王健

知識要點：函數的性質

●單調性的判斷方法

①定義法：在定義域內先后進行取值、作差、變形、判正負.注意作差時須將差值f（x1）-f（x2）分解因式到可以判斷正負為止.

②導數法：對函數進行求導，根據導數的正負來判斷函數的單調性 （必修不作要求）.

③圖象法、復合函數法.其中復合函數法判斷單調性遵循“同增異減”的原則.

●奇偶性的判斷步驟

①先看定義域是否關于原點對稱;

②其次化簡判斷函數值是否恒為零（既是奇函數又是偶函數）;

③最后依據“同偶奇反”的原則，由定義判斷出函數f（x）與f（-x）的關系.

含有指數的函數的判斷過程需注意將f（x）與f（-x）用相同的形式來表示，如f（x）中含有ax，那么也要將f（-x）中的a-x化為來表示. 含有對數的函數可以通過觀察對數的真數部分相等還是互為倒數最終判斷出f（x）與f（-x）的關系，如lnx與ln互為相反數.

●求周期的方法

①定義法：對定義域內任意的x，存在非零常數T，使得f（x+T）=f（x）恒成立，則T即為函數y=f（x）的一個周期.如f（x+a）=-的周期T=2a.

②公式法：y=asin（ωx+φ），y=acos（ωx+φ）的最小正周期T=;y=tan（ωx+φ）的最小正周期T=.三角函數周期一般用公式法求.

③歸納法或圖象法：通過已知條件進行歸納或直接觀察圖象得出周期.

【提醒】

（1） 注意函數單調性的隱性描述與應用：

①符號乘積描述：任意a，b∈D，a≠b，（a-b）[f（a）-f（b）]的正負恒定.

②幾何描述：任意一點處的切線斜率的正負恒定（必修不作要求）.

③導數描述：單調函數的導數正負恒定（必修不作要求）.

常見的與單調性有關的問題：比較函數值大小、解不等式、求函數值域、求參數的范圍等.注意所求單調區(qū)間不可超出定義域的范圍.

（2） 函數奇偶性的重要結論：

①若奇函數f（x）在原點有定義，則必有f（0）=0.

②奇函數在關于原點對稱的單調區(qū)間部分有相同的單調性，偶函數則有相反的單調性.

（3） 周期性常應用于三角函數、函數求值、數列求和等問題中.要能準確區(qū)分出f（x+a）=f（x+b）反映的是函數周期特征，f（a-x）=f（b+x）反映的是函數對稱特征.一個周期函數周期的整數倍還是這個函數的周期，若無特別說明，一般在求周期問題中所求的是最小正周期.

（4） 一般地，若一個函數有兩個對稱特征（對稱軸和對稱中心），則其一定為周期函數.其中對稱中心與其相鄰的對稱軸的距離是周期的，相鄰的兩條對稱軸或兩對稱中心的距離是周期的.

【自查題組】

（1） 定義在R上的偶函數f（x）滿足：對任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），有（x2-x1）·[f（x2）-f（x1）]>0.則當n∈N*時，有 .

（A） f（-n）

（C） f（n+1）

（2） 下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間（-∞，0）上單調遞增的是 .

（A） f（x）= ? ? （B） f（x）=x2+1 （C） f（x）=x3 （D） f（x）=2-x

（3） f（x）=為R上的奇函數，則實數a= .

（4） 函數f（x）=log（x2-4）的單調遞增區(qū)間是 .

（5） 奇函數f（x）的定義域為R，若f（x+2）為偶函數，則f（1）=1，則f（8）+f（9）= .

知識要點：指數、指數冪與對數運算

●指數、指數冪運算公式

① n次方根：當n為奇數時，=a;當n為偶數時，=a.

② 運算性質：aras=ar+s，=ar-s，（ar）s=ars，（ab）r=arbr （a>0）.

③ 指數冪運算：a=（a>0），a-n=（n>0）.

●對數的運算公式

①指對互化：ab=N？圳logaN=b（a>0且a≠1）.

②和差公式：logaM+logaN=logaMN，logaM-logaN=loga.

③化簡公式：loga MbN=loga b，aloga b=b（b>0）.

④換底公式：loga b=（c>0且c≠1），MlogaN=Nloga M.

【提醒】

①指數、指數冪與對數運算是解相應的方程、不等式和比較大小等典型?？紗栴}的基礎，解題時注意利用公式統一函數、方程、不等式或代數式的形式，如：化成同底的指數或對數形式.

②解對數函數問題應注意真數與底數的限制條件：真數大于零，底數大于零且不等于1.

③含參代數式開偶次方要注意討論其正負才能去掉絕對值，如=a.

【自查題組】

（6） 設a=log32，b=ln2，c=5-，則a，b，c的大小關系為 .

（7） 方程+=3x-1的實數解為 .

（8） 不等式log2（2x-1）·log2（2x+1-2）<2的解集是 .

（9） 化簡：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，則的值為 .

知識要點：分段函數和含有絕對值的函數

●分段函數的特征

分段函數是一個函數，但在不同范圍內對應不同的表達式.其定義域是各段函數的定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函數最值中的最大值，最小值是各段函數最值中的最小值.

●分段函數圖象畫法

研究分段函數的重要方法是從它的圖象入手，畫分段函數的圖象應先根據各段函數的表達式畫出該段的函數圖象，然后將各段函數圖象通過定義域結合在一起，構成所求的完整圖象.

●分段函數的常見問題

①求值問題：解此類問題的關鍵是判斷自變量的值屬于分段函數定義的哪一段，再代入相應的表達式計算.關于周期函數的題目，代值所得結果會出現循環(huán)（如【自查題組】第12題），這時需要反復確認自變量的值所屬分段函數定義域的范圍，結合相應解析式來計算結果.

②解析式問題：比如知道f（x）在某一分段區(qū)間的函數解析式求對稱區(qū)間的函數解析式，這種情況通常需要結合函數的奇偶性，先將-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函數的奇偶性探究f（x）與f（-x）的關系，最后寫出所求函數表達式.

●含絕對值的函數的處理策略

①換元法：如函數y=x2+2x-1可化為y=x2+2x-1后令t=x換元為二次函數y=t2+2t-1（t≥0）.

②圖象變換法：y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）原來在x軸上方的圖象、把x軸下方部分沿x軸向上翻折后得到;y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）在y軸右方的圖象、去除y軸左方的圖象、然后將y軸右方的圖象關于y軸向左翻折后得到.

③化為分段函數：通過分類討論絕對值內代數式的正負去絕對值，轉化為分段函數.

【提醒】

（1） 分段函數是一個函數，不能把它誤認為是幾個函數.解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有參數的分段函數問題，利用圖象法研究時要注意參數對函數圖象范圍的影響，關注各段圖象的交點坐標與參數的聯系，注意關鍵點的計算.

（3） 求有關分段函數性質的問題時，應關注端點取值、每段函數圖象是相連的還是斷開的、能否取到特殊點（如奇函數能否取原點）等.

【自查題組】

（11） 設函數g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函數f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，則f（2014）的值為 .

（13） 已知函數f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為

.

（15） 設a為實常數，y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x<0時，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為 .

【參考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【復合函數單調性遵循同增異減的原則判斷】

（5） 1 【根據f（x）=-f（-x）與f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），則log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，則有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意對數式中真數大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如圖1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）圖象如圖2所示，若滿足題意，則平行于x軸的直線與圖象有三個不同的交點，且交點橫坐標分別為a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0時，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0時，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根據均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由題意可知6a-7≥a+1恒成立，當a≥0時不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 綜上所述，a≤-】

（9） 化簡：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，則的值為 .

知識要點：分段函數和含有絕對值的函數

●分段函數的特征

分段函數是一個函數，但在不同范圍內對應不同的表達式.其定義域是各段函數的定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函數最值中的最大值，最小值是各段函數最值中的最小值.

●分段函數圖象畫法

研究分段函數的重要方法是從它的圖象入手，畫分段函數的圖象應先根據各段函數的表達式畫出該段的函數圖象，然后將各段函數圖象通過定義域結合在一起，構成所求的完整圖象.

●分段函數的常見問題

①求值問題：解此類問題的關鍵是判斷自變量的值屬于分段函數定義的哪一段，再代入相應的表達式計算.關于周期函數的題目，代值所得結果會出現循環(huán)（如【自查題組】第12題），這時需要反復確認自變量的值所屬分段函數定義域的范圍，結合相應解析式來計算結果.

②解析式問題：比如知道f（x）在某一分段區(qū)間的函數解析式求對稱區(qū)間的函數解析式，這種情況通常需要結合函數的奇偶性，先將-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函數的奇偶性探究f（x）與f（-x）的關系，最后寫出所求函數表達式.

●含絕對值的函數的處理策略

①換元法：如函數y=x2+2x-1可化為y=x2+2x-1后令t=x換元為二次函數y=t2+2t-1（t≥0）.

②圖象變換法：y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）原來在x軸上方的圖象、把x軸下方部分沿x軸向上翻折后得到;y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）在y軸右方的圖象、去除y軸左方的圖象、然后將y軸右方的圖象關于y軸向左翻折后得到.

③化為分段函數：通過分類討論絕對值內代數式的正負去絕對值，轉化為分段函數.

【提醒】

（1） 分段函數是一個函數，不能把它誤認為是幾個函數.解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有參數的分段函數問題，利用圖象法研究時要注意參數對函數圖象范圍的影響，關注各段圖象的交點坐標與參數的聯系，注意關鍵點的計算.

（3） 求有關分段函數性質的問題時，應關注端點取值、每段函數圖象是相連的還是斷開的、能否取到特殊點（如奇函數能否取原點）等.

【自查題組】

（11） 設函數g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函數f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，則f（2014）的值為 .

（13） 已知函數f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為

.

（15） 設a為實常數，y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x<0時，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為 .

【參考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【復合函數單調性遵循同增異減的原則判斷】

（5） 1 【根據f（x）=-f（-x）與f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），則log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，則有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意對數式中真數大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如圖1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）圖象如圖2所示，若滿足題意，則平行于x軸的直線與圖象有三個不同的交點，且交點橫坐標分別為a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0時，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0時，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根據均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由題意可知6a-7≥a+1恒成立，當a≥0時不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 綜上所述，a≤-】

（9） 化簡：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，則的值為 .

知識要點：分段函數和含有絕對值的函數

●分段函數的特征

分段函數是一個函數，但在不同范圍內對應不同的表達式.其定義域是各段函數的定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函數最值中的最大值，最小值是各段函數最值中的最小值.

●分段函數圖象畫法

研究分段函數的重要方法是從它的圖象入手，畫分段函數的圖象應先根據各段函數的表達式畫出該段的函數圖象，然后將各段函數圖象通過定義域結合在一起，構成所求的完整圖象.

●分段函數的常見問題

①求值問題：解此類問題的關鍵是判斷自變量的值屬于分段函數定義的哪一段，再代入相應的表達式計算.關于周期函數的題目，代值所得結果會出現循環(huán)（如【自查題組】第12題），這時需要反復確認自變量的值所屬分段函數定義域的范圍，結合相應解析式來計算結果.

②解析式問題：比如知道f（x）在某一分段區(qū)間的函數解析式求對稱區(qū)間的函數解析式，這種情況通常需要結合函數的奇偶性，先將-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函數的奇偶性探究f（x）與f（-x）的關系，最后寫出所求函數表達式.

●含絕對值的函數的處理策略

①換元法：如函數y=x2+2x-1可化為y=x2+2x-1后令t=x換元為二次函數y=t2+2t-1（t≥0）.

②圖象變換法：y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）原來在x軸上方的圖象、把x軸下方部分沿x軸向上翻折后得到;y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）在y軸右方的圖象、去除y軸左方的圖象、然后將y軸右方的圖象關于y軸向左翻折后得到.

③化為分段函數：通過分類討論絕對值內代數式的正負去絕對值，轉化為分段函數.

【提醒】

（1） 分段函數是一個函數，不能把它誤認為是幾個函數.解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有參數的分段函數問題，利用圖象法研究時要注意參數對函數圖象范圍的影響，關注各段圖象的交點坐標與參數的聯系，注意關鍵點的計算.

（3） 求有關分段函數性質的問題時，應關注端點取值、每段函數圖象是相連的還是斷開的、能否取到特殊點（如奇函數能否取原點）等.

【自查題組】

（11） 設函數g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函數f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，則f（2014）的值為 .

（13） 已知函數f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為

.

（15） 設a為實常數，y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x<0時，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為 .

【參考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【復合函數單調性遵循同增異減的原則判斷】

（5） 1 【根據f（x）=-f（-x）與f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），則log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，則有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意對數式中真數大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如圖1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）圖象如圖2所示，若滿足題意，則平行于x軸的直線與圖象有三個不同的交點，且交點橫坐標分別為a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0時，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0時，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根據均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由題意可知6a-7≥a+1恒成立，當a≥0時不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 綜上所述，a≤-】