ai
2014-12-13 23:17:43
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2014年11期
題目呈現(xiàn)
題目？搖 （2014年高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ第17題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.
（1）證明：an+是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式;
（2）證明：++…+≤.
點(diǎn)評(píng) ?此題屬于新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ中解答題的第一題，主要考查了判斷數(shù)列為等比數(shù)列、求通項(xiàng)公式和一邊為常數(shù)的數(shù)列不等式的證明.對(duì)于第（2）問(wèn)，我們往往感到十分困難，利用放縮法將數(shù)列變?yōu)榭梢郧蠛偷臄?shù)列，但放縮方向不明確;利用數(shù)學(xué)歸納法，因n=k+1時(shí)，要通過(guò)++…++≤+證+<顯然不可能，致使解題陷入僵局，耽誤了寶貴的時(shí)間，影響考試成績(jī).
因此aiA，A為常數(shù)）型數(shù)列不等式的證明值得探究，筆者通過(guò)對(duì)本題第（2）問(wèn)試證探討該類型不等式的常用證法，供大家參考.
由第（1）問(wèn)可得an=，故=. 下面證明++…+≤.
解法探究
方案一？搖精巧變形，將通項(xiàng)放縮為可求和數(shù)列
方法1 ?因=，當(dāng)n≥1時(shí)，3n-1=2·3n-1+3n-1-1≥2·3n-1，故=≤，++…+≤1++…+=1-<.
方法2 ?因==，當(dāng)n≥1時(shí)，≤1-<1，故1<≤，≤，即≤，所以++…+≤1++···+=1-<.
評(píng)注 ?方法1、2均采用通項(xiàng)變形進(jìn)行放縮，根據(jù)=的結(jié)構(gòu)，將其放縮為等比數(shù)列，使不能求和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等比數(shù)列求和問(wèn)題.
例1 ?（2004年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第22題）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an+（-1）n.
（1）寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1，a2，a3;
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)m>4，都有++…+<.
分析 ?由（1）（2）可知an=[2n-2+（-1）n-1]（n≥1），從而要證明的不等式就可以化為：+++…+·+·<. 顯然不等式左側(cè)無(wú)法直接求和，此時(shí)應(yīng)先對(duì)不等式左側(cè)每一項(xiàng)放大變形，然后再求和. 考慮到左邊通項(xiàng)中含有（-1）m-1，為了便于確定符號(hào)，易于放縮，我們要對(duì)m的奇偶性進(jìn)行討論，同時(shí)對(duì)相鄰兩項(xiàng)之和+進(jìn)行放大變形. 事實(shí)上，當(dāng)m（m≥2）為奇數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=+，這樣放大后，便能求和了. 由上分析，當(dāng)m（m>4）為奇數(shù)時(shí)，<+++…++=+++…+=-<;當(dāng)m（m>4）為偶數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=·+，故=+++…+<+++…+=-<.證畢.
方案二 ?利用遞推，迭代放縮
方法3 ?由條件a1=1及an+1=3an+1可知：an>0且=，所以0<<=·，故<·<2·<…評(píng)注 ?方法3充分利用已知條件an+1=3an+1放縮，使遞推關(guān)系變?yōu)榭梢赃M(jìn)行迭代的遞推不等式.
例2 ?已知函數(shù)f（x）=，x∈（0，+∞），數(shù)列{xn}滿足xn+1=f（xn）（n∈N？鄢），x1=1. 設(shè)an=xn-，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn<.
分析 ?由已知，an+1=xn+1-=f（xn）-=-==（-1）·. 又xn>0，故xn+1>1，所以an+1<（-1）xn-，即an+1<（-1）an. 故an<（-1）an-1<（-1）2an-2<…<（-1）n-1a1=（-1）n，亦即an<（-1）n. 從而Sn<-1+（-1）2+…+（-1）n=[1-（-1）n]<=. 證畢.
方案三 ?利用數(shù)學(xué)歸納法尋找加強(qiáng)命題過(guò)渡
由于數(shù)列不等式與正整數(shù)有關(guān)，所以，“數(shù)學(xué)歸納法”常常成為數(shù)列不等式證明的首選辦法.但是，一些數(shù)列不等式，尤其一邊是常數(shù)的數(shù)列不等式，直接利用“數(shù)學(xué)歸納法”卻行不通，而需要先對(duì)其進(jìn)行放縮以證明它的“加強(qiáng)不等式”，它是證明數(shù)列不等式的一種有效辦法，筆者通過(guò)此題說(shuō)明數(shù)列不等式問(wèn)題從哪里“強(qiáng)”、如何“強(qiáng)”、“強(qiáng)”到什么程度做一些探討.
方法4 ?假設(shè)加強(qiáng)命題為++…+≤-g（n），則g（n）應(yīng)同時(shí)滿足三個(gè)條件：g（n）>0 ①;≤-g（1），即g（1）≤ ②;假設(shè)n=k時(shí)，++…+≤-g（k）成立，則n=k+1時(shí)，需要證明++…++≤-g（k+1）. 利用歸納假設(shè)，++…++≤-g（k）+成立，因此只需說(shuō)明-g（k）+≤-g（k+1），即g（k+1）-g（k）+≤0，即g（k+1）-g（k）+≤0③. 根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)，從利于運(yùn)算的角度出發(fā)，設(shè)g（k）=，由①，a>0;由②，a≤1;由③得≤，故1+≤=3+，即≤2+，所以≤2，即a≥1，綜上，a=1.
這樣，我們就找到證明++…+<成立的加強(qiáng)命題：++…+≤-. 由以上分析，利用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題成立即可，這種方法雖然較為煩瑣，但卻有很強(qiáng)的普適性.
例3 ?證明1++…+<.
分析 ?根據(jù)方法4，利用數(shù)學(xué)歸納法探尋加強(qiáng)命題的方法，假設(shè)其加強(qiáng)命題為1++…+≤-f（n），則f（n）需要滿足三個(gè)條件：f（n）>0， f（1）≤， f（k+1）-f（k）+≤0，通項(xiàng)中的核心是2n，可設(shè)f（k）=，則由三個(gè)條件可得a>0，a≥，a≤，故a=. 令a=，利用數(shù)學(xué)歸納法證明1++…+<-成立，又因-<即可證明原命題成立，詳細(xì)過(guò)程不再贅述.
？搖？搖評(píng)注 ?通過(guò)加強(qiáng)命題證明的兩例，我們不難看出，利用加強(qiáng)命題操作性強(qiáng)，通性通法. 在條件f（k+1）-f（k）+≤0的使用上，我們利用恒成立解出a的取值范圍，其實(shí)也可以利用存在性加以證明，由f（k+1）-f（k）+≤0可得a≤1-，則a≤1，那么結(jié)合f（n）>0， f（1）≤得到的a≥，可知≤a≤1，這里，再用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，我們就要注意從第幾項(xiàng)開(kāi)始，也就是歸納奠基的初始值問(wèn)題. 如果取a=，則令≤1-，則確保使不等式成立最小的k=2，那么利用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，初始值就要取2，即當(dāng)n=1時(shí)，-=-=>1成立，當(dāng)n=2時(shí)，-=>1+=成立，假設(shè)n=k…endprint
題目呈現(xiàn)
題目？搖 （2014年高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ第17題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.
（1）證明：an+是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式;
（2）證明：++…+≤.
點(diǎn)評(píng) ?此題屬于新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ中解答題的第一題，主要考查了判斷數(shù)列為等比數(shù)列、求通項(xiàng)公式和一邊為常數(shù)的數(shù)列不等式的證明.對(duì)于第（2）問(wèn)，我們往往感到十分困難，利用放縮法將數(shù)列變?yōu)榭梢郧蠛偷臄?shù)列，但放縮方向不明確;利用數(shù)學(xué)歸納法，因n=k+1時(shí)，要通過(guò)++…++≤+證+<顯然不可能，致使解題陷入僵局，耽誤了寶貴的時(shí)間，影響考試成績(jī).
因此aiA，A為常數(shù)）型數(shù)列不等式的證明值得探究，筆者通過(guò)對(duì)本題第（2）問(wèn)試證探討該類型不等式的常用證法，供大家參考.
由第（1）問(wèn)可得an=，故=. 下面證明++…+≤.
解法探究
方案一？搖精巧變形，將通項(xiàng)放縮為可求和數(shù)列
方法1 ?因=，當(dāng)n≥1時(shí)，3n-1=2·3n-1+3n-1-1≥2·3n-1，故=≤，++…+≤1++…+=1-<.
方法2 ?因==，當(dāng)n≥1時(shí)，≤1-<1，故1<≤，≤，即≤，所以++…+≤1++···+=1-<.
評(píng)注 ?方法1、2均采用通項(xiàng)變形進(jìn)行放縮，根據(jù)=的結(jié)構(gòu)，將其放縮為等比數(shù)列，使不能求和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等比數(shù)列求和問(wèn)題.
例1 ?（2004年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第22題）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an+（-1）n.
（1）寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1，a2，a3;
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)m>4，都有++…+<.
分析 ?由（1）（2）可知an=[2n-2+（-1）n-1]（n≥1），從而要證明的不等式就可以化為：+++…+·+·<. 顯然不等式左側(cè)無(wú)法直接求和，此時(shí)應(yīng)先對(duì)不等式左側(cè)每一項(xiàng)放大變形，然后再求和. 考慮到左邊通項(xiàng)中含有（-1）m-1，為了便于確定符號(hào)，易于放縮，我們要對(duì)m的奇偶性進(jìn)行討論，同時(shí)對(duì)相鄰兩項(xiàng)之和+進(jìn)行放大變形. 事實(shí)上，當(dāng)m（m≥2）為奇數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=+，這樣放大后，便能求和了. 由上分析，當(dāng)m（m>4）為奇數(shù)時(shí)，<+++…++=+++…+=-<;當(dāng)m（m>4）為偶數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=·+，故=+++…+<+++…+=-<.證畢.
方案二 ?利用遞推，迭代放縮
方法3 ?由條件a1=1及an+1=3an+1可知：an>0且=，所以0<<=·，故<·<2·<…評(píng)注 ?方法3充分利用已知條件an+1=3an+1放縮，使遞推關(guān)系變?yōu)榭梢赃M(jìn)行迭代的遞推不等式.
例2 ?已知函數(shù)f（x）=，x∈（0，+∞），數(shù)列{xn}滿足xn+1=f（xn）（n∈N？鄢），x1=1. 設(shè)an=xn-，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn<.
分析 ?由已知，an+1=xn+1-=f（xn）-=-==（-1）·. 又xn>0，故xn+1>1，所以an+1<（-1）xn-，即an+1<（-1）an. 故an<（-1）an-1<（-1）2an-2<…<（-1）n-1a1=（-1）n，亦即an<（-1）n. 從而Sn<-1+（-1）2+…+（-1）n=[1-（-1）n]<=. 證畢.
方案三 ?利用數(shù)學(xué)歸納法尋找加強(qiáng)命題過(guò)渡
由于數(shù)列不等式與正整數(shù)有關(guān)，所以，“數(shù)學(xué)歸納法”常常成為數(shù)列不等式證明的首選辦法.但是，一些數(shù)列不等式，尤其一邊是常數(shù)的數(shù)列不等式，直接利用“數(shù)學(xué)歸納法”卻行不通，而需要先對(duì)其進(jìn)行放縮以證明它的“加強(qiáng)不等式”，它是證明數(shù)列不等式的一種有效辦法，筆者通過(guò)此題說(shuō)明數(shù)列不等式問(wèn)題從哪里“強(qiáng)”、如何“強(qiáng)”、“強(qiáng)”到什么程度做一些探討.
方法4 ?假設(shè)加強(qiáng)命題為++…+≤-g（n），則g（n）應(yīng)同時(shí)滿足三個(gè)條件：g（n）>0 ①;≤-g（1），即g（1）≤ ②;假設(shè)n=k時(shí)，++…+≤-g（k）成立，則n=k+1時(shí)，需要證明++…++≤-g（k+1）. 利用歸納假設(shè)，++…++≤-g（k）+成立，因此只需說(shuō)明-g（k）+≤-g（k+1），即g（k+1）-g（k）+≤0，即g（k+1）-g（k）+≤0③. 根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)，從利于運(yùn)算的角度出發(fā)，設(shè)g（k）=，由①，a>0;由②，a≤1;由③得≤，故1+≤=3+，即≤2+，所以≤2，即a≥1，綜上，a=1.
這樣，我們就找到證明++…+<成立的加強(qiáng)命題：++…+≤-. 由以上分析，利用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題成立即可，這種方法雖然較為煩瑣，但卻有很強(qiáng)的普適性.
例3 ?證明1++…+<.
分析 ?根據(jù)方法4，利用數(shù)學(xué)歸納法探尋加強(qiáng)命題的方法，假設(shè)其加強(qiáng)命題為1++…+≤-f（n），則f（n）需要滿足三個(gè)條件：f（n）>0， f（1）≤， f（k+1）-f（k）+≤0，通項(xiàng)中的核心是2n，可設(shè)f（k）=，則由三個(gè)條件可得a>0，a≥，a≤，故a=. 令a=，利用數(shù)學(xué)歸納法證明1++…+<-成立，又因-<即可證明原命題成立，詳細(xì)過(guò)程不再贅述.
？搖？搖評(píng)注 ?通過(guò)加強(qiáng)命題證明的兩例，我們不難看出，利用加強(qiáng)命題操作性強(qiáng)，通性通法. 在條件f（k+1）-f（k）+≤0的使用上，我們利用恒成立解出a的取值范圍，其實(shí)也可以利用存在性加以證明，由f（k+1）-f（k）+≤0可得a≤1-，則a≤1，那么結(jié)合f（n）>0， f（1）≤得到的a≥，可知≤a≤1，這里，再用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，我們就要注意從第幾項(xiàng)開(kāi)始，也就是歸納奠基的初始值問(wèn)題. 如果取a=，則令≤1-，則確保使不等式成立最小的k=2，那么利用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，初始值就要取2，即當(dāng)n=1時(shí)，-=-=>1成立，當(dāng)n=2時(shí)，-=>1+=成立，假設(shè)n=k…endprint
題目呈現(xiàn)
題目？搖 （2014年高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ第17題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.
（1）證明：an+是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式;
（2）證明：++…+≤.
點(diǎn)評(píng) ?此題屬于新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ中解答題的第一題，主要考查了判斷數(shù)列為等比數(shù)列、求通項(xiàng)公式和一邊為常數(shù)的數(shù)列不等式的證明.對(duì)于第（2）問(wèn)，我們往往感到十分困難，利用放縮法將數(shù)列變?yōu)榭梢郧蠛偷臄?shù)列，但放縮方向不明確;利用數(shù)學(xué)歸納法，因n=k+1時(shí)，要通過(guò)++…++≤+證+<顯然不可能，致使解題陷入僵局，耽誤了寶貴的時(shí)間，影響考試成績(jī).
因此aiA，A為常數(shù)）型數(shù)列不等式的證明值得探究，筆者通過(guò)對(duì)本題第（2）問(wèn)試證探討該類型不等式的常用證法，供大家參考.
由第（1）問(wèn)可得an=，故=. 下面證明++…+≤.
解法探究
方案一？搖精巧變形，將通項(xiàng)放縮為可求和數(shù)列
方法1 ?因=，當(dāng)n≥1時(shí)，3n-1=2·3n-1+3n-1-1≥2·3n-1，故=≤，++…+≤1++…+=1-<.
方法2 ?因==，當(dāng)n≥1時(shí)，≤1-<1，故1<≤，≤，即≤，所以++…+≤1++···+=1-<.
評(píng)注 ?方法1、2均采用通項(xiàng)變形進(jìn)行放縮，根據(jù)=的結(jié)構(gòu)，將其放縮為等比數(shù)列，使不能求和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等比數(shù)列求和問(wèn)題.
例1 ?（2004年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第22題）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an+（-1）n.
（1）寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1，a2，a3;
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)m>4，都有++…+<.
分析 ?由（1）（2）可知an=[2n-2+（-1）n-1]（n≥1），從而要證明的不等式就可以化為：+++…+·+·<. 顯然不等式左側(cè)無(wú)法直接求和，此時(shí)應(yīng)先對(duì)不等式左側(cè)每一項(xiàng)放大變形，然后再求和. 考慮到左邊通項(xiàng)中含有（-1）m-1，為了便于確定符號(hào)，易于放縮，我們要對(duì)m的奇偶性進(jìn)行討論，同時(shí)對(duì)相鄰兩項(xiàng)之和+進(jìn)行放大變形. 事實(shí)上，當(dāng)m（m≥2）為奇數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=+，這樣放大后，便能求和了. 由上分析，當(dāng)m（m>4）為奇數(shù)時(shí)，<+++…++=+++…+=-<;當(dāng)m（m>4）為偶數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=·+，故=+++…+<+++…+=-<.證畢.
方案二 ?利用遞推，迭代放縮
方法3 ?由條件a1=1及an+1=3an+1可知：an>0且=，所以0<<=·，故<·<2·<…評(píng)注 ?方法3充分利用已知條件an+1=3an+1放縮，使遞推關(guān)系變?yōu)榭梢赃M(jìn)行迭代的遞推不等式.
例2 ?已知函數(shù)f（x）=，x∈（0，+∞），數(shù)列{xn}滿足xn+1=f（xn）（n∈N？鄢），x1=1. 設(shè)an=xn-，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn<.
分析 ?由已知，an+1=xn+1-=f（xn）-=-==（-1）·. 又xn>0，故xn+1>1，所以an+1<（-1）xn-，即an+1<（-1）an. 故an<（-1）an-1<（-1）2an-2<…<（-1）n-1a1=（-1）n，亦即an<（-1）n. 從而Sn<-1+（-1）2+…+（-1）n=[1-（-1）n]<=. 證畢.
方案三 ?利用數(shù)學(xué)歸納法尋找加強(qiáng)命題過(guò)渡
由于數(shù)列不等式與正整數(shù)有關(guān)，所以，“數(shù)學(xué)歸納法”常常成為數(shù)列不等式證明的首選辦法.但是，一些數(shù)列不等式，尤其一邊是常數(shù)的數(shù)列不等式，直接利用“數(shù)學(xué)歸納法”卻行不通，而需要先對(duì)其進(jìn)行放縮以證明它的“加強(qiáng)不等式”，它是證明數(shù)列不等式的一種有效辦法，筆者通過(guò)此題說(shuō)明數(shù)列不等式問(wèn)題從哪里“強(qiáng)”、如何“強(qiáng)”、“強(qiáng)”到什么程度做一些探討.
方法4 ?假設(shè)加強(qiáng)命題為++…+≤-g（n），則g（n）應(yīng)同時(shí)滿足三個(gè)條件：g（n）>0 ①;≤-g（1），即g（1）≤ ②;假設(shè)n=k時(shí)，++…+≤-g（k）成立，則n=k+1時(shí)，需要證明++…++≤-g（k+1）. 利用歸納假設(shè)，++…++≤-g（k）+成立，因此只需說(shuō)明-g（k）+≤-g（k+1），即g（k+1）-g（k）+≤0，即g（k+1）-g（k）+≤0③. 根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)，從利于運(yùn)算的角度出發(fā)，設(shè)g（k）=，由①，a>0;由②，a≤1;由③得≤，故1+≤=3+，即≤2+，所以≤2，即a≥1，綜上，a=1.
這樣，我們就找到證明++…+<成立的加強(qiáng)命題：++…+≤-. 由以上分析，利用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題成立即可，這種方法雖然較為煩瑣，但卻有很強(qiáng)的普適性.
例3 ?證明1++…+<.
分析 ?根據(jù)方法4，利用數(shù)學(xué)歸納法探尋加強(qiáng)命題的方法，假設(shè)其加強(qiáng)命題為1++…+≤-f（n），則f（n）需要滿足三個(gè)條件：f（n）>0， f（1）≤， f（k+1）-f（k）+≤0，通項(xiàng)中的核心是2n，可設(shè)f（k）=，則由三個(gè)條件可得a>0，a≥，a≤，故a=. 令a=，利用數(shù)學(xué)歸納法證明1++…+<-成立，又因-<即可證明原命題成立，詳細(xì)過(guò)程不再贅述.
？搖？搖評(píng)注 ?通過(guò)加強(qiáng)命題證明的兩例，我們不難看出，利用加強(qiáng)命題操作性強(qiáng)，通性通法. 在條件f（k+1）-f（k）+≤0的使用上，我們利用恒成立解出a的取值范圍，其實(shí)也可以利用存在性加以證明，由f（k+1）-f（k）+≤0可得a≤1-，則a≤1，那么結(jié)合f（n）>0， f（1）≤得到的a≥，可知≤a≤1，這里，再用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，我們就要注意從第幾項(xiàng)開(kāi)始，也就是歸納奠基的初始值問(wèn)題. 如果取a=，則令≤1-，則確保使不等式成立最小的k=2，那么利用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，初始值就要取2，即當(dāng)n=1時(shí)，-=-=>1成立，當(dāng)n=2時(shí)，-=>1+=成立，假設(shè)n=k…endprint
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2014-12-13 23:17:43
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2014年11期
題目呈現(xiàn)
題目？搖 （2014年高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ第17題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.
（1）證明：an+是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式;
（2）證明：++…+≤.
點(diǎn)評(píng) ?此題屬于新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ中解答題的第一題，主要考查了判斷數(shù)列為等比數(shù)列、求通項(xiàng)公式和一邊為常數(shù)的數(shù)列不等式的證明.對(duì)于第（2）問(wèn)，我們往往感到十分困難，利用放縮法將數(shù)列變?yōu)榭梢郧蠛偷臄?shù)列，但放縮方向不明確;利用數(shù)學(xué)歸納法，因n=k+1時(shí)，要通過(guò)++…++≤+證+<顯然不可能，致使解題陷入僵局，耽誤了寶貴的時(shí)間，影響考試成績(jī).
因此ai
由第（1）問(wèn)可得an=，故=. 下面證明++…+≤.
解法探究
方案一？搖精巧變形，將通項(xiàng)放縮為可求和數(shù)列
方法1 ?因=，當(dāng)n≥1時(shí)，3n-1=2·3n-1+3n-1-1≥2·3n-1，故=≤，++…+≤1++…+=1-<.
方法2 ?因==，當(dāng)n≥1時(shí)，≤1-<1，故1<≤，≤，即≤，所以++…+≤1++···+=1-<.
評(píng)注 ?方法1、2均采用通項(xiàng)變形進(jìn)行放縮，根據(jù)=的結(jié)構(gòu)，將其放縮為等比數(shù)列，使不能求和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等比數(shù)列求和問(wèn)題.
例1 ?（2004年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第22題）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an+（-1）n.
（1）寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1，a2，a3;
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)m>4，都有++…+<.
分析 ?由（1）（2）可知an=[2n-2+（-1）n-1]（n≥1），從而要證明的不等式就可以化為：+++…+·+·<. 顯然不等式左側(cè)無(wú)法直接求和，此時(shí)應(yīng)先對(duì)不等式左側(cè)每一項(xiàng)放大變形，然后再求和. 考慮到左邊通項(xiàng)中含有（-1）m-1，為了便于確定符號(hào)，易于放縮，我們要對(duì)m的奇偶性進(jìn)行討論，同時(shí)對(duì)相鄰兩項(xiàng)之和+進(jìn)行放大變形. 事實(shí)上，當(dāng)m（m≥2）為奇數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=+，這樣放大后，便能求和了. 由上分析，當(dāng)m（m>4）為奇數(shù)時(shí)，<+++…++=+++…+=-<;當(dāng)m（m>4）為偶數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=·+，故=+++…+<+++…+=-<.證畢.
方案二 ?利用遞推，迭代放縮
方法3 ?由條件a1=1及an+1=3an+1可知：an>0且=，所以0<<=·，故<·<2·<… 評(píng)注 ?方法3充分利用已知條件an+1=3an+1放縮，使遞推關(guān)系變?yōu)榭梢赃M(jìn)行迭代的遞推不等式. 例2 ?已知函數(shù)f（x）=，x∈（0，+∞），數(shù)列{xn}滿足xn+1=f（xn）（n∈N？鄢），x1=1. 設(shè)an=xn-，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn<. 分析 ?由已知，an+1=xn+1-=f（xn）-=-==（-1）·. 又xn>0，故xn+1>1，所以an+1<（-1）xn-，即an+1<（-1）an. 故an<（-1）an-1<（-1）2an-2<…<（-1）n-1a1=（-1）n，亦即an<（-1）n. 從而Sn<-1+（-1）2+…+（-1）n=[1-（-1）n]<=. 證畢. 方案三 ?利用數(shù)學(xué)歸納法尋找加強(qiáng)命題過(guò)渡 由于數(shù)列不等式與正整數(shù)有關(guān)，所以，“數(shù)學(xué)歸納法”常常成為數(shù)列不等式證明的首選辦法.但是，一些數(shù)列不等式，尤其一邊是常數(shù)的數(shù)列不等式，直接利用“數(shù)學(xué)歸納法”卻行不通，而需要先對(duì)其進(jìn)行放縮以證明它的“加強(qiáng)不等式”，它是證明數(shù)列不等式的一種有效辦法，筆者通過(guò)此題說(shuō)明數(shù)列不等式問(wèn)題從哪里“強(qiáng)”、如何“強(qiáng)”、“強(qiáng)”到什么程度做一些探討. 方法4 ?假設(shè)加強(qiáng)命題為++…+≤-g（n），則g（n）應(yīng)同時(shí)滿足三個(gè)條件：g（n）>0 ①;≤-g（1），即g（1）≤ ②;假設(shè)n=k時(shí)，++…+≤-g（k）成立，則n=k+1時(shí)，需要證明++…++≤-g（k+1）. 利用歸納假設(shè)，++…++≤-g（k）+成立，因此只需說(shuō)明-g（k）+≤-g（k+1），即g（k+1）-g（k）+≤0，即g（k+1）-g（k）+≤0③. 根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)，從利于運(yùn)算的角度出發(fā)，設(shè)g（k）=，由①，a>0;由②，a≤1;由③得≤，故1+≤=3+，即≤2+，所以≤2，即a≥1，綜上，a=1. 這樣，我們就找到證明++…+<成立的加強(qiáng)命題：++…+≤-. 由以上分析，利用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題成立即可，這種方法雖然較為煩瑣，但卻有很強(qiáng)的普適性. 例3 ?證明1++…+<. 分析 ?根據(jù)方法4，利用數(shù)學(xué)歸納法探尋加強(qiáng)命題的方法，假設(shè)其加強(qiáng)命題為1++…+≤-f（n），則f（n）需要滿足三個(gè)條件：f（n）>0， f（1）≤， f（k+1）-f（k）+≤0，通項(xiàng)中的核心是2n，可設(shè)f（k）=，則由三個(gè)條件可得a>0，a≥，a≤，故a=. 令a=，利用數(shù)學(xué)歸納法證明1++…+<-成立，又因-<即可證明原命題成立，詳細(xì)過(guò)程不再贅述. ？搖？搖評(píng)注 ?通過(guò)加強(qiáng)命題證明的兩例，我們不難看出，利用加強(qiáng)命題操作性強(qiáng)，通性通法. 在條件f（k+1）-f（k）+≤0的使用上，我們利用恒成立解出a的取值范圍，其實(shí)也可以利用存在性加以證明，由f（k+1）-f（k）+≤0可得a≤1-，則a≤1，那么結(jié)合f（n）>0， f（1）≤得到的a≥，可知≤a≤1，這里，再用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，我們就要注意從第幾項(xiàng)開(kāi)始，也就是歸納奠基的初始值問(wèn)題. 如果取a=，則令≤1-，則確保使不等式成立最小的k=2，那么利用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，初始值就要取2，即當(dāng)n=1時(shí)，-=-=>1成立，當(dāng)n=2時(shí)，-=>1+=成立，假設(shè)n=k…endprint 題目呈現(xiàn) 題目？搖 （2014年高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ第17題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1. （1）證明：an+是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式; （2）證明：++…+≤. 點(diǎn)評(píng) ?此題屬于新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ中解答題的第一題，主要考查了判斷數(shù)列為等比數(shù)列、求通項(xiàng)公式和一邊為常數(shù)的數(shù)列不等式的證明.對(duì)于第（2）問(wèn)，我們往往感到十分困難，利用放縮法將數(shù)列變?yōu)榭梢郧蠛偷臄?shù)列，但放縮方向不明確;利用數(shù)學(xué)歸納法，因n=k+1時(shí)，要通過(guò)++…++≤+證+<顯然不可能，致使解題陷入僵局，耽誤了寶貴的時(shí)間，影響考試成績(jī). 因此ai 由第（1）問(wèn)可得an=，故=. 下面證明++…+≤. 解法探究 方案一？搖精巧變形，將通項(xiàng)放縮為可求和數(shù)列 方法1 ?因=，當(dāng)n≥1時(shí)，3n-1=2·3n-1+3n-1-1≥2·3n-1，故=≤，++…+≤1++…+=1-<. 方法2 ?因==，當(dāng)n≥1時(shí)，≤1-<1，故1<≤，≤，即≤，所以++…+≤1++···+=1-<. 評(píng)注 ?方法1、2均采用通項(xiàng)變形進(jìn)行放縮，根據(jù)=的結(jié)構(gòu)，將其放縮為等比數(shù)列，使不能求和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等比數(shù)列求和問(wèn)題. 例1 ?（2004年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第22題）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an+（-1）n. （1）寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1，a2，a3; （2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; （3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)m>4，都有++…+<. 分析 ?由（1）（2）可知an=[2n-2+（-1）n-1]（n≥1），從而要證明的不等式就可以化為：+++…+·+·<. 顯然不等式左側(cè)無(wú)法直接求和，此時(shí)應(yīng)先對(duì)不等式左側(cè)每一項(xiàng)放大變形，然后再求和. 考慮到左邊通項(xiàng)中含有（-1）m-1，為了便于確定符號(hào)，易于放縮，我們要對(duì)m的奇偶性進(jìn)行討論，同時(shí)對(duì)相鄰兩項(xiàng)之和+進(jìn)行放大變形. 事實(shí)上，當(dāng)m（m≥2）為奇數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=+，這樣放大后，便能求和了. 由上分析，當(dāng)m（m>4）為奇數(shù)時(shí)，<+++…++=+++…+=-<;當(dāng)m（m>4）為偶數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=·+，故=+++…+<+++…+=-<.證畢. 方案二 ?利用遞推，迭代放縮 方法3 ?由條件a1=1及an+1=3an+1可知：an>0且=，所以0<<=·，故<·<2·<… 評(píng)注 ?方法3充分利用已知條件an+1=3an+1放縮，使遞推關(guān)系變?yōu)榭梢赃M(jìn)行迭代的遞推不等式. 例2 ?已知函數(shù)f（x）=，x∈（0，+∞），數(shù)列{xn}滿足xn+1=f（xn）（n∈N？鄢），x1=1. 設(shè)an=xn-，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn<. 分析 ?由已知，an+1=xn+1-=f（xn）-=-==（-1）·. 又xn>0，故xn+1>1，所以an+1<（-1）xn-，即an+1<（-1）an. 故an<（-1）an-1<（-1）2an-2<…<（-1）n-1a1=（-1）n，亦即an<（-1）n. 從而Sn<-1+（-1）2+…+（-1）n=[1-（-1）n]<=. 證畢. 方案三 ?利用數(shù)學(xué)歸納法尋找加強(qiáng)命題過(guò)渡 由于數(shù)列不等式與正整數(shù)有關(guān)，所以，“數(shù)學(xué)歸納法”常常成為數(shù)列不等式證明的首選辦法.但是，一些數(shù)列不等式，尤其一邊是常數(shù)的數(shù)列不等式，直接利用“數(shù)學(xué)歸納法”卻行不通，而需要先對(duì)其進(jìn)行放縮以證明它的“加強(qiáng)不等式”，它是證明數(shù)列不等式的一種有效辦法，筆者通過(guò)此題說(shuō)明數(shù)列不等式問(wèn)題從哪里“強(qiáng)”、如何“強(qiáng)”、“強(qiáng)”到什么程度做一些探討. 方法4 ?假設(shè)加強(qiáng)命題為++…+≤-g（n），則g（n）應(yīng)同時(shí)滿足三個(gè)條件：g（n）>0 ①;≤-g（1），即g（1）≤ ②;假設(shè)n=k時(shí)，++…+≤-g（k）成立，則n=k+1時(shí)，需要證明++…++≤-g（k+1）. 利用歸納假設(shè)，++…++≤-g（k）+成立，因此只需說(shuō)明-g（k）+≤-g（k+1），即g（k+1）-g（k）+≤0，即g（k+1）-g（k）+≤0③. 根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)，從利于運(yùn)算的角度出發(fā)，設(shè)g（k）=，由①，a>0;由②，a≤1;由③得≤，故1+≤=3+，即≤2+，所以≤2，即a≥1，綜上，a=1. 這樣，我們就找到證明++…+<成立的加強(qiáng)命題：++…+≤-. 由以上分析，利用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題成立即可，這種方法雖然較為煩瑣，但卻有很強(qiáng)的普適性. 例3 ?證明1++…+<. 分析 ?根據(jù)方法4，利用數(shù)學(xué)歸納法探尋加強(qiáng)命題的方法，假設(shè)其加強(qiáng)命題為1++…+≤-f（n），則f（n）需要滿足三個(gè)條件：f（n）>0， f（1）≤， f（k+1）-f（k）+≤0，通項(xiàng)中的核心是2n，可設(shè)f（k）=，則由三個(gè)條件可得a>0，a≥，a≤，故a=. 令a=，利用數(shù)學(xué)歸納法證明1++…+<-成立，又因-<即可證明原命題成立，詳細(xì)過(guò)程不再贅述. ？搖？搖評(píng)注 ?通過(guò)加強(qiáng)命題證明的兩例，我們不難看出，利用加強(qiáng)命題操作性強(qiáng)，通性通法. 在條件f（k+1）-f（k）+≤0的使用上，我們利用恒成立解出a的取值范圍，其實(shí)也可以利用存在性加以證明，由f（k+1）-f（k）+≤0可得a≤1-，則a≤1，那么結(jié)合f（n）>0， f（1）≤得到的a≥，可知≤a≤1，這里，再用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，我們就要注意從第幾項(xiàng)開(kāi)始，也就是歸納奠基的初始值問(wèn)題. 如果取a=，則令≤1-，則確保使不等式成立最小的k=2，那么利用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，初始值就要取2，即當(dāng)n=1時(shí)，-=-=>1成立，當(dāng)n=2時(shí)，-=>1+=成立，假設(shè)n=k…endprint 題目呈現(xiàn) 題目？搖 （2014年高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ第17題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1. （1）證明：an+是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式; （2）證明：++…+≤. 點(diǎn)評(píng) ?此題屬于新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ中解答題的第一題，主要考查了判斷數(shù)列為等比數(shù)列、求通項(xiàng)公式和一邊為常數(shù)的數(shù)列不等式的證明.對(duì)于第（2）問(wèn)，我們往往感到十分困難，利用放縮法將數(shù)列變?yōu)榭梢郧蠛偷臄?shù)列，但放縮方向不明確;利用數(shù)學(xué)歸納法，因n=k+1時(shí)，要通過(guò)++…++≤+證+<顯然不可能，致使解題陷入僵局，耽誤了寶貴的時(shí)間，影響考試成績(jī). 因此ai 由第（1）問(wèn)可得an=，故=. 下面證明++…+≤. 解法探究 方案一？搖精巧變形，將通項(xiàng)放縮為可求和數(shù)列 方法1 ?因=，當(dāng)n≥1時(shí)，3n-1=2·3n-1+3n-1-1≥2·3n-1，故=≤，++…+≤1++…+=1-<. 方法2 ?因==，當(dāng)n≥1時(shí)，≤1-<1，故1<≤，≤，即≤，所以++…+≤1++···+=1-<. 評(píng)注 ?方法1、2均采用通項(xiàng)變形進(jìn)行放縮，根據(jù)=的結(jié)構(gòu)，將其放縮為等比數(shù)列，使不能求和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等比數(shù)列求和問(wèn)題. 例1 ?（2004年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第22題）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an+（-1）n. （1）寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1，a2，a3; （2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; （3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)m>4，都有++…+<. 分析 ?由（1）（2）可知an=[2n-2+（-1）n-1]（n≥1），從而要證明的不等式就可以化為：+++…+·+·<. 顯然不等式左側(cè)無(wú)法直接求和，此時(shí)應(yīng)先對(duì)不等式左側(cè)每一項(xiàng)放大變形，然后再求和. 考慮到左邊通項(xiàng)中含有（-1）m-1，為了便于確定符號(hào)，易于放縮，我們要對(duì)m的奇偶性進(jìn)行討論，同時(shí)對(duì)相鄰兩項(xiàng)之和+進(jìn)行放大變形. 事實(shí)上，當(dāng)m（m≥2）為奇數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=+，這樣放大后，便能求和了. 由上分析，當(dāng)m（m>4）為奇數(shù)時(shí)，<+++…++=+++…+=-<;當(dāng)m（m>4）為偶數(shù)時(shí)，+=·+=·≤·=·+，故=+++…+<+++…+=-<.證畢. 方案二 ?利用遞推，迭代放縮 方法3 ?由條件a1=1及an+1=3an+1可知：an>0且=，所以0<<=·，故<·<2·<… 評(píng)注 ?方法3充分利用已知條件an+1=3an+1放縮，使遞推關(guān)系變?yōu)榭梢赃M(jìn)行迭代的遞推不等式. 例2 ?已知函數(shù)f（x）=，x∈（0，+∞），數(shù)列{xn}滿足xn+1=f（xn）（n∈N？鄢），x1=1. 設(shè)an=xn-，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn<. 分析 ?由已知，an+1=xn+1-=f（xn）-=-==（-1）·. 又xn>0，故xn+1>1，所以an+1<（-1）xn-，即an+1<（-1）an. 故an<（-1）an-1<（-1）2an-2<…<（-1）n-1a1=（-1）n，亦即an<（-1）n. 從而Sn<-1+（-1）2+…+（-1）n=[1-（-1）n]<=. 證畢. 方案三 ?利用數(shù)學(xué)歸納法尋找加強(qiáng)命題過(guò)渡 由于數(shù)列不等式與正整數(shù)有關(guān)，所以，“數(shù)學(xué)歸納法”常常成為數(shù)列不等式證明的首選辦法.但是，一些數(shù)列不等式，尤其一邊是常數(shù)的數(shù)列不等式，直接利用“數(shù)學(xué)歸納法”卻行不通，而需要先對(duì)其進(jìn)行放縮以證明它的“加強(qiáng)不等式”，它是證明數(shù)列不等式的一種有效辦法，筆者通過(guò)此題說(shuō)明數(shù)列不等式問(wèn)題從哪里“強(qiáng)”、如何“強(qiáng)”、“強(qiáng)”到什么程度做一些探討. 方法4 ?假設(shè)加強(qiáng)命題為++…+≤-g（n），則g（n）應(yīng)同時(shí)滿足三個(gè)條件：g（n）>0 ①;≤-g（1），即g（1）≤ ②;假設(shè)n=k時(shí)，++…+≤-g（k）成立，則n=k+1時(shí)，需要證明++…++≤-g（k+1）. 利用歸納假設(shè)，++…++≤-g（k）+成立，因此只需說(shuō)明-g（k）+≤-g（k+1），即g（k+1）-g（k）+≤0，即g（k+1）-g（k）+≤0③. 根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)，從利于運(yùn)算的角度出發(fā)，設(shè)g（k）=，由①，a>0;由②，a≤1;由③得≤，故1+≤=3+，即≤2+，所以≤2，即a≥1，綜上，a=1. 這樣，我們就找到證明++…+<成立的加強(qiáng)命題：++…+≤-. 由以上分析，利用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題成立即可，這種方法雖然較為煩瑣，但卻有很強(qiáng)的普適性. 例3 ?證明1++…+<. 分析 ?根據(jù)方法4，利用數(shù)學(xué)歸納法探尋加強(qiáng)命題的方法，假設(shè)其加強(qiáng)命題為1++…+≤-f（n），則f（n）需要滿足三個(gè)條件：f（n）>0， f（1）≤， f（k+1）-f（k）+≤0，通項(xiàng)中的核心是2n，可設(shè)f（k）=，則由三個(gè)條件可得a>0，a≥，a≤，故a=. 令a=，利用數(shù)學(xué)歸納法證明1++…+<-成立，又因-<即可證明原命題成立，詳細(xì)過(guò)程不再贅述. ？搖？搖評(píng)注 ?通過(guò)加強(qiáng)命題證明的兩例，我們不難看出，利用加強(qiáng)命題操作性強(qiáng)，通性通法. 在條件f（k+1）-f（k）+≤0的使用上，我們利用恒成立解出a的取值范圍，其實(shí)也可以利用存在性加以證明，由f（k+1）-f（k）+≤0可得a≤1-，則a≤1，那么結(jié)合f（n）>0， f（1）≤得到的a≥，可知≤a≤1，這里，再用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，我們就要注意從第幾項(xiàng)開(kāi)始，也就是歸納奠基的初始值問(wèn)題. 如果取a=，則令≤1-，則確保使不等式成立最小的k=2，那么利用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，初始值就要取2，即當(dāng)n=1時(shí)，-=-=>1成立，當(dāng)n=2時(shí)，-=>1+=成立，假設(shè)n=k…endprint
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