包夢(mèng)華，唐 平，朱章松，盧齊飛

（廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣東 廣州510006）

0 引 言

優(yōu)化排樣算法是指根據(jù)零件的特征設(shè)計(jì)一種算法，將規(guī)則或是不規(guī)則的零件按照算法的要求盡可能緊密的排放在一起，知識(shí)進(jìn)化和自然進(jìn)化是算法設(shè)計(jì)的依據(jù)。同時(shí)要求排樣過程中零件必須排放在板材內(nèi)，各個(gè)零件互不疊加，并滿足一定的工藝要求，使板材的利用率最高。

20世紀(jì)末期，隨著遺傳算法的成熟，許多學(xué)者開始將它應(yīng)用于零件排樣中，取得了一些顯著成果。遺傳算法是模擬自然進(jìn)化的一種全局搜索算法，具有簡(jiǎn)單實(shí)用、魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，但是具體運(yùn)用中還存在一些不足。例如文獻(xiàn)［1］、文獻(xiàn) ［2］都是運(yùn)用常見的 “輪盤賭”選擇，隨機(jī)性太強(qiáng)。文獻(xiàn) ［3］利用遺傳算法和碰撞算法混合求解沖裁件自動(dòng)優(yōu)化排樣，碰撞算法可以大大提高板材的利用率，同時(shí)也大幅提高時(shí)間復(fù)雜度。文獻(xiàn) ［4］針對(duì)大規(guī)模零件和不規(guī)則石材下料優(yōu)化排樣問題，提出了改進(jìn)的遺傳算法優(yōu)化排樣方法，提出了基于材料利用率、排樣圖的高度和排布最高點(diǎn)中最左邊頂點(diǎn)的x坐標(biāo)3個(gè)因素結(jié)合的適應(yīng)度函數(shù)，將適應(yīng)度函數(shù)的考慮因素大大擴(kuò)展，有效地提高了算法的搜索效率，本文在此基礎(chǔ)上又添加了一個(gè)考慮因素——零件排樣后的圖形重心，使排樣結(jié)果更盡如人意。上述工作都是為了提高板材利用率而忽視了時(shí)間復(fù)雜度，過分的強(qiáng)調(diào)板材利用率的提高并不能彌補(bǔ)時(shí)間復(fù)雜度帶來的損失，所以本文換了一種思維方式，在保證板材利用率不降低的情況下，大幅降低時(shí)間復(fù)雜度，借助時(shí)間的急劇縮短，提高整體排樣的效率。

本文基于提高不規(guī)則零件排樣效率的考慮，提出了基于知識(shí)進(jìn)化與自然進(jìn)化的優(yōu)化排樣算法。該算法的重點(diǎn)是大大提高選擇速度，利用知識(shí)規(guī)則和適應(yīng)度函數(shù)相結(jié)合的選擇方法，同時(shí)采用重心最低的排樣策略。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析得出：該算法不僅提高了板材利用率，還大大降低了算法的時(shí)間復(fù)雜度。

一是零件數(shù)量較大時(shí)；二是零件的形狀比較復(fù)雜，不能完全歸類時(shí)，都會(huì)延長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間，排樣的利用率也會(huì)隨之降低。從這兩個(gè)方面著手，以期達(dá)到提高排樣效率的目的。

1 知識(shí)進(jìn)化中規(guī)則建立原則

知識(shí)規(guī)則的建立是降低時(shí)間復(fù)雜度的一個(gè)重要方法，將所有的零件先按照知識(shí)規(guī)則進(jìn)行篩選，可以有效地避免對(duì)不符合要求的零件進(jìn)行多余的操作，浪費(fèi)時(shí)間。

知識(shí)進(jìn)化的規(guī)則包括：零件邊界判定、板材利用率判定和零件重疊判定。每次首先用知識(shí)規(guī)則對(duì)零件進(jìn)行初步選擇，同時(shí)符合知識(shí)進(jìn)化3個(gè)規(guī)則的零件接受適應(yīng)度函數(shù)的第二次選擇。

（1）判斷零件的邊界是否都處于板材內(nèi)部，選擇邊界不超過板材邊界或是與板材邊界重合的零件。

圖1可知，零件在板材內(nèi)部的分布情況有：

1）在板材內(nèi)部且不與板材相交；

2）在板材內(nèi)部，與板材邊界有交點(diǎn)。

圖1 零件是否在板材內(nèi)部的判斷

通過比較線條：A、B、C、D 和E，可得出結(jié)論：通過任意橫坐標(biāo)畫一條垂直線與板材有兩個(gè)任意交點(diǎn)M、N 與零件有兩個(gè)任意交點(diǎn)P 、K，P、K 到原點(diǎn)的距離大小總是大于板材上的縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)M 到原點(diǎn)的距離并且小于板材上縱坐標(biāo)最小點(diǎn)N 到原點(diǎn)的距離。板材上4個(gè)點(diǎn)的關(guān)系符合式（1），可以判斷零件邊界沒有超過在板材邊界

其中，m、n為處于板材左右邊界之間的任意自然數(shù)，p≤y2≤k，xi為任意橫坐標(biāo)，ym為垂直線與板材相交時(shí)縱坐標(biāo)最大的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，yn為垂直線與板材相交時(shí)縱坐標(biāo)最小的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，y2為垂直線與零件相交時(shí)的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

（2）判斷零件是否重疊

利用像素格式的位圖進(jìn)行零件之間的重疊檢測(cè)，首先將零件用像素格式的位圖表現(xiàn)出來，如圖2所示， “1”代表此處有零件覆蓋， “0”代表此處沒有零件覆蓋。圖2中的 “1”像素表達(dá)了一個(gè)不規(guī)則四邊形的零件。

圖2 像素格式表達(dá)的零件

假如兩個(gè)或是多個(gè)零件都覆蓋了相同的像素格，就是兩個(gè)或是多個(gè)零件在相同的像素格上都表現(xiàn)出 “1”，就說明零件發(fā)生了重疊。運(yùn)用像素格式來檢測(cè)零件還是很比較節(jié)省時(shí)間的，首要條件是將矢量圖轉(zhuǎn)換成像素格式的位圖。

在用像素格式的位圖進(jìn)行重疊檢測(cè)時(shí)，像素格過大，檢測(cè)結(jié)果不準(zhǔn)備；像素格過小，勢(shì)必增加算法的事件復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。在實(shí)際劃分像素格時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一些意想不到的情況：兩個(gè)多邊形并不相交，但是由于另個(gè)多邊形占據(jù)了同一個(gè)像素格，根據(jù)像素格格判斷法的定義，兩個(gè)多邊形就是被判為相交。假如網(wǎng)格劃分的足夠精細(xì)，則可以判斷兩個(gè)多邊形并不重疊。

判斷像素格內(nèi)兩個(gè)多邊形是否重疊，可以利用查漏補(bǔ)缺法對(duì)重疊情況進(jìn)行檢測(cè)。這樣就不用對(duì)所有的像素格都進(jìn)行更細(xì)的劃分，只需要對(duì)無法判斷的像素格進(jìn)行細(xì)分即可，從而減少時(shí)間復(fù)雜度。像素格細(xì)分精度不夠的情況下，如圖3所示。

圖3 像素格細(xì)分精度不夠的情況下

（3）計(jì)算排樣零件的面積和占板材總面積的比例 （板材利用率），比例超過50%的排樣群體作為子代。

計(jì)算零件和板材的面積：給出各個(gè)多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)來求多邊形的面積，進(jìn)而通過多邊形的面積計(jì)算板材的利用率。任何多邊形的面積可以分割成幾個(gè)三角形面積之和來求得，通過多邊形各頂點(diǎn)坐標(biāo)可以求得各邊長(zhǎng)，再采用海倫公式，計(jì)算分割后的小三角形的面積。

海倫公式如下：

假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S 可有以下公式求得

對(duì)于復(fù)雜的多邊形由于頂點(diǎn)很多，劃分成小的三角形不是很方便，所以可直接采用多邊形頂點(diǎn)計(jì)算多邊形的面積。假設(shè)多邊形的頂點(diǎn)按順時(shí)針排序，利用下面公式計(jì)算復(fù)雜多邊形的面積

在式 （3）中，Xn＋1＝X1，Yn＋1＝Y(jié)1。在 式 （4）中，X0＝Xn，Y0＝Y(jié)n。從式 （3）和式 （4）可以看出，多邊形的面積等于相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)縱橫坐標(biāo)交叉乘積。

綜上所述：同時(shí)滿足知識(shí)進(jìn)化 （1）（2）（3）這3個(gè)規(guī)則的零件，相當(dāng)于通過了第一次選擇，然后利用適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行第二次選擇，經(jīng)過兩次選擇后達(dá)標(biāo)的零件進(jìn)入自然進(jìn)化過程。

2 知識(shí)進(jìn)化和自然進(jìn)化相結(jié)合的排樣優(yōu)化算法

遺傳算法是模擬生物在自然環(huán)境中的遺傳和進(jìn)化過程形成的一種全局優(yōu)化概率搜索算法。針對(duì)傳統(tǒng)的遺傳算法更擅長(zhǎng)全局搜索而局部搜索能力卻不足的問題提出了基于知識(shí)進(jìn)化的改進(jìn)遺傳算法，在遺傳算法進(jìn)行子代選擇的過程中加入知識(shí)規(guī)則，大大提高選擇的效率。

基于知識(shí)進(jìn)化和自然進(jìn)化的算法首先通過知識(shí)規(guī)則和適應(yīng)度函數(shù)相結(jié)合的選擇方法對(duì)零件進(jìn)行選擇，然后將交叉、變異等操作算子作用于整個(gè)進(jìn)化群體，在設(shè)定的循環(huán)代數(shù)中得到問題的最優(yōu)解或近似最優(yōu)解。圖4為改進(jìn)遺傳算法的基本流程圖。

2.1 圖形重心適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)

適應(yīng)度函數(shù) （fitness function）是遺傳算法進(jìn)行選擇過程中決定每個(gè)染色體能不能進(jìn)入下代循環(huán)的重要依據(jù)。染色體的適應(yīng)度值越大，在遺傳操作中就更有可能被選中。

一般按下面一些要求設(shè)計(jì)：?jiǎn)沃敌浴⒎秦?fù)性、連續(xù)性、單調(diào)性；適用性強(qiáng)，可處理性好；充分顯示每個(gè)個(gè)體優(yōu)勢(shì)。

在零件排樣過程中，板材的利用率、零件排樣的高度、整體布局的重心都是我們?cè)谠O(shè)計(jì)適應(yīng)度函數(shù)時(shí)應(yīng)該注意的，綜上所述，設(shè)計(jì)出同時(shí)包含3個(gè)主要優(yōu)化條件的適應(yīng)度函數(shù)f（x）

圖4 基于知識(shí)進(jìn)化和自然進(jìn)化算法的流程

其中s（x）為板材利用率，g（x）為零件排樣后的圖形重心，h（x）為排樣圖的高度，w（x）為排布最高點(diǎn)中最左邊頂點(diǎn)x 坐標(biāo)，k，l，m，n 為權(quán)重，k＋l＋m＋n＝1取k＝0.5，l＝0.2，m＝0.2，n＝0.1。

2.2 混合編碼方法

遺傳算法在解決排樣問題時(shí)，編碼問題也是至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。編碼和遺傳算法的排樣效率有息息相關(guān)的聯(lián)系，可靠的編碼方法為后面的交叉、變異提供了高效運(yùn)行的基礎(chǔ)；不適合的編碼方法對(duì)整個(gè)遺傳算法的時(shí)間復(fù)雜度、運(yùn)算效率、還有最后的解碼工作都會(huì)帶來很多不便之處。

一個(gè)適宜的編碼方案往往是遺傳算法的重要追求目標(biāo)，但是不可能一個(gè)編碼方案適合于任何情況，每個(gè)編碼方案的設(shè)計(jì)都是與每個(gè)項(xiàng)目的背景有密切聯(lián)系的，但是每個(gè)編碼方案都符合這樣的規(guī)則：將所有的排樣結(jié)果表現(xiàn)為染色體的形式，所有的染色體就組成所謂的 “可行域”，每條染色體對(duì)應(yīng)可行域中的一個(gè)解?？紤]到零件的多樣性和數(shù)量巨大，本文采用二進(jìn)制與實(shí)數(shù)相結(jié)合的混合編碼方法，不僅擴(kuò)大了搜索范圍而且提高了搜索的效率。

零件的形狀可謂多種多樣，如果只是像撒網(wǎng)一樣將所有零件一擁而上進(jìn)行排樣，這些零件就會(huì)一個(gè)一個(gè)的進(jìn)行歸位，時(shí)間復(fù)雜度也會(huì)更高。為了便于零件能更快找到適合自己的最佳排樣位置，減少匹配的過程，本文特將所有的零件按頂點(diǎn)的多少和位置大概分為4類：

（1）沒有頂點(diǎn)的零件：圓，圓環(huán)。

（2）3個(gè)頂點(diǎn)的零件：三角形和扇形。

（3）4個(gè)及4個(gè)頂點(diǎn)以上的凸型零件。

（4）4個(gè)及4個(gè)頂點(diǎn)以上的凹型零件。

給每個(gè)零件分配一個(gè)編號(hào)，只是為了便于排樣時(shí)區(qū)分不同的零件。零件在排樣的過程中需要通過旋轉(zhuǎn)確定適合的位置，我們將旋轉(zhuǎn)的角度范圍設(shè)為：0度到360度之間。但是為了減小零件之間的空隙，可以采用實(shí)數(shù)編碼。何類圖形用2位二進(jìn)制數(shù)來表示，如圓為第 （1）類圖形00，第（2）類圖形01，第 （3）類圖形10，第 （4）類圖形為11。

2.3 具有知識(shí)規(guī)則的選擇方法

適應(yīng)度比例方法也被稱為賭輪或蒙特卡羅選擇是現(xiàn)階段使用比較頻繁的選擇方法。本文選擇方法的原理：利用知識(shí)規(guī)則選出的個(gè)體被選中的概率和其在群體中所表現(xiàn)的適應(yīng)度值的大小成比例。

假設(shè)群體大小為n，知識(shí)規(guī)則選擇出個(gè)體i （i≤n）的適應(yīng)度為f＊i，則個(gè)體i被選取的概率表示為

分析式 （6）可知，如果適應(yīng)度函數(shù)值越大，則個(gè)體被選中的機(jī)率越大；反之，如果適應(yīng)度越小，則個(gè)體被選中的的機(jī)率也越小。確定出優(yōu)秀排樣個(gè)體或是排樣個(gè)體的序列，作為精英基因保存。同時(shí)在后代中還要保存劣等基因，主要是指適應(yīng)度低于設(shè)定值的基因個(gè)體。劣等零件的排樣個(gè)體在后續(xù)的優(yōu)化中一旦發(fā)現(xiàn)，及時(shí)將其否決。

2.4 兩點(diǎn)交叉與變異

通過交叉和變異來增加個(gè)體的多樣性是遺傳算法的一個(gè)特點(diǎn)，交叉和變異可以避免算法因?yàn)閭€(gè)體的單調(diào)性而陷入局部最優(yōu)。

采用三角形兩點(diǎn)交叉的方法，圖5所示首先將父代基因圍城三角形的形狀，然后選擇任意兩點(diǎn)作為交叉點(diǎn)，互相交換父代基因長(zhǎng)度相同的部分，得到新的完整基因作為作為子代基因。

圖5 三角形兩點(diǎn)交叉

染色體的基因位 （x、y、β、h）中既包含有排樣件序號(hào)的屬性，X 軸平移距離x、Y 軸平移距離y、旋轉(zhuǎn)角度β及幅度變換量h，因此這里將變異運(yùn)算分成X 軸平移距離變異、Y 軸平移距離y 變異、旋轉(zhuǎn)角度α變異、幅度變換量s變異4個(gè)子運(yùn)算來進(jìn)行。

遺傳算法中交叉概率Pc和變異概率Pm是影響遺傳算法行為和性能的關(guān)鍵因素，直接影響著遺傳算法的收斂性和搜索效率，在本文中所采用的自適應(yīng)遺傳算法中Pc和Pm是能夠隨種群中個(gè)體的適應(yīng)度自動(dòng)改變的

其中fmax是每代種群中的個(gè)體的最大適應(yīng)度；favg是每代種群適應(yīng)度的平均值：f1每次進(jìn)行交叉的個(gè)體中較大的適應(yīng)度值；f 是即將要變異的個(gè)體的適應(yīng)度；PcA＝0.8，PCb＝0.5，PmA＝0.09，PmB＝0.001。

2.5 最低重心排樣策略

利用臨界多邊形找到零件重心的最低位置。具體步驟：將零件置于板材內(nèi)部，利用幾何圖形的性質(zhì)找到零件的重心，以重心為參考點(diǎn)，找出零件每旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度對(duì)應(yīng)的臨界多邊形 （零件必須在板材內(nèi)部旋轉(zhuǎn)）在這些臨界多邊形上找到重心的最低位置，零件按最低位置對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)角度進(jìn)行排樣，就是最佳排樣位置。零件旋轉(zhuǎn)變化范圍：0－360°，可以較準(zhǔn)確找出零件的最低重心位置。利用臨界多邊形找到零件最低重心，如圖6所示。

圖6 利用臨界多邊形找到零件最低重心

3 仿真與結(jié)果分析

（1）零件輸入方法

在對(duì)零件進(jìn)行排樣前，必須考慮先將零件以圖形的形式輸入計(jì)算機(jī)中，利用零件的輪廓圖對(duì)零件進(jìn)行排樣。頂點(diǎn)序列法、等距掃描法、網(wǎng)格擬合法是幾種比較常用多邊形零件表達(dá)方法。根據(jù)零件的復(fù)雜度可以選擇適合的零件表達(dá)方法。

頂點(diǎn)序列法的具體步驟是，首先把圖形各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，然后將各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)按一定的順序排成一個(gè)隊(duì)列，這個(gè)隊(duì)列中的每個(gè)頂點(diǎn)都有自己對(duì)應(yīng)的編碼。如一個(gè)按順時(shí)針方向編碼的n 邊形的各個(gè)頂點(diǎn) （以橫坐標(biāo)最小的頂點(diǎn)作為起始頂點(diǎn)）依次為A、B、C……，這些頂點(diǎn)隊(duì)列構(gòu)成的圖形，如圖7所示。

圖7 頂點(diǎn)序列法

頂點(diǎn)序列法主要是以一定的順序?qū)㈨旤c(diǎn)搜集起來組成隊(duì)列，不僅需要記錄多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)還需要將這些頂點(diǎn)進(jìn)行排序、編號(hào)。對(duì)于簡(jiǎn)單的多邊形比較適合，頂點(diǎn)較多的多邊形工作量就會(huì)大大提高。網(wǎng)格擬合法只能進(jìn)行水平和垂直兩個(gè)方向的移動(dòng)，同時(shí)每個(gè)零件能移動(dòng)的最小距離是一個(gè)網(wǎng)格的距離，存在誤差。

等距掃描法采用間隔相等的水平線或是垂直線掃描零件，零件的輪廓與這些線條的交點(diǎn)集合就構(gòu)成一個(gè)完整的零件圖。這種方法比頂點(diǎn)序列法的工作量減少，比網(wǎng)格擬合法的移動(dòng)距離更精確。所以本文采用等距掃描法來進(jìn)行多邊形的輸入，如圖8所示。

圖8 等距掃描法

（2）試驗(yàn)中設(shè)種群數(shù)N 為10，進(jìn)化代數(shù)Gm＝100，交叉概率Pc＝0.8，變異概率Pm＝0.1，總共進(jìn)行2次實(shí)驗(yàn)。30個(gè)零件的基本信息見表1。兩種算法進(jìn)行排樣的結(jié)果如圖9，圖10所示。

通過表2可知，基于知識(shí)進(jìn)化的遺傳算法和傳統(tǒng)的遺傳算法相比，雖然時(shí)間復(fù)雜度明顯降低，但是板材利用率并不算高，而且與傳統(tǒng)遺傳算法相比提高不明顯。

4 結(jié)束語

本文通過對(duì)不規(guī)則零件排樣的研究，提出了一種基于知識(shí)進(jìn)化的遺傳算法來達(dá)到優(yōu)化排樣的目的。利用遺傳算法排樣時(shí)，板材利用率低，時(shí)間復(fù)雜度高，并且傳統(tǒng)的選擇方法隨機(jī)性太強(qiáng)，針對(duì)這些難題我們采取知識(shí)進(jìn)化規(guī)則和適應(yīng)度函數(shù)相結(jié)合的選擇方法。知識(shí)進(jìn)化規(guī)則包括邊界判定、板材占有率判定、零件重疊判定等，大大提高選擇的速度。提出了重心最低的排樣策略和等距掃描零件輸入法，降低零件的排樣和輸入時(shí)間。通過實(shí)驗(yàn)，本文算法在處理大量不規(guī)則零件排樣的問題上的時(shí)間復(fù)雜度明顯降低，并且板材利用率和時(shí)間復(fù)雜度都超越了傳統(tǒng)的遺傳算法，但是本文的板材利用率并不理想，還有待進(jìn)一步提高，知識(shí)規(guī)則的設(shè)計(jì)可能不是很全面，希望大家能夠提供寶貴意見。

表1 30個(gè)零件的基本信息

表2 兩種算法排樣結(jié)果比較

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