佟德飛，宋衛(wèi)東，賈 波

（1.軍械工程學院 火炮工程系，石家莊050003；2.西安軍代局，西安710043）

某型末制導炮彈的慣導飛行控制是通過計算慣導陀螺外框架相對彈體的偏轉角度并形成指令，進而控制舵機偏轉完成的。陀螺外框擺角的計算通過彈體坐標系、慣導陀螺坐標系以及地面坐標系之間相對角位置關系進行推導得出［1］。然而該計算方式以轉子軸方位相對于慣性空間不變?yōu)榍疤?，是一種理想情形，并未考慮陀螺轉子因動力學的作用產生定向性的變化。理論上，為了保證陀螺的定向性，陀螺轉子質心應該位于內框軸和外框軸的交叉點位置，但由于工藝控制原因，轉子質心與內框框架幾何中心存在一定程度的偏離，因而產生偏心力矩導致轉子進動。本文在已有研究的基礎上，運用動量矩定理［2］研究轉子質量偏心條件下的定向特性，結合末制導炮彈六自由度剛體彈道模型以及慣導控制模型［1］，考慮慣導陀螺質量偏心引起的控制誤差對彈道特性產生的影響。

1 陀螺運動狀態(tài)方程描述

為描述慣導陀螺轉子的運動，首先建立其空間坐標系。設轉子的幾何中心與內框架、外框架幾何中心O重合，以O為原點，將慣性坐標系平移至原點建立陀螺基準坐標系Oξηζ，η軸鉛垂向上。令Oξηζ繞η軸轉過ψgd角，再繞ζ軸新位置轉過θgd角，建立轉子動量矩坐標系OXYZ，其中X軸為轉子相對原點的動量矩矢量方向，動量矩為L，其中ψgd，θgd為動量矩坐標系相對慣性坐標系的旋轉角度。令OXYZ繞X軸轉過γgd角后的位置為轉子的主軸坐標系Oxryrzr，xr軸為轉子的對稱軸，如圖1所示。參考文獻［3］中對陀螺內外框架坐標系的描述，本文將轉子主軸坐標系繞yr軸轉過ψg角，建立慣導陀螺內框坐標系Ox1y1z1，再繞z1軸旋轉θg角（此角度即為慣導陀螺外框擺動角），建立外框架坐標系Ox2y2z2，如圖2所示。轉子質心相對幾何中心的偏心距矢量為er，er取在轉子主軸坐標系。分別研究轉子在軸向、徑向存在質量偏心時產生的動力學作用。

圖1 動量矩坐標系角度坐標

圖2 轉子相對動量矩坐標系偏轉角度坐標

1.1 轉子運動狀態(tài)方程

偏心距矢量在慣性坐標系下表示為e＝PT（γgd，θgd，ψgd）er，PT（γgd，θgd，ψgd）為慣性系向轉子主軸坐標系投影矩陣，寫成分量形式：

慣性系中，重力加速度表示為g＝（0 －g0）T。由于存在質量偏心，則偏心力矩為M＝e×mg，其在慣性坐標系中的分量為

再將轉子動量矩矢量投影至慣性坐標系，則

將式（1）～式（3）代入動量矩定理dL／dt＝M。由于存在dLη／dt＝0的情況，則轉子動量矩在慣性系的垂直方向守恒，因此－Lsinθgdcosψgd與動量矩在慣性系垂直分量的初值一致，存在初始的偏角，即

對式（3）兩端進行求導，則可以得到和，分別表示為

忽略微小偏心對主軸慣性主矩的影響［4］，設轉子極軸慣性主矩為C，轉動角速度為Ω，轉子轉動的動量矩大小為L0＝CΩ。

1.2 內、外框架運動狀態(tài)方程

將轉子偏心力矩分別向轉子內框坐標系Ox1y1z1、外框坐標系Ox2y2z2進行投影，得到：

根據對轉子內、外框廣義自由坐標的定義，繞軸轉動運動方程是獨立的，而其余方向的運動是非獨立的，反映內、外框軸之間的力矩關系，則僅僅給出影響框架轉動運動的狀態(tài)方程，即

為簡化起見，式中將轉子軸相對于慣性坐標系的方向余弦記為dij，i，j＝1，2，3。

1.3 外框架偏轉角度計算

外框架偏轉角度的計算方法仍通過幾何關系的轉換求解，求解關系式為

式中：γ，φ，ψ為末制導炮彈彈體姿態(tài)角；γg為慣導陀螺相對彈體的安裝角。隨著轉子偏心力矩的不斷作用，慣導陀螺轉子產生進動，定向性發(fā)生改變，轉子姿態(tài)角的計算可由初始定向角和進動偏移角度進行疊加。內、外框偏轉角度的值由幾何關系求解得到，原計算方法中的轉子定向角度由進動后轉子姿態(tài)角度替換。

2 陀螺運動狀態(tài)數值仿真

陀螺轉子角度變化以及動量矩的變化均可通過積分進行求解。轉子受到外力矩的作用，產生與外力矩方向垂直的動量矩，轉子軸的空間方位不斷地發(fā)生改變。由于外力矩的主要形式為重力偏心力矩，所以產生的力矩作用主要有2種情況：一種為軸向偏心力矩，在轉子軸坐標系內相對轉子幾何中心的作用方向不發(fā)生改變；另一種為轉子徑向偏心力矩，由于轉子高速旋轉，偏心力矩的大小和方向不斷發(fā)生變化，產生的動量矩矢量也不斷變化方向。對轉子動力學模型進行數值求解，通過給定不同偏心距離以分析轉子定向方位的變化規(guī)律及特點。

圖3所示為轉子軸軸向偏心距不同條件下的水平方向偏轉角度ψ的變化規(guī)律。結果表明，軸向偏心距ex為1mm時，轉子軸便發(fā)生明顯的偏轉，從慣導陀螺啟動到炮彈落地的整個過程，轉子在水平方向的偏轉為0～4.15°；當軸向偏心距ex＝－1mm時，偏轉范圍為0～4.21°；軸向偏心距ex＝2mm時，轉子軸在水平方向偏轉范圍為0～16.48°；軸向偏心距ex＝－2mm時，偏轉范圍為0～16.85°。

圖3 軸向偏心對轉子水平方向轉動角度的影響

圖4 所示為不同軸向偏心距條件下的俯仰角θ的變化規(guī)律?？梢钥闯?，轉子軸在俯仰方向產生明顯的偏轉。轉子軸向偏心相對幾何中心在轉子軸正方向時轉子向下偏轉，相反則向上偏轉。當偏心距離ex＝1mm時，轉子軸向下偏轉，偏轉0～－1°；ex＝2mm時，偏轉角度為0～－2°；當軸向偏心距ex＝－1mm時，轉子軸向上偏轉，偏轉角度為0～1°，ex＝－2mm時，偏轉角度為0～2°。

圖4 軸向偏心對轉子垂直方向轉動角度的影響

在進行轉子軸徑向偏心對轉子定向性影響分析時，轉子軸坐標選定y軸方向或z軸方向都具有一般性。選定對y軸徑向偏心進行仿真，結果表明，y軸徑向偏心對轉子定向性的改變并不顯著，當y軸徑向偏心距ey＝1mm時，轉子側向偏轉角度約為0～0.2°，如圖5所示。

圖5 徑向偏心對轉子水平方向轉動角度的影響

俯仰方向角度偏轉曲線形式接近具有確定周期和幅值的簡諧曲線，但其偏轉角度平均并不為零。當偏心距在相對幾何中心相反方向時，轉子偏轉方向相反，平均偏轉角度θe約為0～0.04°，如圖6所示。

圖6 徑向偏心對轉子垂直方向角度變化的平均作用

因此，質量偏心的轉子在重力矩的作用下可產生空間中的進動運動。軸向偏心對轉子進動作用明顯，進動角度與偏心距離成正比例關系。徑向偏心隨轉子旋轉，所產生的動量矩矢量也同時隨之改變，轉子進動角速度呈周期性變化，但產生平均不為零的進動角度，表現為空間中的緩慢轉動，該結果可解釋慣導陀螺漂移現象。

該型號末制導炮彈零漂數據為15s時間內水平方向漂移為－1.3°～0.4°，鉛垂方向的漂移為－0.5°～－2.3°。因此，根據數值仿真結果分析，轉子在x軸、y軸、z軸存在偏心情況下，仿真結果是可以解釋轉子漂移值的。

3 陀螺轉子質量偏心對外框擺動角度的影響

陀螺轉子空間方位的改變，最本質的是改變了內、外框架的擺動角度。由于控制指令的發(fā)出取決于外框架的偏轉，當轉子質心偏離幾何中心而導致轉子進動運動時，外框擺動角中則包含了轉子進動角度因素。

通過對轉子空間運動狀態(tài)的數值計算，可以確定任意時刻轉子軸的空間方位，利用式（8）求解外框擺動角。圖7為轉子存在軸向偏心與不存在軸向偏心條件下的慣導陀螺外框擺動角曲線（局部）。圖8為轉子存在徑向偏心與不存在徑向偏心條件下的慣導陀螺外框擺動角曲線（局部）。

圖7、圖8中的差異充分表明，轉子質量偏心導致陀螺外框擺動角的變化，改變了慣導控制舵片指令生成時機，表現為慣導飛行時超前或滯后的舵面偏轉。這使得末制導炮彈控制力和控制力矩不再相對彈體正上方或正下方對稱，對末制導炮彈的彈道性能產生影響。

圖7 軸向偏心對外框擺動角的影響

圖8 徑向偏心對外框擺動角的影響

4 陀螺轉子質量偏心對彈道性能的影響分析

末制導炮彈射程、側偏、落角等參數是末制導炮彈在彈道設計時主要考慮的參數。初始段、無控段以及慣導飛行階段結束時，彈體激光制導陀螺啟動，進入末段導引段，控制系統(tǒng)導引彈體攻擊目標，若飛行距離過小或者側偏過大都將導致彈體不能按預定目標飛抵捕獲區(qū)域，導致失去目標。因此慣導飛行階段的精度控制對末端導引階段打擊精度影響很大。根據末制導炮彈彈道方程，結合慣導陀螺運動狀態(tài)方程，對末制導炮彈彈道特性進行數值仿真。針對轉子軸在3個方向上的偏心距導致彈道特性的變化分別進行仿真計算。

4.1 軸向偏心對彈道特性的影響

對轉子軸向偏心距分別取ex＝2mm，1mm，0mm，－1mm，－2mm時的名義彈道進行仿真。不同條件下炮彈落點計算數據如表1所示。

從表1中數據可以發(fā)現，轉子軸向偏心對名義彈道落點影響很大。當軸向偏心距ex＝1mm時，射程X減小49m，側偏Z變化約125.18m；當ex＝2mm時，射程X減小114m，側偏Z變化約488.38m；當ex＝－1mm時，射程X增加61m，側偏Z變化約123.18m；ex＝－2mm時，射程X增加101m，側偏Z變化約500.02m。當軸向偏心距在轉子軸正方向時射程會相應減小，而軸向偏心距在轉子軸負方向時射程會相應增加。在表1計算范圍內，射程X變化215m；飛行時間t、落速v、落角θ變化不大；側偏Z變化規(guī)律有所不同，只要軸向偏心距存在，不論是正、負方向，偏心距離絕對值相等時會產生大約一致的變化。

表1 軸向偏心對名義彈道落點諸元的影響

4.2 徑向偏心對彈道特性的影響

對轉子y軸徑向偏心距分別取ey＝2mm，1mm，0mm，－1mm，－2mm時的名義彈道進行仿真。不同條件下炮彈落點計算數據如表2、表3所示。

表2 y軸徑向偏心對名義彈道落點諸元的影響

表3 z軸徑向偏心對名義彈道落點諸元的影響

從表2中數據可以發(fā)現，轉子軸y軸徑向偏心的存在對末制導炮彈名義彈道落點有一定的影響，且具有一定的規(guī)律性，即y軸徑向偏心由正到負變化時，射程變化趨勢為增大，射程變化約13m；對側偏變化也有一定的影響，且隨偏心距增大而增大。

從表3中數據可以發(fā)現，轉子軸z軸徑向偏心的存在對末制導炮彈名義彈道落點有一定的影響，比y軸徑向偏心的影響偏大，但同樣具有一定的規(guī)律性。z軸徑向偏心ez由正到負變化時，射程變化趨勢為不斷減小，射程變化約96m；側偏變化隨偏心距增大而增大。對比表1和表2、表3，軸向偏心相比徑向偏心對彈道特性影響大，轉子軸z軸方向徑向偏心距離對彈道特性的影響比y軸徑向偏心距離對彈道特性的影響大，主要表現在射程變化以及側偏的變化。

因此，慣導陀螺轉子質量偏心對末制導炮彈空間飛行的彈道諸元影響很大，為保證足夠的射擊精度，必須對轉子質量偏心進行控制，以減少由于轉子進動帶來的影響。

本文對轉子質心偏離幾何中心時的運動進行了數值仿真，并分析其對慣導飛行控制過程以及末制導炮彈彈道特性影響的特點，得出了以下結論：

①存在質量偏心的轉子在重力矩的作用下失去慣性空間中的定軸特性，表現為陀螺漂移運動。其中軸向偏心對陀螺轉子運動的作用明顯，根本原因是重力矩不隨轉子旋轉而改變方向；而徑向偏心對陀螺漂移作用并不明顯，重力矩方向隨轉子旋轉而不斷改變，但轉子受重力矩作用的平均值不為零。

②軸對稱轉子質量偏心使轉子發(fā)生漂移，改變了陀螺外框角度偏轉信號的變化規(guī)律，對舵片控制信號的形成造成超前或滯后的影響。

③軸向偏心對轉子水平或垂直方向偏轉角度貢獻較大，對射程和側偏改變很大。徑向偏心對轉子水平或垂直方向偏轉角度貢獻較小，對射程和側偏產生一定的影響。若要保證射擊精度，必須減小陀螺裝配誤差。

5 結束語

本文通過建立轉子運動狀態(tài)方程，分析了轉子定向軸變化對慣導飛行控制的影響，結合末制導炮彈外彈道模型，進行了數值仿真，并分別研究了轉子軸向偏心和徑向偏心對彈道特性的影響。為提高末制導炮彈射擊精度，必須減少陀螺轉子漂移角度，采取提高陀螺安裝準確性的有效措施，也為研制新型末制導炮彈時陀螺部件的設計提供理論支持。

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