郭 星 潘 華

1）中國(guó)北京100081中國(guó)地震局地球物理研究所

2）中國(guó)北京100082環(huán)境保護(hù)部核與輻射安全中心

引言

在實(shí)際地震危險(xiǎn)性分析中對(duì)于地震發(fā)生過(guò)程的描述，最常用且數(shù)學(xué)上最為簡(jiǎn)單的模型即泊松過(guò)程模型（Cornell，1968）.該模型假定在一個(gè)斷層或一個(gè)震源區(qū)內(nèi)，地震的發(fā)生符合泊松過(guò)程.泊松過(guò)程的特點(diǎn)是時(shí)間上的無(wú)記憶性，即未來(lái)發(fā)生地震的可能性與上一次地震的離逝時(shí)間無(wú)關(guān)，這與已知的強(qiáng)震發(fā)生的彈性回跳理論不一致.依據(jù)彈性回跳理論（Reid，1910），一次大地震發(fā)生以后，必須積累足夠的能量才能夠在同一地點(diǎn)發(fā)生下一次大地震.因此，若積累速率保持恒定，則距離上一次地震的時(shí)間越長(zhǎng)，下一次地震發(fā)生的可能性就越大，此即大地震發(fā)生的時(shí)間記憶性.顯然，泊松模型不能反映這一特點(diǎn).

為了描述大地震的記憶性，Utsu（1972）和Rikitake（1974）以及 Hagiwara（1974）基于彈性回跳理論提出一種更新模型，該模型假定地震的發(fā)生符合更新過(guò)程，即大地震的發(fā)生具有時(shí)間相關(guān)性，一次大地震發(fā)生后，還需要很長(zhǎng)時(shí)間的彈性應(yīng)力能量的積累才能在同一斷層段上發(fā)生下一次地震.

為了描述未來(lái)一段時(shí)期ΔT內(nèi)發(fā)生潛在地震的可能性大小，國(guó)外研究人員提出很多用來(lái)計(jì)算這種條件概率的更新概率模型，包括雙指數(shù)分布（Utsu，1972）、高斯分布（Rikitake，1974）、對(duì)數(shù)正態(tài)分布（Nishenko，Buland，1987）、威布爾分布、伽馬分布（Utsu，1984）和BPT分布（Ellsworth，1999；Matthews et al，2002）等.

對(duì)于任一更新概率模型，若強(qiáng)震發(fā)生的概率密度分布函數(shù)f（t）和前一次地震的離逝時(shí)間T已知，就可以計(jì)算分段斷層源上未來(lái)一段時(shí)期ΔT內(nèi)強(qiáng)震發(fā)生的條件概率（Wesnousky，1986）：

然而，由于強(qiáng)震重復(fù)周期較長(zhǎng)，而有強(qiáng)震記載的歷史較短，很多斷層源（或分段斷層源）上并沒(méi)有上一次強(qiáng)震發(fā)生的時(shí)間，這種情況下很難使用更新模型估計(jì)強(qiáng)震的發(fā)生概率.然而很多斷層源上已經(jīng)有數(shù)百年甚至上千年的有確切記載的強(qiáng)震平靜期，若采用泊松過(guò)程模型則可能會(huì)低估強(qiáng)震發(fā)生的危險(xiǎn)性.

針對(duì)缺少大震資料情況下活動(dòng)斷裂上強(qiáng)震發(fā)生概率的計(jì)算，Matthews等（2002）對(duì)于給定的時(shí)間界限（已知或認(rèn)為地震發(fā)生在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)之前），給出了一個(gè)描述該時(shí)刻處于不同加載狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)（steady-state）概率密度函數(shù)，然后利用全概率公式和BPT（Brownian passage time）概率密度函數(shù)計(jì)算得到未來(lái)一段時(shí)期ΔT內(nèi)的發(fā)震概率.但該方法僅適用于基于一種隨機(jī)加載過(guò)程（穩(wěn)定加載附加布朗運(yùn)動(dòng)）的BPT模型.

本文對(duì)更新模型的條件概率計(jì)算方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出一種以有確切記載的強(qiáng)震平靜期長(zhǎng)度Ts為參數(shù)的條件概率計(jì)算方法.這里Ts要小于上一次地震的離逝時(shí)間T，而T是不確定的.本文提出的方法具有通用性，可以用于各種更新概率模型.

本文以東昆侖斷裂帶東段的塔藏段為研究對(duì)象，分別利用泊松分布模型與BPT分布模型計(jì)算該段的強(qiáng)震發(fā)生概率，并給出有確切記載的強(qiáng)震平靜期長(zhǎng)度Ts與強(qiáng)震發(fā)生概率P的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

1 方法

若無(wú)法確定斷層源上前一次大地震的離逝時(shí)間T，但是如果已知研究區(qū)內(nèi)強(qiáng)震記載完整的初始年份及其距今的時(shí)間Ts，根據(jù)貝葉斯公式，則可利用強(qiáng)震發(fā)生的概率密度分布函數(shù)f（t）推斷斷層源上未來(lái)一段時(shí)期ΔT內(nèi)發(fā)生強(qiáng)震的條件概率P（Ts，ΔT）.

首先令至今至少存在長(zhǎng)度為T(mén)s的平靜期的事件為BTs，而現(xiàn)在的大震離逝時(shí)間為T(mén)的事件為AT；再以T年前時(shí)刻發(fā)生大震的事件為ET，其下一次地震將在未來(lái)時(shí)段發(fā)生的事件為X.根據(jù)上述定義，則有

若當(dāng)今之前的歷史地震情況未知（無(wú)歷史大震和平靜期資料，即是無(wú)記憶的），根據(jù)等可能決策法（或拉普拉斯決策法），則可認(rèn)為這個(gè)未知期內(nèi)每一年發(fā)生地震事件（ET）的概率相同，即P（ET）為常數(shù)，這里設(shè)該常數(shù)為ν；若已知大震發(fā)生的概率密度分布函數(shù)f（t），則在T年前發(fā)生大震（ET）條件下，其下一次地震將在未來(lái)時(shí)段發(fā)生（X）的條件概率為

根據(jù)貝葉斯公式，在下一次地震將在未來(lái)時(shí)段發(fā)生（X）的條件下，該大震在T年前時(shí)刻發(fā)生的條件概率P（ET｜X）為

式中，P（ET）為先驗(yàn)概率，P（ET｜X）為后驗(yàn)概率，∫∞0（1－∫T0f（t）dt）dT則相當(dāng)于一個(gè)常數(shù).式（2）中，P（ET｜X）即為大震離逝時(shí)間為T(mén) 的概率P（AT）.

令P（BTs｜AT）表示在大震離逝時(shí)間為T(mén)（AT）條件下，當(dāng)前至少存在長(zhǎng)度為T(mén)s的平靜期事件（BTs）的概率.其表達(dá)式為

然后利用貝葉斯公式即可計(jì)算至今至少存在長(zhǎng)度為T(mén)s平靜期（BTs）的條件下，大震離逝時(shí)間為T(mén)（AT）的條件概率P（AT｜BTs）為

式中，P（AT）為先驗(yàn)概率，P（AT｜BTs）為后驗(yàn)概率.若P（AT｜BTs）已知，利用全概率公式，則斷層源上未來(lái)一段時(shí)期ΔT內(nèi)發(fā)生強(qiáng)震的條件概率為

2 算例

為驗(yàn)證本文方法的有效性，利用該方法計(jì)算了東昆侖斷裂帶東部塔藏段的強(qiáng)震發(fā)生概率.塔藏?cái)嗔盐挥跂|昆侖斷裂帶東段（圖1），屬于“瑪曲空區(qū)”范圍（付俊東等，2012）.該斷裂缺乏歷史強(qiáng)震數(shù)據(jù)，區(qū)域GPS數(shù)據(jù)結(jié)果顯示該區(qū)域可能處于應(yīng)變積累階段（任金衛(wèi)，王敏，2005）.

圖1 東昆侖斷裂帶東段的幾何結(jié)構(gòu)及塔藏段位置示意圖（引自李正芳等，2012）Fig.1 The geometrical structure schematic diagram of the eastern segment of East Kunlun fault and the location of Tazang segment（after Li et al，2012）

塔藏?cái)嗔盐挥卺荷綇?qiáng)斷隆與甘南強(qiáng)隆區(qū)之間的邊界帶上，為一條全新世活動(dòng)斷裂，斷裂長(zhǎng)度60km，平均水平左旋滑動(dòng)速率為2.7—2.8mm／a（李正芳等，2012）.

東昆侖斷裂帶東部的塔藏段屬于分段明確的斷層源，本研究假定其符合Aki（1984）以及Schwartz和Coppersmith（1984）提出的特征地震模型.特征地震模型中最關(guān)鍵的就是對(duì)平均特征震級(jí)和平均復(fù)發(fā)周期這兩個(gè)參數(shù)的估計(jì).

2.1 平均特征震級(jí)和平均復(fù)發(fā)周期的估計(jì)

對(duì)于東昆侖斷裂帶東部塔藏段的平均特征震級(jí)，本文采用Wells和Coppersmith（1994）給出的走滑型地震的震級(jí)MW－破裂長(zhǎng)度L的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式來(lái)估計(jì)，即

由式（7）計(jì)算得到塔藏段的平均特征震級(jí)ˉMW為7.2.

利用更新模型計(jì)算強(qiáng)震的發(fā)生概率，需要給出特征地震的平均復(fù)發(fā)間隔，也叫重復(fù)周期.由于塔藏段缺少古地震數(shù)據(jù)和大震的同震位錯(cuò)數(shù)據(jù)，本文采用地震矩釋放率法估計(jì)其特征地震的重復(fù)周期（Youngs，Coppersmith，1985）.

若已知活動(dòng)斷裂帶的分段和各段的滑動(dòng)速率，則其平均復(fù)發(fā)間隔為

式中：ˉM0為地震矩，可由特征地震的平均震級(jí)ˉMW確定；˙M0為地震矩釋放率，由斷裂段平均滑動(dòng)速率、斷裂段長(zhǎng)度、斷裂面寬度、地震比例因子等確定.其中地震比例因子是指發(fā)生特征地震的滑動(dòng)占總滑動(dòng)的比例.參照加州概率工作組和美國(guó)地震區(qū)劃圖，本文取地震比例因子為0.9（Frankel et al，2002；Working Group on California Earthquake Probabilities，2003）.

震級(jí)為MW的地震所釋放的地震矩M0可由Hanks和Kanamori（1979）給出的矩震級(jí)－地震矩的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式計(jì)算得到，即

式中地震矩M0的單位為dyn·cm，而本文中地震矩的單位采用的是N·m，在計(jì)算過(guò)程中需要進(jìn)行單位換算.對(duì)于斷層上年平均地震矩釋放率的估計(jì)，一般利用平均滑動(dòng)速率S與斷層發(fā)震面積A的關(guān)系式計(jì)算得到，即

式中：μ為地殼巖石的剪切模量，本文中μ取3.3×1010N／m2；L和W 分別為發(fā)震斷層的長(zhǎng)度和下傾寬度.

當(dāng)沒(méi)有足夠的資料來(lái)確定斷層的下傾寬度時(shí)，可以采用Wells和Coppersmith（1994）給出的走滑斷層下傾寬度與震級(jí)之間的關(guān)系式來(lái)估計(jì)，即

將塔藏段的平均特征震級(jí)7.2代入式（11）中得到走滑斷層下傾寬度W 為15km；再根據(jù)式（10）計(jì)算得到塔藏段的年平均地震矩釋放率˙M0＝8.3×1016N·m／a，去掉10%的蠕滑分量，結(jié)果為˙M0＝7.5×1016N·m／a；最后將˙M0和ˉM0代入式（8）計(jì)算得到塔藏段特征地震的平均重復(fù)周期為1 059年.

2.2 概率模型

本文所選取的更新模型為比較常用的BPT模型（Ellsworth，1999；Matthews et al，2002）.利用BPT模型計(jì)算出塔藏段未來(lái)50年的強(qiáng)震發(fā)生概率，并與泊松模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.

泊松模型的概率密度函數(shù)為f（t）＝λexp－（λt），而未來(lái)ΔT年內(nèi)強(qiáng)震發(fā)生的概率為P＝1－exp（－λΔT）.在泊松分布下，地震復(fù)發(fā)的條件概率與離逝時(shí)間無(wú)關(guān)，其未來(lái)年內(nèi)地震ΔT年發(fā)生率是不變的，等于平均復(fù)發(fā)間隔τ的倒數(shù)（1／τ）.

BPT模型的概率密度函數(shù)為

式中，τ為斷裂段的平均復(fù)發(fā)間隔，α為平均復(fù)發(fā)間隔的變異系數(shù).

Ellsworth等（1999）在分析了37個(gè)地震序列后發(fā)現(xiàn)，α＝0.5可作為活動(dòng)構(gòu)造所有不同震級(jí)的地震序列復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)的估計(jì)值，因此建議α可直接取0.5.Working Group on California Earthquake Probabilities（2003）的研究結(jié)果也表明，盡管在實(shí)際計(jì)算時(shí)采用了對(duì)3個(gè)不同α的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行加權(quán)平均的方式，即α（權(quán)值）為0.3（0.2），0.5（0.5），0.7（0.3），但實(shí)際上α取0.5也能恰當(dāng)?shù)胤从吵鰪?fù)發(fā)間隔的變異性.綜合上述分析，本文中α值取0.5.

2.3 計(jì)算結(jié)果

已知BPT模型的概率密度函數(shù)f（t）和特征地震的平均重復(fù)周期τ，即可利用式（1）計(jì)算得到塔藏段不同離逝時(shí)間T所對(duì)應(yīng)的未來(lái)50年強(qiáng)震發(fā)生的條件概率（圖2）.利用式（6）則可計(jì)算得到塔藏段不同記載完整的平靜期長(zhǎng)度Ts所對(duì)應(yīng)的未來(lái)50年強(qiáng)震發(fā)生的條件概率（圖3）.

圖2 塔藏段離逝時(shí)間T與未來(lái)50年強(qiáng)震發(fā)生概率的關(guān)系Fig.2 The relation between the length of time（T）since last earthquake and the occurrence probability（P）of large earthquakes for a 50-year exposure period on the Tazang fault segment

圖3 塔藏段上平靜期長(zhǎng)度Ts與未來(lái)50年強(qiáng)震發(fā)生概率的關(guān)系Fig.3 The relation between the length of time（Ts）with historical record of quiet and the occurrence probability（P）of large earthquakes for a 50-year exposure period on the Tazang fault segment

本文同時(shí)還給出了利用泊松模型計(jì)算得到的條件概率.通過(guò)兩種類型的比較可知，只有當(dāng)Ts與τ的比值非常小時(shí)，由式（6）計(jì)算得到的條件概率才接近于泊松分布；而當(dāng)Ts接近于2倍的τ時(shí)，條件概率達(dá)到最大，之后開(kāi)始下降.因此，若研究區(qū)內(nèi)有較長(zhǎng)時(shí)間的有確切記載的平靜期，則利用泊松模型估計(jì)強(qiáng)震發(fā)生概率可能會(huì)低估強(qiáng)震發(fā)生的危險(xiǎn)性.

鑒于本文目的僅在于方法性探討，因此僅粗略地估計(jì)了研究區(qū)域M≥7.0地震資料基本完整的起始年.參考中國(guó)大陸分區(qū)地震資料基本完整的起始年分布圖像（黃瑋瓊等，1994），確定塔藏段M≥7.0強(qiáng)震資料基本完整的起始年為1561年.

已知研究區(qū)內(nèi)M≥7.0強(qiáng)震資料完整的起始年為1561年，即研究區(qū)內(nèi)距今已有452年的有確切記載的大震平靜期，因此可利用式（6）計(jì)算得到塔藏段未來(lái)50年強(qiáng)震發(fā)生的條件概率為P（452，50）＝0.064 9，而利用泊松模型計(jì)算得到的條件概率則為0.046 1，其小于更新模型計(jì)算得到的結(jié)果.

3 討論與結(jié)論

本文在更新模型的基礎(chǔ)上，提出一種基于有確切記載的大震平靜期Ts的條件概率計(jì)算方法.該方法解決了更新模型無(wú)法在沒(méi)有歷史大震記載斷層上使用的不足，為強(qiáng)震發(fā)生概率的計(jì)算提供了一種新的選擇.

從本文的計(jì)算結(jié)果可以看出，只有當(dāng)Ts非常小時(shí)，即有確切記載的大震平靜期長(zhǎng)度較短的情況下，使用泊松模型才不會(huì)低估活動(dòng)斷裂的強(qiáng)震發(fā)生概率.

我國(guó)有著悠久的地震史料記載，針對(duì)這些歷史地震資料，特別是強(qiáng)震資料完整性的研究，對(duì)于強(qiáng)震發(fā)生概率的估計(jì)具有重要意義.

本研究旨在提出一種新的發(fā)震概率計(jì)算方法，部分震源參數(shù)的計(jì)算過(guò)程比較簡(jiǎn)單.因此，本文給出的塔藏段未來(lái)50年強(qiáng)震發(fā)生概率僅供參考，要獲得更精確的計(jì)算結(jié)果，尚需進(jìn)行更深入的工作.

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