李曉杰

摘 ?要： 圖像重建算法是電容層析成像系統(tǒng)研究的關(guān)鍵技術(shù)，尋找一種重建圖像速度和重建圖像質(zhì)量都能滿足工業(yè)應(yīng)用要求的圖像重建算法是十分必要的。基于信賴域方法的共軛梯度算法是在普通共軛梯度算法的基礎(chǔ)上提出的一種新的圖像重建算法，提高了圖像重建的質(zhì)量與速度。

關(guān)鍵字： 電容層析成像; 圖像重建; 共軛梯度法; 信賴域

中圖分類號(hào)： TN919?34; TP301.6 ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）24?0045?02

Study on image reconstruction algorithm of conjugate gradient algorithm based on

trust region technique

LI Xiao?jie

（Network Information Center， Heilongjiang University of Science & Technology， Harbin 150022， China）

Abstract： Image reconstruction algorithm is the key technology of electrical capacitance tomography system research. It is necessary to look for a kind of image reconstruction algorithm which can meet the requirements of industrial application in image reconstruction speed and quality. The conjugate gradient algorithm based on trust region method is a new image reconstruction algorithm proposed on the basis of the general conjugate gradient algorithm. It improved the speed and quality of image reconstruction.

Keywords： electrical capacitance tomography; image reconstruction; conjugate gradient algorithm; trust region

0 ?引 ?言

電容層析成像（Electrical Capacitance Tomography，ECT）技術(shù)是基于電容敏感場(chǎng)特性的一種過(guò)程層析成像技術(shù)。其基本原理是：根據(jù)不同多相介質(zhì)具有不同的介電常數(shù)這一物理特性，通過(guò)電容傳感器陣列形成一個(gè)旋轉(zhuǎn)的空間敏感場(chǎng)，然后從不同方向的觀測(cè)視角對(duì)包含多相介質(zhì)的管道進(jìn)行快速掃描，獲得被測(cè)管道的各相介質(zhì)的介電常數(shù)分布情況。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用一種合適的圖像重建算法，顯示出被測(cè)管道的二維或三維介質(zhì)分布圖像。

電容層析成像技術(shù)不僅在實(shí)驗(yàn)室研究，而且在工業(yè)生產(chǎn)應(yīng)用中，都展示出良好的應(yīng)用前景。目前，電容層析成像技術(shù)被廣泛應(yīng)用于國(guó)內(nèi)外各類行業(yè)的工業(yè)生產(chǎn)中，如：不同流型下的空隙率測(cè)量及其流型辨識(shí)、礦石，水泥，谷物，煤粉等的氣力輸送過(guò)程、火焰成像、凍土樣品中的物質(zhì)分布及動(dòng)態(tài)變化過(guò)程可視化等 。

1 ?研究原因分析

電容層析成像技術(shù)的研究，關(guān)鍵在于以下2點(diǎn)：

（1） 獲得更多、更準(zhǔn)確的被測(cè)物場(chǎng)介質(zhì)分布信息;

（2） 尋求一種速度與精度更高的圖像重建算法。

介質(zhì)分布信息的獲取受硬件條件的限制較多，因此，對(duì)圖像重建算法的研究，尋找一種重建圖像速度和重建圖像質(zhì)量都能滿足工業(yè)應(yīng)用要求的圖像重建算法是十分必要的。在圖像重建領(lǐng)域，信賴域方法是一類新穎的研究方向[1]，本文在共軛梯度算法基礎(chǔ)上，提出一種基于信賴域技巧的共軛梯度算法，提高了成像速度與質(zhì)量。

2 ?算法的提出

2.1 ?共軛梯度算法

共軛梯度（CG）法介于最速下降法與牛頓法之間的一個(gè)方法，最初由Hesteness和Stiefel在求解線性方程組過(guò)程中提出的。由于其具有較好的收斂性和穩(wěn)定性，F(xiàn)letcher和Reevesd等人后來(lái)把該算法用于求解一般目標(biāo)函數(shù)的極小值。

共軛梯度算法求解圖像恢復(fù)問題，即求下面的離散化問題：

[Kf+n=h] （1）

式中：[K∈Rm2×n2]為一對(duì)稱正定矩陣，[f∈Rn2]為待求的輸入，[h∈Rm2]為測(cè)量或觀測(cè)到的輸出。

這里的目的是使：

[n→min] ?（2）

即，極小化目標(biāo)函數(shù)：

[J[f]：=12Kf-h2] （3）

顯然目標(biāo)函數(shù)是二次型，可表達(dá)為：

[J[f]=12fTKTKf-hTKf+12hTh] （4）

其梯度和Hessianz陣可以顯式地計(jì)算為：

[grad（J[f]）=KTKf-KTh，Hess（J[f]）=KTK] （5）

共軛梯度法本身是一種迭代法，同時(shí)也是一種Krylov子空間方法，該算法的優(yōu)點(diǎn)在于，它可以將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為階段性的易于計(jì)算的子問題。但是其迭代終止條件是要求梯度足夠小，這樣需要很多次迭代才能夠完成，使得算的解遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離于原問題的真實(shí)解。

2.2 ?基于信賴域法的共軛梯度方法

信賴域方法是這樣的一類方法，它在確保問題全局收斂的情況下還要求問題在局部具有快速收斂性。信賴域方法求解式（3），首先需要求解以下的信賴域子問題（TRS）：

[min?（s）=（grad（J[f]），s）+12（Hess（J[f]）s，s），s.t.s≤Δ] （6）

在信賴域算法的每一次迭代過(guò)程中，都需要精確和非精確地求解子問題式（6）來(lái)獲得下一次迭代點(diǎn)的一試探步。取目標(biāo)函數(shù)的下降量和對(duì)逼近模型的預(yù)估下降量的比值r作為檢測(cè)試探步是否值得依賴的標(biāo)準(zhǔn)。

令[sk]為式（6）的一預(yù)估解，記為：

[Predk=Φk（0）-Φk（sk）=-Φk（sk）] （7）

為逼近模型的預(yù)估下降量;記：

[Aredk=J[fk]-J[fk+sk]] ? （8）

為目標(biāo)函數(shù)的預(yù)估下降量。

則：

[rk=AredkPredk] （9）

用[rk]的大小來(lái)判定是否接受信賴域試探步以及是否調(diào)整信賴半徑。對(duì)于二次模型問題，發(fā)現(xiàn)比值[rk≡1]。根據(jù)目標(biāo)泛函的極小化過(guò)程，泛函值[J[fk+sk]]至少不會(huì)比[J[fk]]更差。因此，不管目標(biāo)泛函下降量多少，總是接受試探步[sk]，這樣可以不放棄求得的任何一個(gè)好點(diǎn)。

3 ?數(shù)值測(cè)試

仿真電容層析成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)為半徑200 mm管道型結(jié)構(gòu)，激勵(lì)和檢測(cè)功能由8電極電容傳感器完成，因此可獲得28個(gè)測(cè)量值，利用有限元法將被測(cè)場(chǎng)剖分成512個(gè)單元。設(shè)置4種典型流型分布用于仿真試驗(yàn)：二氣泡、中心流、單氣泡、環(huán)狀流采用共軛梯度法和帶有信賴域技巧的共軛梯度算法進(jìn)行圖像重建，并在同一條件下，比較兩種算法在成像質(zhì)量和成像速度上效果，得出表1，表2中的測(cè)試數(shù)據(jù)。

表1 圖像誤差 ? ? ?%

表2 成像速度 ? ? ? s

4 ?結(jié) ?語(yǔ)

本文針對(duì)共軛梯度算法提出了一種基于信賴域技巧的共軛梯度算法，并應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行了算法實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于信賴域的共軛梯度算法相比共軛梯度算法在成像速度上與成像質(zhì)量上都有了很大的提高，為圖像重建提供了一種有效的更精確的算法。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉海林.一個(gè)新的無(wú)約束最優(yōu)化的共軛梯度算法[J].廣東民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1998（4）：13?16.

[2] YANG Wu?qiang. Design of electrical capacitance tomography sensors [J]. Measurement Science and Technology， 2010， 21（4）： 042001.

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[4] 陳智瑩.電容層析成像算法的研究和在工程中的最新應(yīng)用[D].北京：華北電力大學(xué)，2012.

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[9] HESTENES M R. Iterative method for solving linear equations [J]. JOVA， 1973（1）： 322?330.

[10] 王化祥，朱學(xué)明，張立峰.用于電容層析成像技術(shù)的共軛梯度算法[J].天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，38（1）：1?4.

[11] MARASHDEH Q， WARSITO W. Dual imaging modality of granular flow based on ECT sensors [J]. Granular Matter， 2010， 15（10）： 75?80.

[12] 張菊亮.非線性最優(yōu)化的信賴域方法[D].北京：中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，2001.

[13] POWELL M J D. Convergence properties of class of minimization algorithms [J]. Nonlinear Programming， ?1975（2）： 1?27.

[14] 王超，錢相臣，徐明，等.基于LU分解的共軛梯度法單步成像算法[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2007，28（11）：1972?1976.

2.2 ?基于信賴域法的共軛梯度方法

信賴域方法是這樣的一類方法，它在確保問題全局收斂的情況下還要求問題在局部具有快速收斂性。信賴域方法求解式（3），首先需要求解以下的信賴域子問題（TRS）：

[min?（s）=（grad（J[f]），s）+12（Hess（J[f]）s，s），s.t.s≤Δ] （6）

在信賴域算法的每一次迭代過(guò)程中，都需要精確和非精確地求解子問題式（6）來(lái)獲得下一次迭代點(diǎn)的一試探步。取目標(biāo)函數(shù)的下降量和對(duì)逼近模型的預(yù)估下降量的比值r作為檢測(cè)試探步是否值得依賴的標(biāo)準(zhǔn)。

令[sk]為式（6）的一預(yù)估解，記為：

[Predk=Φk（0）-Φk（sk）=-Φk（sk）] （7）

為逼近模型的預(yù)估下降量;記：

[Aredk=J[fk]-J[fk+sk]] ? （8）

為目標(biāo)函數(shù)的預(yù)估下降量。

則：

[rk=AredkPredk] （9）

用[rk]的大小來(lái)判定是否接受信賴域試探步以及是否調(diào)整信賴半徑。對(duì)于二次模型問題，發(fā)現(xiàn)比值[rk≡1]。根據(jù)目標(biāo)泛函的極小化過(guò)程，泛函值[J[fk+sk]]至少不會(huì)比[J[fk]]更差。因此，不管目標(biāo)泛函下降量多少，總是接受試探步[sk]，這樣可以不放棄求得的任何一個(gè)好點(diǎn)。

3 ?數(shù)值測(cè)試

仿真電容層析成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)為半徑200 mm管道型結(jié)構(gòu)，激勵(lì)和檢測(cè)功能由8電極電容傳感器完成，因此可獲得28個(gè)測(cè)量值，利用有限元法將被測(cè)場(chǎng)剖分成512個(gè)單元。設(shè)置4種典型流型分布用于仿真試驗(yàn)：二氣泡、中心流、單氣泡、環(huán)狀流采用共軛梯度法和帶有信賴域技巧的共軛梯度算法進(jìn)行圖像重建，并在同一條件下，比較兩種算法在成像質(zhì)量和成像速度上效果，得出表1，表2中的測(cè)試數(shù)據(jù)。

表1 圖像誤差 ? ? ?%

表2 成像速度 ? ? ? s

4 ?結(jié) ?語(yǔ)

本文針對(duì)共軛梯度算法提出了一種基于信賴域技巧的共軛梯度算法，并應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行了算法實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于信賴域的共軛梯度算法相比共軛梯度算法在成像速度上與成像質(zhì)量上都有了很大的提高，為圖像重建提供了一種有效的更精確的算法。

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2.2 ?基于信賴域法的共軛梯度方法

信賴域方法是這樣的一類方法，它在確保問題全局收斂的情況下還要求問題在局部具有快速收斂性。信賴域方法求解式（3），首先需要求解以下的信賴域子問題（TRS）：

[min?（s）=（grad（J[f]），s）+12（Hess（J[f]）s，s），s.t.s≤Δ] （6）

在信賴域算法的每一次迭代過(guò)程中，都需要精確和非精確地求解子問題式（6）來(lái)獲得下一次迭代點(diǎn)的一試探步。取目標(biāo)函數(shù)的下降量和對(duì)逼近模型的預(yù)估下降量的比值r作為檢測(cè)試探步是否值得依賴的標(biāo)準(zhǔn)。

令[sk]為式（6）的一預(yù)估解，記為：

[Predk=Φk（0）-Φk（sk）=-Φk（sk）] （7）

為逼近模型的預(yù)估下降量;記：

[Aredk=J[fk]-J[fk+sk]] ? （8）

為目標(biāo)函數(shù)的預(yù)估下降量。

則：

[rk=AredkPredk] （9）

用[rk]的大小來(lái)判定是否接受信賴域試探步以及是否調(diào)整信賴半徑。對(duì)于二次模型問題，發(fā)現(xiàn)比值[rk≡1]。根據(jù)目標(biāo)泛函的極小化過(guò)程，泛函值[J[fk+sk]]至少不會(huì)比[J[fk]]更差。因此，不管目標(biāo)泛函下降量多少，總是接受試探步[sk]，這樣可以不放棄求得的任何一個(gè)好點(diǎn)。

3 ?數(shù)值測(cè)試

仿真電容層析成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)為半徑200 mm管道型結(jié)構(gòu)，激勵(lì)和檢測(cè)功能由8電極電容傳感器完成，因此可獲得28個(gè)測(cè)量值，利用有限元法將被測(cè)場(chǎng)剖分成512個(gè)單元。設(shè)置4種典型流型分布用于仿真試驗(yàn)：二氣泡、中心流、單氣泡、環(huán)狀流采用共軛梯度法和帶有信賴域技巧的共軛梯度算法進(jìn)行圖像重建，并在同一條件下，比較兩種算法在成像質(zhì)量和成像速度上效果，得出表1，表2中的測(cè)試數(shù)據(jù)。

表1 圖像誤差 ? ? ?%

表2 成像速度 ? ? ? s

4 ?結(jié) ?語(yǔ)

本文針對(duì)共軛梯度算法提出了一種基于信賴域技巧的共軛梯度算法，并應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行了算法實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于信賴域的共軛梯度算法相比共軛梯度算法在成像速度上與成像質(zhì)量上都有了很大的提高，為圖像重建提供了一種有效的更精確的算法。

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