張 祥 周 剛 李 青

(1中國科學(xué)院理化技術(shù)研究所低溫工程學(xué)重點實驗室 北京 100190)

(2國家核電技術(shù)研發(fā)中心 北京 100190)

1 引言

薄膜電阻式溫度計在正常使用的過程中，當(dāng)通過工作電流時會產(chǎn)生焦耳熱(溫度計自熱)。溫度計的自熱效應(yīng)必須限制在一定的范圍內(nèi)，才能使溫度計和被測物體之間的溫差不超過實驗精度所給出的限制。溫度計的自熱效應(yīng)與溫度計安裝的接觸熱阻有著密切的關(guān)系［1-2］。低溫溫度計一般安裝在高真空或液氦環(huán)境下的銅塊上。在這種條件下，熱阻主要取決于溫度計工作溫區(qū)、熱環(huán)境和溫度計安裝的方式［3-5］。

通常情況下，溫度計安裝的接觸熱阻很難精確測量與計算，并且隨著溫度計的重新安裝、溫度變化引起的熱物性參數(shù)變化以及周圍熱環(huán)境的變化而變化。在溫度計實際安裝過程中許多未知的細(xì)節(jié)問題(例如安裝過程中使用的清漆或者環(huán)氧脂等材料的厚度無法精確測量)嚴(yán)重影響接觸熱阻的測量與計算。此外，材料在低溫下的熱物性參數(shù)也是隨著溫度變化而變化的，而且無法精確的獲得。當(dāng)溫度低于4 K以下時，卡皮查熱阻的影響不能忽略，并且難于計算。

溫度計自熱效應(yīng)的處理主要有以下兩種方法:(1)增加溫度計的輸出功率使其溫度升高，然后計算得到溫度計零功率輸出時的溫度值，但是這種方法并不適用于半導(dǎo)體二極管類的非線性溫度計;(2)在工作溫區(qū)直接測量接觸熱阻并且計算溫度計的理想工作條件［6］。通過測量溫度計安裝接觸熱阻可以評估溫度計的最優(yōu)激勵條件、自熱效應(yīng)以及測量系統(tǒng)本身的性能指標(biāo)。在本文中采用雙電流法計算溫度計安裝的接觸熱阻值［7-8］。

2 理論模型

2.1 雙電流法計算溫度計安裝接觸熱阻

溫度計在使用過程中的耗散功率可以表示為:

式中:I為通過溫度計的激勵電流，A;R為溫度計自身的電阻值，Ω。自熱效應(yīng)使得溫度計與被測點或區(qū)域之間存在溫度梯度，正是這種溫度梯度導(dǎo)致了溫度計實測值高于被測點或區(qū)域的真實值。由溫度計自熱效應(yīng)引入的溫度梯度也可以表示為:

式中:Rt為溫度計安裝的接觸熱阻，K/W。Rt通常由兩部分組成:

式中:Rti為由溫度計自身結(jié)構(gòu)引起的內(nèi)熱阻值，是溫度計的本征屬性;而Rte為溫度計與安裝表面之間的接觸熱阻值，也是本研究討論的重點。溫度計安裝接觸熱阻Rt的大小主要取決于溫度計工作溫區(qū)、安裝表面的粗糙度、熱環(huán)境以及溫度計安裝的方式等因素。

溫度計的自熱效應(yīng)也可以表示為電阻的形式:

雙電流法是一種簡單而又有效的計算溫度計安裝接觸熱阻的方法。由式(4)可知，利用不同的激勵電流I可以測得不同的溫度計電阻值R，并且可以通過溫度計的分度表轉(zhuǎn)化為溫度計的自熱效應(yīng)ΔT，進(jìn)而求出溫度計安裝接觸熱阻Rt。這就是雙電流法計算溫度計安裝接觸熱阻的基本原理。通常情況下，為了簡化計算和便于實驗的操作，假定激勵電流I1下測得的溫度計電阻值為R1，R2為激勵電流時測得的溫度計電阻值，引入零功率電阻R0的概念。R0與R1和R2的關(guān)系可以表示為:

式中，s為溫度計的靈敏度系數(shù)。

同理，ΔT也可以表示為雙電流的形式:

式中，X0和X1分別表示電流為I0和I1時所測得的電阻比。此外，

將式(8)代入(7)中，可以得到:

因此，溫度計安裝接觸熱阻Rt可以表示為:

值得注意的是，由雙電流法推導(dǎo)得到的溫度計安裝接觸熱阻的理論關(guān)系式(10)是在溫度計的耗散功率與溫升呈線性變化關(guān)系的背景下計算得到的。但是對于鍺電阻或者碳玻璃纖維等電阻式溫度計，盡管其自身的耗散功率與溫升呈非線性變化的關(guān)系，式(10)仍然適用。

2.2 熱阻測量的不確定度分析

測量不確定度定義為表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。此參數(shù)可以是標(biāo)準(zhǔn)差或其倍數(shù)，或說明置信水準(zhǔn)的區(qū)間的半寬度，其值恒為正值。對于高精度的低溫溫度測量而言，引起溫度測量的不確定度主要包括:電阻測量引起的不確定度、測量儀器的精度和分辨率、溫度計分度表轉(zhuǎn)化引起的不確定度、溫度計自熱效應(yīng)、熱電效應(yīng)和零點偏移、熱噪聲、電磁干擾以及系統(tǒng)漏熱等因素。本文僅討論溫度計安裝接觸熱阻的測量不確定。

由前述分析可知，采用雙電流法能夠有效計算溫度計安裝的接觸熱阻。在接觸熱阻的不確定分析過程中，需要引入對激勵電流I1和I2的修正，并將此修正傳遞到零功率下的電阻測量中。因此，就式(8)而言，X=X(I1)X(0)被定義為激勵電流I1下的自熱修正項。對式(8)微分，可得誤差傳遞方程:

式(11)由兩部分組成:前兩項表示電橋測得的電阻比的不確定度，后一項表示激勵電流的不確定度。此外，進(jìn)一步分析式(11)可知:由激勵電流引起的不確定度和溫度計自熱效應(yīng)成正比的關(guān)系(中括號內(nèi)的部分);當(dāng)激勵電流的相對誤差相同時，即，零功率測得的電阻比的不確定度僅與電橋測得的電阻比的不確定度有關(guān)。因此，自熱修正的相對不確定度可以表示為:

當(dāng)激勵電流的關(guān)系為I2=時，激勵電流1%的不確定度會引起溫度計自熱修正5.6%的不確定度。通常情況下，激勵電流的不確定度在0.1%和1%之間變化，因此由激勵電流不確定度變化造成的溫度計自熱修正的不確定度最大值低于5.6%。對于精度要求不高的測量環(huán)境，激勵電流I2=的關(guān)系通常能夠滿足自熱修正的精度范圍。然而在高精度的低溫溫度測量系統(tǒng)中，需要通過多電流的方式計算得到溫度計自熱效應(yīng)修正的最優(yōu)激勵電流關(guān)系。

同樣對式(10)微分，得到接觸熱阻計算的誤差傳遞方程:

因此，溫度計安裝接觸熱阻的不確定度可以表示為:

上式中，u(X)和u(I)分別表示電橋測量的電阻比和激勵電流的不確定度，而u(α)表示溫度計靈敏度系數(shù)擬合的不確定度。

2.3 溫度計最優(yōu)激勵條件的選擇

低溫溫度計與被測區(qū)域之間任何一點微小的擾動都會引起溫度測量的誤差或不確定度。溫度計自身的耗散功率會導(dǎo)致其溫度的升高以至于高于被測環(huán)境實際的溫度。對于電阻式溫度計，溫度計的自熱效應(yīng)不可避免。溫度測量不確定度的最小化要求由溫度計自熱效應(yīng)和測量儀器輸出信號引起的不確定度的平衡。此外，還需要考慮溫度計的安裝方式、被測區(qū)域的熱環(huán)境以及電磁噪聲等諸多不確定因素對溫度測量的影響［9-10］。因此，合成不確定度uc定義為各個相互獨立的測量不確定度分量ui的合成:

值得注意的是在使用式(15)進(jìn)行合成不確定度的計算之前，需要統(tǒng)一各個相互獨立的不確定度分量的單位。例如在本文低溫溫度測量的不確定度評定時，需要首先將溫度計測得的電阻不確定度轉(zhuǎn)化為溫度不確定度，再進(jìn)行合成不確定度的計算。

對于輸出電壓信號的溫度計而言，溫度測量不確定度uT和電壓測量不確定度uV的關(guān)系可以表示為:

式中，ST=(T/R)(d R/d T)定義為無量綱的靈敏度系數(shù)，R為溫度T下的溫度計電阻值。此外，無量綱的靈敏度系數(shù)也可以表示為d(ln R)/d(ln T)對數(shù)的形式。對于其它輸出信號為電流、電容或者壓力的溫度計，只需將式(16)中的電阻R轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的電流I、電容C或者壓力P等參數(shù)即可。

由式(16)可知，在電壓測量不確定度不變的條件下，增大溫度計的輸出電壓可以降低溫度測量的不確定度，然而隨著溫度計激勵電壓的增加勢必會導(dǎo)致溫度計自熱效應(yīng)的增加。因此，在溫度計自熱效應(yīng)與溫度測量不確定度最小化的前提下，必然存在溫度計最優(yōu)的激勵條件，同時滿足上述兩者的要求。在實際測溫過程中，有時常以加大工作電流或電壓來增加溫度計的靈敏度，此時也需要計算溫度計的最優(yōu)激勵條件以平衡溫度計自熱和靈敏度之間的關(guān)系。

溫度計最優(yōu)激勵條件的選取主要考慮溫度測量不確定度的最小化和溫度計自熱效應(yīng)的平衡關(guān)系。具體求解過程如下:

(1)聯(lián)立式(16)和(2);

(2)將計算結(jié)果代入式(15)的右邊項中，并求解得到式(17)，注意式(17)僅包含溫度計自熱和測量儀器的輸出條件兩項;

(3)對式(17)中的溫度計輸出功率P求微分;(4)令微分方程為零;

(5)求解得到溫度計的最優(yōu)激勵條件。

溫度計的最優(yōu)激勵條件可以表示為:

式中，將其它引起測量不確定度的因素等效成電壓的形式，因此電壓測量的不確定度以級數(shù)的形式表示。此外，由式(18)可知，溫度計的最優(yōu)激勵條件與溫度計安裝的接觸熱阻呈反比例的關(guān)系。因此，降低溫度計安裝的接觸熱阻能夠有效的提高溫度計的最優(yōu)激勵條件，并提高溫度計使用過程中的靈敏度。

3 實驗結(jié)果與分析

研究作為實驗測量用的低溫溫度計為Cernox-1050-SD(SN X70208)，采用VGE-7031清漆將其安裝在高導(dǎo)無氧銅樣品架上。測量儀器選用美國Fluke公司出品的1594A超級數(shù)字溫度計，其一年期精確度為0.8×10－6(0.2 mK)。圖 1 所示為在實驗溫區(qū)4.2ˉ20 K范圍內(nèi)，溫度計激勵電流與自熱效應(yīng)和標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系。如圖所示，隨著溫度計激勵電流的增加，溫度計的自熱效應(yīng)明顯增強，然而溫度測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差卻逐漸降低。因此，在實驗條件和測量儀器不變的條件下，必然存在著溫度計的最優(yōu)激勵電流，使得溫度測量的不確定度達(dá)到最小，這也從實驗的角度驗證了上述的理論分析。

圖1 溫度計激勵電流與自熱效應(yīng)和標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系Fig.1 Variation among excitation current，temperature and standard deviation at different temperatures

溫度計最優(yōu)激勵條件的計算結(jié)果列于表1中。作為典型的負(fù)溫度系數(shù)溫度計，Cernox溫度計的電阻和無量綱的靈敏度系數(shù)隨著溫度的升高而降低，因此溫度計的最優(yōu)激勵電流隨著溫度的升高而逐漸升高。在4.2ˉ20 K溫區(qū)范圍內(nèi)，溫度計的最優(yōu)激勵電壓均大于溫度計使用手冊中的推薦值2 mV±25%。因此，對于高精度的低溫溫度測量，在溫度計的實際使用過程中，必須首先根據(jù)實際的安裝環(huán)境測得溫度計安裝接觸熱阻值，進(jìn)而求得溫度計的最優(yōu)激勵條件，并以此激勵條件激勵溫度計，這樣才能滿足高精度的溫度測量需求。

表1 溫度計最優(yōu)激勵條件的計算結(jié)果Table 1 Optimal sensor excitation power at different temperatures

表2所示為溫度計安裝接觸熱阻的不確定度計算結(jié)果以及由熱阻測量不確定度引起的溫度計自熱不確定度。值得注意的是表2的溫度計激勵電流是由表1計算得到的。溫度計自熱效應(yīng)引起的溫度測量不確定度是由Popt×Rt計算得到的，并且在20 K時達(dá)到最大值0.896 mK，在4.2 K時為最小值0.377 mK，均低于1 mK。

表2 熱阻測量的不確定度計算結(jié)果Table 2 Uncertainties due to measured effective thermal resistance

4 結(jié)論

首先從溫度計自熱效應(yīng)的角度出發(fā)，采用雙電流法理論分析了溫度計安裝的接觸熱阻，詳細(xì)推導(dǎo)了接觸熱阻的不確定度計算公式;其次從溫度測量不確定度的最小化要求由溫度計自熱效應(yīng)和測量儀器引入的不確定度平衡的角度出發(fā)，理論推導(dǎo)得到了溫度計最優(yōu)的激勵條件計算公式，并由溫度計激勵電流與自熱效應(yīng)和標(biāo)準(zhǔn)偏差的實驗關(guān)系驗證了溫度計在實際使用過程中必然存在著最優(yōu)的激勵條件。實驗結(jié)果表明:在不同的實驗溫區(qū)4.2ˉ20 K范圍內(nèi)，溫度計的最優(yōu)激勵電壓均大于溫度計使用手冊中的推薦值2mV±25%;溫度計自熱效應(yīng)引起的測量不確定度在20 K時達(dá)到最大值0.896 mK，在4.2 K時為最小值0.377 mK。

因此，對于高精度的低溫溫度測量，在溫度計的實際使用過程中，必須首先根據(jù)實際的安裝環(huán)境測得溫度計安裝的接觸熱阻值，進(jìn)而求得溫度計的最優(yōu)激勵條件，并以此激勵條件激勵溫度計，這樣才能滿足高精度的溫度測量需求。

1 Courts SS，Davenport WE.Thermal resistances of cryogenic temperature sensors from 1-300K［J］.Adv.Cryogenics Engineer，2000(45):1-10.

2 Yeager C J，Courts SS.Thermal resistance of cryogenic thermometers at ultra-low temperatures［J］.Adv.Cryogenics Engineer，2001，613:1644-1650.

3 Sparks L L.Temperature，strain，and magnetic field measurements［J］.Materials at Low Temperatures，1983:515-521.

4 Kobel T A，Kozyrczak M A.Effects of mounting methods on temperature sensor accuracy below 10 K［J］.Supercollider，1992(4):619-626.

5 Kreitman M M，Callahan J T.Thermal conductivity of Apiezon N grease at liquid helium temperatures［J］.Cryogenics，1971(10):155-159.

6 Holmes D S，Courts S S.Thermal resistances of mounted cryogenic temperature sensors［J］.Adv.Cryogenics Engineer，2001，41B:1699-1706.

7 Batagelj V，Bojkovski J.Influence of SPRT self-heating on measurement uncertainty in fixed point calibration and calibration by comparison［J］.Temperature:Its Measurement and Control in Science and Industry，2002(7):315-320.

8 Batagelj V，Bojkovski J.Methods of reducing the uncertainty of the self-heating correction of a standard platinum resistance thermometer in temperature measurement of the highest accuracy［J］.Measurement Science ＆ Technology，2003，14:2151-2158.

9 Temperature measurement resolution and uncertainty in Temperature Measurement and Control catalog［J］.LakeShore Cryotronics ，1999:A-47.

10 Neil T，Van Dresar.An uncertainty analysis of the PVTgauging method applied to sub-critical cryogenic propellant tanks［J］.Cryogenics，2004，44:515-523.