學家更希望得到黃道面外的觀測數(shù)據(jù)。直接向黃道面外直接發(fā)射日冕探測器需消耗更多的燃料。借用行星引力提高軌道傾角，可節(jié)省燃料。1990年發(fā)射的Ulysses探測器，通過木星引力輔助變軌后，形成了太陽極軌探測器，但其巡航時間長，目標軌道距太陽遠，軌道周期長，導(dǎo)致日冕觀測效果不佳［1－3］。為改善該弊端，可選用內(nèi)行星作為借力體。與木星相比，一次借用內(nèi)行星引力無法達到大傾角，必須設(shè)計多次借力方案。歐空局計劃2013年發(fā)射Solar Orbiter探測器［4－6］。通過控制探測器進入金星影響球方位，使借力后軌道周期是金星軌道周期的2／3，達到多次借力目的。有文獻給出了Ulysses，Solar Orbiter探測器的軌道參數(shù)，但并未給出設(shè)計該類探測器軌道應(yīng)遵循的規(guī)律。此外，對某深空探測器軌道設(shè)計，文獻［7-8］采用圓錐曲線拼接法獲得了部分地心逃逸軌道參數(shù)；文獻［9］通過空間幾何示意圖分析了逃逸軌道參數(shù)間的關(guān)系，但并未見有文獻給出升交點赤徑和近地點幅角的解析解。

本文對多次借金星引力設(shè)計大傾角日冕探測器軌道進行了研究。

1 數(shù)值搜索算法迭代初值求取

考慮太陽、地球、目標星（金星）、木星四體引力建立軌道動力學模型。對該模型中的軌道計算，常歸為對兩點邊值問題的求解。兩點邊值問題的搜索算法有多種［10－11］。本文采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣迭代方法求解精確軌道。合適的迭代初值是保證該算法收斂的關(guān)鍵。

1.1 逃逸雙曲線超速

基于影響球觀點的圓錐曲線拼接法設(shè)計行星際軌道。先計算日心轉(zhuǎn)移軌道初始速度v1，再計算探測器的地心逃逸雙曲線軌道超速，最后給出全部地心逃逸參數(shù)。由行星星歷得出發(fā)射時刻te地球的位置re，到達時刻tp目標行星的位置rp。根據(jù)蘭伯特定理，v1唯一確定［12］。本文采用p迭代法求解v1，有

式中：f，，g，為四個關(guān)于普式變量z的標量函數(shù)；dθ為兩位置矢量夾角；p為軌道半通徑；a為軌道半長軸；dE為偏近點角差；μ為太陽引力常數(shù)；t為飛行時間［13］。規(guī)定了p的試探初值后可求出f，g,，進而求出dE，可得飛行時間。然后t和給定飛行時間對dt＝tp－te相減，利用試探值p反復(fù)迭代，直至｜t－dt｜小于規(guī)定值時，停止迭代，就可求出

由矢量相減原理，探測器的地心逃逸雙曲線超速

1.2 升交點赤徑和近地點幅角

地心逃逸軌道初始六參數(shù)為軌道半長軸a、偏心率e、傾角i、升交點赤經(jīng)Ω、近地點幅角ω和真近點角fe。其中：a，e可直接由v∞和初始地心距rm給出。規(guī)定fe＝0°。

從地球出發(fā)，可有無數(shù)條雙曲線軌道使飛行器以預(yù)定v∞通過地球影響球邊界。所有軌道均在一個旋轉(zhuǎn)曲面上，每條軌道都是曲面的母線，曲面軸線方向即為v∞方向。即在作用范圍邊界上，以垂直于旋轉(zhuǎn)曲面軸線方向切出一個圓，該圓上任一點，飛行器都可以同樣的v∞離開地球影響球。這樣就有無數(shù)組雙曲線i和對應(yīng)的Ω。

可根據(jù)發(fā)射場要求首先規(guī)定i，再確定Ω，ω。由式（6）已知v∞在地心慣性坐標系中的坐標為［xyz］T，設(shè)一新坐標系o-urutun：our軸沿v∞方向；oun軸沿期望的雙曲線所在軌道的動量距方向；out軸由右手定則決定。由坐標轉(zhuǎn)換可得

式中：u為v∞與雙曲線軌道升交點節(jié)線間夾角。式（7）僅有Ω，u兩個未知量，可唯一確定。設(shè)雙曲線軸線與v∞間夾角為β，由cosβ＝1／e可求出β。最后得ω＝u＋β＋180°。

由上述分析可知：地心逃逸軌道參數(shù)的a，e，i，fe均易確定。本文由簡單幾何原理，結(jié)合坐標變換，補充了Ω，ω求解方法，獲得了完整的地心逃逸軌道六參數(shù)。由天體力學可知，該六參數(shù)必然在基于四體引力動力學模型的軌道初值附近。本文的仿真以這些參數(shù)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣搜索算法的迭代初值，從而提高了該算法的計算效率。

2 金星多次借力提高軌道傾角設(shè)計

需指出的是：C3e最省是設(shè)計行星際軌道極重要的指標。在火箭發(fā)動機比沖I＝300s，探測器總質(zhì)量500kg條件下，從300km圓停泊軌道變軌所需燃料質(zhì)量和C3e的關(guān)系如圖1所示。為減少燃料消耗，應(yīng)嚴格控制C3e，即逃逸速度小是設(shè)計行星際軌道中的重要指標。

2.1 日心過渡軌道類型選取

圖1 燃料需要與C3e關(guān)系Fig.1 Relation betweenC3eand mass of fuel

探測器借金星引力飛行如圖2所示。圖中：vp為金星軌道速度；v-，v＋分別為探測器飛入、飛出金星影響球時的日心軌道速度；b為兩矢量間的夾角；α為飛入、飛出金星影響球時兩逃逸速度夾角，其大小與逃逸速度大小和探測器的近金星點距有關(guān)，已有解析公式可循。本文的目標是保證v-，v＋兩矢量構(gòu)成的平面垂直于黃道面的條件下，使b較大，即使借力后探測器的軌道傾角增大。

圖2 借力飛行Fig.2 Gravity-assist

因日心過渡軌道的選取和借力后提高傾角的效果無解析公式，需用數(shù)學仿真研究其規(guī)律。本文根據(jù)簡單的二體模型計算出探測器飛入、飛出金星的相對速度v∞p對應(yīng)的速度變化量Δv，用獲得的初值在真實動力學模型進行打靶搜索得到5種較典型的日心過渡軌道，在黃道面內(nèi)的分布如圖3所示（圖中未考慮其與金星和地球的相位關(guān)系，實際飛行中不可能從同一點飛出）。其主要性能參數(shù)見表1。表中：KT為探測器日心過渡軌道與金星軌道周期之比；e1為探測器日心過渡軌道的軌道偏心率；Δi為金星借力后傾角變化量。

圖3 飛向金星的不同軌道Fig.3 Different orbit to the Venus

由表1可得結(jié)論：無論采用何種軌道，1次金星借力提高傾角最多約10°；采用霍曼軌道方案的C3e最小，節(jié)省能量，但對提高軌道傾角效果不大；C3e越大，Δi并不是越大，這就要求設(shè)計金星多次借力軌道；C3e越大，e也越大，這非常重要，因為本文設(shè)計多次借力時發(fā)現(xiàn)每次借力后探測器日心軌道偏心率均有降低，當偏心率接近零時，再次借力后軌道不會繼續(xù)提高；軌道A、B、C的KT均接近于1，通過合理調(diào)節(jié)其進入金星的方位，使借力后探測器日心軌道周期等于金星軌道周期，可實現(xiàn)再一次借力，但軌道C的C3e過大，消耗的燃料過多，故不作考慮。本文選擇軌道A、B考察分析多次借力應(yīng)遵循的規(guī)律。

考慮軌道A方案，繼續(xù)設(shè)計金星借力后與其軌道周期相等的探測器日心過渡軌道，其與地球、金星的空間相位關(guān)系如圖4所示。仿真表明第一次借力后其e1很小（0.035），接近金星軌道的偏心率。若繼續(xù)設(shè)計第二次金星借力軌道，設(shè)金星軌道速度為vp，第二次借力前探測器的日心軌道速度為，因兩軌道周期相同，軌道接近圓形軌道，故vp，近似相等，且兩矢量構(gòu)成的平面幾乎垂直于黃道面。由圖2可知，飛入金星雙曲線超速v－p∞大小可近似為vp∞＝2×vp×sin（9.62／2）＝5.86km／s。是以vp終點為原點，以vp∞為半徑在空間形成的圓球弧上的一點。由圖2可知：當vp＋∞垂直于第二次借力后的日心軌道速度v2＋，且兩者構(gòu)成的平面垂直于黃道面時，形成新的傾角i2最大 為asin （vp∞／vp）＝9.64°。此處：i2為第二次金星借力后傾角，與借力前i1相比幾乎沒有增加。說明當e很小時，再一次借力對提高傾角效果不明顯。

表1 不同的日心過渡軌道性能參數(shù)Tab.1 Parameters of different orbits

圖4 探測器和金星軌道分布Fig.4 Orbit distribution between probe and Venus

由上述分析可得結(jié)論：因一次金星借力提高傾角最多約10°，故為達到黃緯20°以上的軌道傾角，必須采用連續(xù)兩次以上的金星借力方案；在保證金星借力后飛行1周再次與金星相遇的條件下，與借力前相比，探測器的日心過渡軌道偏心率將減小，且如其值接近于零，下一次金星借力后軌道傾角不會繼續(xù)提高，因此首次進入金星影響球前探測器日心軌道偏心率較大是多次借力提高傾角的關(guān)鍵。

2.2 典型軌道多次借力提高傾角效果

綜合上述分析可知：應(yīng)設(shè)計一種發(fā)射能量C3e較低、飛入金星前的日心過渡軌道偏心率較大的軌道，以保證多次借力不斷提高傾角的效果。本文選用軌道B方案設(shè)計多次金星借力軌道。沿金星軌道面方向看去，探測器的三次借力如圖5所示。由圖可知：每經(jīng)一次借力，軌道傾角均有增加，具體過程見表2。

圖5 探測器和金星軌道分布Fig.5 Orbit distribution between probe and Venus

表2 軌道B方案主要性能參數(shù)Tab.2 Parameters of orbit B

由表2可知：采用與金星軌道周期之比為1∶1多次借力軌道，3次借力后傾角可達到19.76°。與直接發(fā)射傾角20°的日冕探測器相比，軌道B方案可達到相同效果，但燃料節(jié)省3t。另由圖可知：每次借力后e1均在逐漸降低，第三次借力后e1＝0.012 1，該數(shù)值非常小，接近金星軌道的偏心率。若再進行第四次金星借力，可得vp∞＝2vpsin （19.76／2）＝12.01km／s，i2＝arcsin （vp∞／vp）＝20.07°?？砂l(fā)現(xiàn)傾角不再提高。實際上，是否能實現(xiàn)多次借力提高傾角，第一次進入金星影響球前e的作用至關(guān)重要。若e較小，即使增加借力次數(shù)，軌道傾角也不會增加。為達到下一次借力，必須保證借力后探測器仍與金星軌道半長軸相等，但這樣借力后日心軌道的e都在減小。大量仿真證明了該結(jié)論，理論解釋如下。不考慮影響球，從宏觀角度看，每次與金星相遇時，相當于有一沿著金星速度方向的力F作用于探測器，其作用時間dt約為0.5～1.0d。設(shè)金星的速度vp方向恒定，新坐標系o-xyz的原點位于探測器質(zhì)心，oy軸由日心指向探測器方向，ox軸在借力前探測軌道面內(nèi)，指向探測器速度方向，oz軸沿該平面的的法線方向。將F在o-xyz系中分解，只有Fx，F(xiàn)y影響e的變化，有

本文研究中，無論升交式（f＜180°）還是降交式（180°＜f＜360°）交會，F(xiàn)x均為正，cosE＋cosf均為負；降交式Fy大于零，升交式Fy小于零。故de始終小于零。

3 結(jié)束語

本文推導(dǎo)了逃逸軌道的升交點赤徑和近地點幅角的解析解，結(jié)合其它已知的四參數(shù)，可作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣迭代法計算軌道的迭代初值，保證了該算法的收斂性，為仿真大量軌道帶來了極大的便利。采用金星借力提高日冕探測器軌道傾角，應(yīng)采用多次借力方案。對如何選擇飛入金星前的日心過渡軌道方案，以及借力次數(shù)停止條件進行了理論證明和仿真分析。因為從地球上直接向金星發(fā)射探測器，無法保證地球逃逸能量C3e很小和飛向金星前的日心過渡軌道偏心率e很高的雙重目標。后續(xù)工作是：設(shè)計一種多天體交會軌道，使其具有C3e很小，與一個或多個天體交會后以很大的e飛向金星的特點。可以預(yù)料，這種軌道將進一步降低對運載火箭的要求，卻能將傾角提高到更高。

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