周炳榮

(東華大學，上海 200051)

在文獻［1］中，筆者分析得出，在不計力FMy作用時鋼絲圈外腳超前角κ=0，鋼絲圈平面可視為繞軸Ax'轉(zhuǎn)動而前傾，以及鋼絲圈前傾角χ和外傾角τ的計算。本文進一步分析計入力FMy作用時鋼絲圈外腳超前角κ≠0，并指出鋼絲圈的三個傾角κ，χ及τ的計算;闡明鋼絲圈圈徑A0M0的意義。上述內(nèi)容已形成了鋼絲圈—鋼領幾何形狀設計原理，將引起鋼領與鋼絲圈設計、制造和使用者注意。

1 由力和力矩平衡方程式導出δ，α2，a

1.1 力矩平衡方程式

如文獻［1］所述，紡紗時鋼絲圈承受力FM(鋼絲圈離心力)、Q(紗張力)、N(鋼領支承反力)組成的平衡力系作用，三力共面且相交于一點;這三個力的作用點分別是M，J，A，且都在鋼絲圈平面上，故力平面MJA即是鋼絲圈平面，如圖1所示。坐標系

圖1 鋼絲圈平面MJA對于坐標平面x'Az'呈前傾

Ax'y'z'是一個平動坐標系，坐標原點設在鋼絲圈—鋼領接觸點A。圖1中，鋼絲圈平面MJA的空間位置是它通過坐標原點A，在坐標平面x'Ay'上生成跡線u，以及在坐標平面y'Az'上生成跡線w。跡線w對于軸－Az'形成角χ，而跡線u對于軸Ax'形成斜角κ，表明了鋼絲圈前傾和外腳超前。鋼絲圈離心力FM落在其質(zhì)心M繞鋼領軸線z回轉(zhuǎn)的徑向r上，且對于軸 Ox(∥Ax')形成斜角 δ，則得分量 FMx=FMcosδ，F(xiàn)My=FMsinδ。力 FM、Q 都對鋼絲圈—鋼領接觸點A產(chǎn)生力矩，且互為平衡。寫出每一個坐標軸上力矩平衡式，即得:

從式(1)解得

必須找出上式中諸分力的比值。根據(jù)圖1繪出坐標平面x'Az'上的力三角形，如圖2所示。按力平衡條件∑X'=0，得到:

考慮到分力Qx方向為負，故下述兩力的比值有負號。即:

這就是說，分力以順軸向為正，反之為負。從圖2得:

將它們代入式(1a)后得:

根據(jù)圖1繪出坐標平面x'Ay'上的力三角形，如圖3所示。因FMy=FMxtanδ，從式(2)解得:

圖3 坐標平面x'Ay'上的力三角形

從圖3得:

又取參考文獻［1］中式(18)即:

將它們代入式(2a)后得:

從式(3)解得:

對于上式，代入式(4a)，(4b)，(5a)，(5b)得:

上列式(4)，(5)，(6)基本上從力矩平衡方程式(1)～(3)導得，其中僅使用了力平衡條件ΣX'=0。

1.2 ∠δ 與∠α2的關系式

同理，根據(jù)圖1繪出坐標平面y'Az'上的力三角形，如圖4所示。

圖4 坐標平面y'Az'上的力三角形

按力平衡條件ΣY'=0，可寫出下式:

FMy+Qy=Ny=μNxz=F(鋼絲圈受到的摩擦力)

故得:

在圖2中按力平衡條件ΣZ'=0，可寫出下式:

故得:

又有:

將上列兩式代入式(7)得:

或

做分析計入力FMy時，鋼絲圈在運動中受到的摩擦力F必定為紗張力Qy及離心力分量FMy兩者之合力所平衡，如式(7)示。力FMy的計入有使力Qy減小，也就是力Q減小，導致力Nxz減小，則角α2增大(參見式(8))?？墒橇My隨角δ增大而增大，因此說明角δ和α2的確有某種聯(lián)系。式(9)是在參數(shù)μ，β及α1為某值時，δ－α2存在關系。該式可應用圖解法中雙線法求解，見圖5。

圖5 曲線arccosδ及arcsinδ的交點G

某型細紗機紡T/R65/3518.5tex紗，鋼絲圈6802-5/0型，鋼領PG1-4554型，紗管卷裝尺寸φ42 mm×180mm，卷繞短動程53.23mm。鋼絲圈—鋼領的摩擦因數(shù)μ=0.22;紗—鋼絲圈的摩擦因數(shù)μ1=0.37。據(jù)參考文獻［2］中表 6-1 可得到角 β、α1、α2及δ值，列于表1內(nèi)。

表1 紡 T/R65/3518.5tex 紗時鋼絲圈角 β、α1、α2、δ 計算值

從表1結(jié)果可以看出，鋼絲圈位置角δ的確很小;角κ也很小，但鋼絲圈外腳超前是肯定的。在正常情況下(μ=0.22)，鋼絲圈位置角δ的確很小;但在有金屬粘連情況下，鋼絲圈—鋼領的摩擦因數(shù)μ則有明顯的變化，角δ值及變化也就與上述結(jié)果有明顯差異。

1.3 質(zhì)心豎坐標a的計算

鋼絲圈質(zhì)心z向位置坐標a是一個重要參數(shù)，可如下解得。聯(lián)立式(4)和式(6)，在消去s項后得:

再與式(5)聯(lián)立可得:

于是式(4)，(5)，(6)中 α1，α2，δ，a 都可視為參變數(shù);則它是由變量l，q，s組成的線性方程組，可惜是無解的，只能采用下列方法求解鋼絲圈位置傾側(cè)角κ，χ，τ。

2 紡紗時鋼絲圈在鋼領上位置傾側(cè)角

2.1 鋼絲圈外腳超前角κ

在消去式(4)和式(6)的右端后得到下式:

上式各項除以stan(π－α1)后得:

從式(5b)得:

上兩式在消去等式右端后得:

即得:

式(11)結(jié)果表明，鋼絲圈外腳超前角κ等于鋼絲圈位置角δ;且∠δ為正時，表示鋼絲圈外腳超前于內(nèi)腳，如圖1所示。

2.2 鋼絲圈前傾角χ

如圖1所示，鋼絲圈平面在坐標平面y'Az'上生成跡線w，其方程式是

該跡線w通過坐標原點A，且對于軸－Az'的前傾角χ為:

實際情況是s＞l，a＜c，角χ必定是正值而小于90°。由式(11a)得:

又由式(5b)得:

上兩式相減后得:

式(12)說明，鋼絲圈前傾角χ隨角δ及坐標a值而定。鋼絲圈前傾導致鋼絲圈—鋼領之間紗通道減小，小到一定程度時，紗線有被軋毛或軋斷之虞。對于坐標Ax'y'z'系，比值q/s表示鋼絲圈上紗作用點J的前傾程度，坐標s(s=f+a)與紗通道高度hp(hp=0.5dy(1+sinα1)+ε2)成線性變化關系。

聯(lián)立式(11a)與式(4)得:

圖6是鋼絲圈前傾時紗線通道間隙ε2示意。在圖6中，設紗截面為圓形，則得:

圖6 鋼絲圈前傾時留有紗通道間隙ε2

式中:

dy——紗直徑/mm;

ε2——紗表面與鋼領頂面之間間隙;

g——點A0對鋼領表面的距離;

zA——點A與點A0的高度距離。

從式(13)可看出，在其他參數(shù)相同情況下，q/s與s成相反變化。即s減小，則比值q/s增大;點J的前傾增大，紗通道高度hp減小。又從圖7、圖8中看出:

即s與鋼絲圈尺寸z0和r2有關。s減小則要求尺寸z0減小和r2減小，或兩者之一減小;于是鋼絲圈圈形高度H及其質(zhì)心M0高度減小?？傊?，在同樣情況下，質(zhì)心低、圈形小的鋼絲圈前傾大，紗通道小;反之亦然。

2.3 鋼絲圈外傾角τ

前兩節(jié)文中已講清楚鋼絲圈平面MJA的空間位置以及鋼絲圈平面呈前傾和鋼絲圈外腳超前。實際上鋼絲圈幾何圖形還在此平面內(nèi)呈外傾，即鋼絲圈的幾何形狀對稱線呈外傾。在坐標平面x'Az'上作動態(tài)圖，找出鋼絲圈外傾角τ的大小。如圖7所示，點O1v是點O1在此平面上的投影點，作力三角形O1vDB。點A，Jv分別位于線O1D，BD的延長線上，點Mv落在直線ED的延長線上 。以點O1v為圓心，以O1vMv為半徑畫出直角三角形O1vCM0，其中∠O1vM0C=∠τ0(鋼絲圈包容角)，由此確定了點M0在圖中的位置。已定義了鋼絲圈外傾角τ值是傾斜狀態(tài)的鋼絲圈對于正置狀態(tài)的偏轉(zhuǎn)(見文獻［1］中 2.1);那么圖中∠M0O1vMv=∠τ，可直接量出其值。即紡紗時為適應氣圈紗張力和形狀需要，鋼絲圈向外傾斜而其質(zhì)心M0落在點Mv位置，其坐標為(c，－a);按圖7可得:

式中坐標c應由氣圈紗張力和形狀確定。按參考文獻［1］中圖9得:

從式(4b)得:

又按文獻［2］中式(2-7a)得:

式中:

p——氣圈張力參數(shù)/cm;

rt——鋼絲圈上點J繞錠軸的轉(zhuǎn)動半徑/cm;

m——紗質(zhì)量/(g·cm-1);

Tt——點 J 處紗張力/N。

于是式(4a)可演算成下式:

由此解得:

獲得c和τ后，從式(14)解得:

式(15a)中，τ0v是按氣圈紗張力及形狀和鋼絲圈應具有外傾角τ要求而建立的參數(shù)。

3 關于橢圓型鋼絲圈的半徑A0M0*

3.1 包容角 τ0

如圖8所示，點O1是鋼絲圈下腳圓弧中心，點M0是鋼絲圈質(zhì)心。線O1M0對于鋼絲圈幾何形狀對稱線的夾角τ0稱為包容角。實質(zhì)上它表示了圈徑A0M0(O1M0延長線)的斜度，及鋼絲圈質(zhì)心(點M0)對于點O1位置高度。角τ0大則鋼絲圈質(zhì)心位置低，圈形高度H小;反之，角τ0小則鋼絲圈質(zhì)心位置高，圈形高度H大?？傊?，角τ0能表達鋼絲圈高度尺寸H。

在圖7中，點D是三力平衡點，線段DMv=cacotα2，解 ΔO1vDMv可得下式:

式中

又解ΔAO1vMv可得下式:

式中，α2+θ=α2－τ0－τ+90°

從式(17)可看出，r1v＞0的必要條件是:

即τ0v是τ0的最小值。而τ0可從鋼絲圈與鋼領為弧面接觸，而鋼絲圈須持有工作半徑r1(或r1v)解出。從圖7可看出A0M0≈r1v+O1vM0，或?qū)懗上率?

式(19)說明角 τ0和長度 A0M0相關。從式(19)還可看出鋼絲圈圈徑長度A0M0與參數(shù)c，a，τ，α2等值有關。每只鋼絲圈都有屬于自己的圈徑A0M0，其長度和斜度都已確定了;可以理解在紡紗實際應用時——那時AMv≌A0M0說明它會出現(xiàn)不同程度的外傾和前傾。

3.2 圈徑A0M0

如圖8所示，將直線O1M0向該圖的左下方延長一個長度r1(r1為鋼絲圈下腳圓弧半徑)則得點A0，線A0M0稱為圈徑;它的長度A0M0=O1M0+r1;斜角τ0。從圖8中可以看出，長度A0M0大則鋼絲圈長向尺寸D大;反之亦然?？傊?，鋼絲圈圈徑A0M0的長度和斜角指出鋼絲圈圈型大小和質(zhì)心位置高低，這種結(jié)果表明圈徑A0M0是鋼絲圈的技術特征數(shù)。

點A0是正置狀態(tài)下鋼絲圈與鋼領的接觸點，而點A是紡紗時鋼絲圈與鋼領的接觸點，它必定在點A0的上方，那么兩點位置的高度距離zA確定如下。由圖7得:zA=a0－a－d。

式中，a0=A0M0cosτ0，a=ccot(τ0v+ τ)，d=O1vM0

將式(13a)演化一下，則得點A0對于鋼領頂面的高度距離g:

從式(21)可看出，高度g與紡紗號數(shù)，紗張力，鋼絲圈圈徑及通道間隙ε2等參數(shù)有關。所以，鋼領跑道表面高度應足夠大，容納所使用鋼絲圈要求的g。另一方面，從鋼領設計方面看，鋼絲圈圈徑A0M0數(shù)的種類要少，點A0的空間位置變化要少。

4 結(jié)論

4.1 在計及力FMy作用時，由力矩平衡方程式

(1)～(3)導得∠κ=∠δ(見式(11))，即鋼絲圈外腳超前角κ等于鋼絲圈位置角δ;說明紡紗時鋼絲圈外腳超前于內(nèi)腳，以及外腳超前角的大小。

4.2 由式(7)及(8)導得鋼絲圈位置角δ與角α2的關系式(9)，采用圖解法可同時解得角δ與角α2。實例計算結(jié)果表明∠δ很小，在實際分析計算時可略去。

4.3 聯(lián)立力矩平衡方程式(1)～(3)可導得鋼絲圈質(zhì)心的豎坐標a(見式(10));但是三個線性方程式(4)，(5)，(6)卻不能給出紗接觸點 J 的坐標(l，q，－s)。

4.4 在計及力FMy作用時，鋼絲圈平面MJA在坐標平面y'Az'上跡線w對于軸－Az'形成傾角χ，表明了鋼絲圈前傾。對于坐標Ax'y'z'系，比值q/s表明鋼絲圈上紗作用點J的前傾程度，s與鋼絲圈下紗通道高度hp成線型變化。分析結(jié)果認為，在同樣情況下，質(zhì)心低、圈形小的鋼絲圈前傾大，紗通道小;反之亦然。

4.5 紡紗時鋼絲圈向外傾斜是必須的，鋼絲圈外傾角τ可直接從動態(tài)圖上量出(見圖7);而鋼絲圈質(zhì)心M0坐標 c由氣圈紗張力及形狀確定(見式(15))。按τ和c/a算出的τ0v(見式(15a))是包容角τ0的最小值。角τ0可從鋼絲圈與鋼領為弧面接觸，鋼絲圈須持有工作半徑r1的條件來選定。

4.6 圈徑A0M0是橢圓型鋼絲圈的技術特征數(shù)。它的斜角(∠τ0)能表達鋼絲圈質(zhì)心高度M0或圈形高度H;其長度A0M0能表達鋼絲圈長向尺寸D。而圈徑A0M0的斜度與長度有一定關聯(lián)，如近似式(19)所示。

4.7 每只鋼絲圈都有一個屬于自己的圈徑A0M0，其長度和斜度都已建立了;因為實際應用情況與原設計不一致，它在紡紗時會產(chǎn)生不同的外傾和前傾。圈徑A0M0數(shù)的類別要少，點A0的空間位置變動要少，這樣鋼領跑道表面高度可以小些。

［1］周炳榮.紡紗時鋼絲圈在鋼領上位置傾側(cè)分析［J］.紡織器材，2013，40(3):1-8.

［2］周炳榮.紡紗氣圈理論［M］.上海:東華大學出版社，2010:90-112.

［3］李工博.平面對稱鋼絲圈的設計［J］.紡織學報，1981(6):14-20.

［4］DEAE，BARRel.ThePrinciplesandTheoryofRingSpinning［M］.London:TheTextileInstituteandButterworth，1965:120-127.