吳 梵，張 二，劉 勇

（1海軍工程大學 艦船工程系，武漢 430033；2中船重工 第七一九研究所，武漢 430033）

1 引 言

隨著環(huán)肋圓柱殼艙段長度的增加，艙壁對艙段內(nèi)殼板的支撐作用減弱，環(huán)肋圓柱殼的艙段穩(wěn)定性逐漸變差。對于艙段長度L與耐壓殼半徑R之比超過5的長艙段，艙段失穩(wěn)臨界壓力是制約艙段結構設計的一個重點問題。工程上常通過設置框架肋骨來解決這一問題。有關學者[1-5]已對框架肋骨對艙段失穩(wěn)臨界壓力的影響情況予以相應的分析研究，得出框架肋骨對長艙段理論失穩(wěn)臨界壓力的影響規(guī)律，并對理論計算方法進行了一定的探討，但對理論計算公式的適用范圍和修正方法尚未作深入的分析研究，缺乏工程上簡單適用的判斷方法和修正手段。

本文從現(xiàn)有理論出發(fā)，推導出帶有一根框架肋骨的長艙段框架肋骨臨界剛度的理論計算公式；利用ANSYS有限元軟件，建立有限元模型，得到帶有一根框架肋骨的長艙段失穩(wěn)臨界壓力的數(shù)值解；分析失穩(wěn)臨界壓力理論值與有限元值之間的誤差以及影響因素，并以有限元值為基準值，引入修正系數(shù)，修正失穩(wěn)臨界壓力的理論計算公式，并提出框架肋骨臨界剛度的計算方法。

2 帶有一根框架肋骨艙段總體穩(wěn)定性理論分析

框架肋骨的設置，對于肋間殼板局部穩(wěn)定性的影響較小。隨著框架肋骨剛度的增加，艙段失穩(wěn)的波形也有所不同，大概分為以下幾種[6]：

（1）當普通肋骨剛度超過其臨界剛度，在均勻外壓力作用下，肋骨間的殼板將首先失穩(wěn)。此時普通肋骨作為殼板的剛性支撐，框架肋骨對肋間殼板失穩(wěn)沒有產(chǎn)生影響；

（2）當普通肋骨剛度小于其臨界剛度，只有框架肋骨剛度超過臨界剛度時，普通肋骨將連同殼板一起在橫艙壁與框架肋骨之間失穩(wěn)；

（3）當框架肋骨剛度小于其臨界剛度時，框架肋骨將連同殼板和普通肋骨一起，發(fā)生失穩(wěn)。

從以上分析可以看出，框架肋骨臨界剛度的確定，對于艙段失穩(wěn)的分析至關重要。下面從艙段失穩(wěn)臨界壓力的理論計算公式出發(fā)，確定框架肋骨的臨界剛度。

圖1為帶有一根框架肋骨的長艙段結構示意圖。

圖1 艙段結構示意圖Fig.1 Cabin structure

2.1 框架肋骨臨界剛度分析

若框架肋骨小于其臨界剛度，則發(fā)生框架肋骨失穩(wěn)，此時帶有一根框架肋骨的環(huán)肋圓柱殼理論失穩(wěn)臨界壓力的計算公式為[7]：

式中：m、n取值使得PE最小，D為殼板抗彎剛度，J為框架肋骨慣性矩，I為普通肋骨慣性矩，t為殼板厚度，a為框架肋骨距最近艙壁一端的距離，α=πR/L。（1）式中，第1、2、3項分別表示殼板抗彎、殼板抗壓以及肋骨抗彎對艙段穩(wěn)定性的貢獻，第4項則表示框架肋骨超出普通肋骨慣性矩部分對艙段穩(wěn)定性的貢獻。

若框架肋骨剛度大于其臨界剛度，則發(fā)生普通肋骨失穩(wěn)，此時框架肋骨提供剛性支撐，起到艙壁的作用，框架肋骨右（或左）邊較長艙段的理論失穩(wěn)臨界壓力為：

式中：α=πR/（L-a）。

若框架肋骨剛度恰為其臨界剛度，此時艙段的整體失穩(wěn)既可能為普通肋骨失穩(wěn)模式，也可能為框架肋骨失穩(wěn)模式。令

則可求得框架肋骨臨界剛度的表達式為：

式中：mr為使得PEr最小的縱向半波數(shù)；nr為使得PEr最小的周向半波數(shù)；mZ為使得PEz最小的縱向半波數(shù)；nZ為使得PEz最小的周向半波數(shù)；Rk為計及帶板寬度為2l的框架肋骨中和軸的半徑；αr=πR/

框架肋骨臨界剛度的確定，對于判定帶框架肋骨艙段的失穩(wěn)模態(tài)具有重要意義，可為工程上框架肋骨的剖面設計起指導作用。

3 帶有一根框架肋骨長艙段的有限元分析

框架肋骨對于長艙段穩(wěn)定性的影響，通過理論分析可以得到較為客觀的規(guī)律性結論，而通過有限元分析則可以得到更加全面、相對準確的規(guī)律性結果。本章通過特征值屈曲分析方法，計算艙段有限元模型的失穩(wěn)臨界壓力，探討框架肋骨臨界剛度的作用機理，并對理論計算公式的準確性與適用性進行討論。

3.1 模型建立

采用線彈性材料，彈性模量E=2.1×105MPa，泊松比μ=0.3。殼體與肋骨均采用ANSYS中的shell181單元，單元總量為97 560。右端邊界條件約束x、y、z方向，而左端則只約束x、y方向，放松z方向。在殼板單元上施加計算壓力Pc=6.75 MPa，在模型左端邊界節(jié)點施加載荷為P=2.945 2 MN。采用參數(shù)化建模，具體參考數(shù)據(jù)如下：

所建有限元模型如圖2所示。

圖2 有限元模型Fig.2 The finite element model

3.2 框架肋骨位置變化對理論失穩(wěn)臨界壓力的影響

采用ANSYS特征值屈曲分析方法進行穩(wěn)定性計算。為檢驗理論公式的準確性以及適用范圍，在建模時，將框架肋骨從圖1跨中向兩邊移動，計算框架肋骨在艙段不同部位時艙段總體失穩(wěn)臨界壓力。表1所列即為相應位置處的艙段失穩(wěn)臨界壓力。

表1 框架肋骨有限元失穩(wěn)臨界壓力隨框架肋骨位置變化情況Tab.1 Critical buckling pressure of all-round frame vary with its location

圖3 框架肋骨有限元失穩(wěn)臨界壓力隨框架肋骨位置變化情況Fig.3 Critical buckling pressure of all-round frame vary with its location

由表1可見，在框架肋骨截面尺寸不變的情況下，艙段總體失穩(wěn)臨界壓力隨框架肋骨在艙段內(nèi)位置的變化而變化；框架肋骨位置越靠近艙段中點，框架肋骨對艙段總體穩(wěn)定性的貢獻越大，艙段總體失穩(wěn)臨界壓力越大；當框架肋骨位于艙段正中時，艙段失穩(wěn)臨界壓力達到最大。

3.3 框架肋骨剛度變化對理論失穩(wěn)臨界壓力的影響

改變框架肋骨剛度，艙段失穩(wěn)的模式有可能發(fā)生改變，失穩(wěn)臨界壓力隨著框架肋骨慣性矩的改變而改變。下表所列為所建模型中，為避免首先發(fā)生肋間殼板失穩(wěn)，將殼板厚度調(diào)整為t/R=0.01，框架肋骨位于艙段正中不動。隨著框架肋骨剛度的改變，艙段理論失穩(wěn)臨界壓力的變化情況如表2所示。

表2 框架肋骨失穩(wěn)臨界壓力隨其剛度變化情況Tab.2 Critical buckling pressure of all-round frame vary with its rigidity

圖4 框架肋骨失穩(wěn)臨界壓力與失穩(wěn)模式隨其剛度變化情況Fig.4 Critical buckling pressure of all-round frame vary with its rigidity

從圖4可以看出，隨著框架肋骨剛度的增加，艙段的縱向失穩(wěn)波數(shù)，由1增加到2，表明框架肋骨隨著自身剛度的增加，所起的支撐作用逐漸加強；艙段失穩(wěn)臨界壓力隨著框架肋骨剛度的增加而增加，當框架肋骨達到一定程度即臨界剛度后，艙段失穩(wěn)臨界壓力基本不再隨框架肋骨剛度的增加而增加；當框架肋骨的剛度超過其臨界剛度時，框架肋骨在艙段總體失穩(wěn)中起到艙壁作用，此時艙段縱向總體失穩(wěn)波數(shù)從框架肋骨失穩(wěn)時的1變?yōu)榭蚣芾吖遣皇Х€(wěn)時的2。

4 帶有一根框架肋骨的長艙段理論計算結果與有限元結果誤差分析

對于帶有一根框架肋骨的長艙段，其失穩(wěn)臨界壓力理論計算公式的精確度，對于環(huán)肋圓柱殼設計的安全性具有重要的影響。本文以有限元計算的結果為參照數(shù)據(jù)，分析理論計算結果與有限元值之間誤差的影響因素，并引入修正系數(shù)，對理論計算公式進行修正，以得到相對精確的理論計算公式。

對于帶有一根框架肋骨的長艙段，理論計算公式有（1）、（2）兩個，經(jīng)過大量有限元模型計算可知，框架肋骨未起到分艙作用的所有模型其一階失穩(wěn)模態(tài)縱向失穩(wěn)波數(shù)均為1，框架肋骨起到分艙作用的所有模型其一階失穩(wěn)模態(tài)縱向失穩(wěn)波數(shù)均為2，此時框架肋骨一側的縱向失穩(wěn)波數(shù)也為1。由此可知（1）式中 m=1，（2）式中 m=1。因此公式（1）、（2）可表達為：

4.1 框架肋骨位置對于誤差的影響

艙段有限元模型基本尺寸同3.1節(jié)，調(diào)整普通肋骨剛度為I=7.7e8 mm4，框架肋骨剛度為J=1.1e10 mm4。當框架肋骨位置在艙段內(nèi)變化時，艙段失穩(wěn)臨界壓力理論值與有限元值的比較及誤差見表3和圖5。表中，絕對誤差=有限元值-理論值，誤差=絕對誤差/有限元值。

表3 誤差隨框架肋骨位置變化情況Tab.3 Error vary with all-round frame’s location

圖5 框架肋骨位置對誤差的影響情況Fig.5 Effect of all-round frame to error

從圖5中可以看出，總體上，艙段失穩(wěn)臨界壓力理論值比有限元值低，兩者之間存在誤差，且誤差隨框架肋骨位置的變化而變化；從曲線走勢可以看出，誤差與框架肋骨位置參數(shù)a之間關系呈非線性，較為復雜；總體上，框架肋骨偏離艙段中點越大，誤差值相應亦越大，說明框架肋骨對于艙段總體穩(wěn)定性貢獻在理論公式中描述的準確性越差，框架肋骨偏離艙段中點越小，誤差相應亦越小，框架肋骨對于艙段總體穩(wěn)定性的貢獻在理論公式中描述的準確性越好；在本次樣本數(shù)據(jù)中，框架肋骨位于a/L=0.38時誤差取得最小值，表明此時理論公式對于框架肋骨提高穩(wěn)定性的貢獻度的描述最準確；框架肋骨位置在艙段中點左右20%長度范圍內(nèi)變化時，理論值的誤差都在6%以內(nèi)。

4.2 框架肋骨慣性矩對于誤差的影響

模型基本尺寸同3.1節(jié)，此時框架肋骨處于艙段正中。改變框架肋骨的慣性矩，比較有限元計算結果與理論計算結果之間誤差隨框架肋骨慣性矩的變化情況，如表4和圖6、7所示。

表4 誤差隨框架肋骨剛度變化情況Tab.4 Error vary with all-round frame’s rigidity

圖6 框架肋骨剛度對誤差的影響情況Fig.6 Effect of all-round frame’s rigidity to error

從圖6中可以看出，隨著框架肋骨剛度的不斷增加，艙段失穩(wěn)臨界壓力也在逐漸的增大，當框架肋骨的剛度超過某一臨界值時，艙段失穩(wěn)臨界壓力隨框架肋骨剛度增加的變化率逐漸減小，直至基本為0；理論值隨框架肋骨剛度的增長速度大于有限元值相應的增長速度，表明理論公式中框架肋骨在艙段穩(wěn)定性的貢獻度中所占成分相較于有限元模型中的相應成分偏大，兩條曲線存在交點；當框架肋骨剛度較小時，有限元值大于理論值，當框架肋骨的剛度超過兩條曲線的交點后，有限元值小于理論值；理論計算結果同有限元計算結果之間的誤差，隨框架肋骨剛度的變化而變化；對于處于艙段中部的框架肋骨，當框架肋骨的剛度小于其臨界剛度時，理論計算結果同有限元值之間的誤差隨框架肋骨剛度的增大而減小，當框架肋骨的剛度大于其臨界剛度時，誤差隨框架肋骨剛度的增大有微弱變化，變化幅度不大。

4.3 殼板厚度變化對于誤差的影響

根據(jù)框架肋骨是否起到分艙作用，分為a、b兩組。分別討論殼板厚度的變化對誤差的影響。

（a）模型基本尺寸同3.1節(jié)所述，普通肋骨調(diào)整為I=8.7e8，此時框架肋骨未起到分艙作用。

表5 分艙前誤差隨殼板厚度變化情況Tab.5 Error vary with t before cabin division

（b）模型基本尺寸同3.1節(jié)所述，普通肋骨調(diào)整為I=2.4e8，此時框架肋骨起到分艙作用。

表6 分艙后誤差隨殼板厚度變化情況Tab.6 Error vary with t after cabin division

從圖7、8中可以看出，失穩(wěn)臨界壓力隨殼板厚度呈線性變化；分艙前，理論值相較于有限元值偏小，分艙后，理論值相較于有限元值偏大，理論值隨殼板厚度的變化率大于有限元值隨殼板厚度的變化率，這表明理論計算中，殼板厚度的增加對于艙段穩(wěn)定性的提高比重相對較大，而有限元計算時，殼板厚度的增加對艙段穩(wěn)定性的提高比重則相對較?。焕碚撚嬎憬Y果與有限元值之間的誤差隨殼板厚度的增大而增大；誤差與殼板厚度之間近似呈線性關系。

圖7 分艙前殼板厚度對誤差的影響情況Fig.7 Effect of t to error before cabin division

圖8 分艙后殼板厚度對誤差的影響情況Fig.8 Effect of t to error after cabin division

4.4 肋骨間距對于誤差的影響

根據(jù)框架肋骨是否起到分艙作用，分為a、b兩組。分別討論肋骨間距變化對誤差的影響。

（a）模型基本尺寸同3.1節(jié)所述，調(diào)整艙段長度L/R=6.384，普通肋骨調(diào)整為I0=1.831 9e8（不計及帶板），此時框架肋骨未起到分艙作用。

表7 分艙前誤差隨肋骨間距變化情況Tab.7 Error vary with l before cabin division

（b）模型基本尺寸同3.1節(jié)所述，調(diào)整艙段長度L/R=6.384，普通肋骨調(diào)整為I0=7.792 9e7（不計及帶板），框架肋骨調(diào)整為J0=1.160 4e10，此時框架肋骨起到分艙作用。

表8 分艙后誤差隨框架肋骨間距變化情況Tab.8 Error vary with l after cabin division

圖9 分艙前肋骨間距對誤差的影響情況Fig.9 Effect of l to error before cabin division

圖10 分艙后肋骨間距對誤差的影響情況Fig.10 Effect of l to error after cabin division

從圖9、10中可以看出，肋骨間距與有限元值基本呈線性關系，且有限元值隨著肋骨間距的增大而減??；肋骨間距的變化主要影響肋骨帶板寬度的取值，導致肋骨帶板慣性矩取值的正確性，進而影響理論值的大小，圖中個別肋骨間距的取值使得理論值與有限元值之間的誤差較大，原因在于理論計算時肋骨帶板寬度的取值不當，造成肋骨帶板慣性矩偏大，進而引起較大的誤差；誤差隨肋骨間距的變化規(guī)律不呈線性。

5 長艙段失穩(wěn)臨界壓力理論計算結果誤差修正

5.1 框架肋骨影響因素的修正

對于帶有框架肋骨的長艙段，框架肋骨的截面設計與位置選擇是整個設計的核心。因此，在修正理論計算公式時，先修正框架肋骨帶來的影響。表9中所建模型基本尺寸同3.1節(jié)所述，第一列為框架肋骨剛度J的變化情況，第一行為框架肋骨位置參數(shù)a/L的變化情況，其余即為理論值與有限元值之間的誤差。

表9 誤差隨框架肋骨截面參數(shù)變化情況表Tab.9 Error vary with all-round frame’s sectional parameters

續(xù)表9

從圖11中可以看出，在框架肋骨起到分艙作用前，理論失穩(wěn)臨界壓力與有限元值之間的誤差，隨框架肋骨慣性矩的增大基本呈線性變化；當框架肋骨超過其臨界剛度而起到分艙作用時，誤差基本不隨框架肋骨慣性矩的變化而變化；從表9中可以看出，框架肋骨越靠近艙段中部，框架肋骨的臨界剛度越小，當框架肋骨在艙段中部時，其對于臨界剛度的要求達到最小，此時框架肋骨最容易達到其設計要求。

表9中所列誤差是各影響因素綜合作用下產(chǎn)生的，誤差的變化是因為其中某些因素的變化引起的?，F(xiàn)引入修正參數(shù)k1=k1（a/L，J/I），其中k1是位置參數(shù)a/L與框架肋骨與普通肋骨剛度之比J/I的函數(shù)，其插值情況如表10所示。

圖11 誤差隨框架肋骨慣性矩與位置變化情況Fig.11 Error vary with all-round frame’s J and location

表10 修正系數(shù)k1 插值表Tab.10 Correction factor k1

續(xù)表10

對于不在本次樣本數(shù)據(jù)之內(nèi)的點，則采用三次樣條插值的方法進行計算得到。

5.2 殼板厚度影響因素的修正

殼板厚度作為影響理論失穩(wěn)臨界壓力與有限元值之間誤差的一個影響因素，考慮到其變化幅度較小的實際，可采取梯度消除法，即Δt～Δdt，在相應的厚度區(qū)間內(nèi)，一定量的厚度變化對應著一定量的誤差變化。消除厚度帶來的影響，可引入修正系數(shù)

式中：Δdt=dt（t1）-dt（t2）。dt=dt（t）為誤差—厚度函數(shù)，具體值則從表11通過三次樣條插值得到。

表11 誤差隨殼板厚度變化情況Tab.11 Error vary with t

5.3 肋骨間距影響因素的修正

肋骨間距主要影響普通肋骨在整個艙段抵抗失穩(wěn)中的貢獻度，其對于理論失穩(wěn)臨界壓力與有限元值之間誤差的影響較小，因此依然可采用梯度消除法，引入修正系數(shù)

式中：Δdl=dl（l1）-dl（l2）。dl=dl（l）為誤差—肋距函數(shù)。 具體值則從表12通過三次樣條插值得到。

表12 誤差隨肋骨間距變化情況Tab.12 Error vary with l

從表12中可以看出，框架肋骨在分艙前后，肋骨間距均有一定的適用范圍，在該范圍內(nèi)，理論失穩(wěn)臨界壓力與有限元值之間的誤差相對較小，而超過該值后，誤差會發(fā)生劇變。

5.4 理論計算公式的修正

考慮各影響因素對于理論失穩(wěn)臨界壓力與有限元值之間誤差的影響，引入各修正系數(shù)，理論計算公式修正如下：

框架肋骨未起到分艙作用：

框架肋骨起到分艙作用：

對于一個新尺寸的艙段結構，用公式（6）和公式（7）分別進行計算，取其中的較小者作為艙段總體失穩(wěn)臨界壓力，并判斷帶有框架肋骨的長艙段的失穩(wěn)模式。

若需求某艙段框架肋骨的臨界剛度，則采用二分法。具體流程見圖12，其中δ為精度要求。

圖12 框架肋骨臨界剛度求解流程圖Fig.12 Flow chart of revolution of all-round frame critical J

5.5 算例檢驗

算例一：現(xiàn)取L/R=6.24，l=600 mm，t/R=0.007，框架肋骨為J=1.4e10 mm4，普通肋骨為6.6e8。其計算過程如下：

（1）當 a/L=0.5 時，將結構參數(shù)分別代入公式（1）、（2），得到 PEZ＞PEr，可知此時框架肋骨未起到分艙作用。

（2）計算框架肋骨與普通肋骨慣性矩比值J/I=21.068 9，將該值與a/L=0.5同時代入表10插值得到修正系數(shù)k1=0.957 9。

（3）然后將肋骨間距l(xiāng)、殼板厚度t分別代入表12、13，插值得到修正系數(shù)kt=0.014、kl=0.032 5。

（4）計算得到修正系數(shù)，kl=0.911 4。

（5）此時艙段失穩(wěn)臨界壓力PE=k×PEZ=11.522 8 MPa。

（6）調(diào)整a/L分別為0.307、0.365、0.403和0.422，重復以上五個步驟，即可得到框架肋骨位于艙段不同位置時對應的艙段失穩(wěn)臨界壓力。

算例二：基本尺寸同算例一，調(diào)整框架肋骨為J=2.6e10，普通肋骨為3.4e8，重復算例一中的六個步驟，此時框架肋骨起到分艙作用。計算結果見表13。

表13 理論公式修正前后誤差比較Tab.13 Comparison of theoretical expression’s error before and after correction

續(xù)表13

圖13 理論公式修正后檢驗Fig.13 Check of theoretical expression after correction

從表13可以看出，通過修正系數(shù)k修正后，理論計算結果同有限元計算結果之間的誤差有較大幅度的減小，基本控制在5%范圍內(nèi)；從圖13可以看出，理論公式經(jīng)過修正后，其與有限元值之間的誤差，比規(guī)范值與有限元值之間的誤差小得多，表明本次理論公式的修正具有一定的實際意義。

現(xiàn)設計艙段算例尺寸如表14所示，此時框架肋骨位于艙段中點不動。采用算例一中的計算方法，檢驗理論公式修正的準確性。

表14 各工況尺寸設計Tab.14 Design of several conditions

由表15中數(shù)據(jù)可以看出，算例三、四，修正后理論計算值較規(guī)范值更接近有限元值，而算例五、六則不然，這主要是因為本文中修正系數(shù)k數(shù)據(jù)庫不完全，當艙段尺寸變化過大，超出修正系數(shù)k建立的數(shù)據(jù)庫后，理論公式的修正效果不理想。因此，修正系數(shù)k在使用時，需考慮艙段尺寸是否在其所建立的數(shù)據(jù)庫內(nèi)。

表15 理論公式修正后誤差檢驗Tab.15 Check of error after theoretical expression correction

5 結 論

經(jīng)過理論推導與有限元修正，主要得到以下幾點結論：

（1）本文推導框架肋骨臨界剛度的計算公式，給出了依據(jù)艙段尺寸確定框架肋骨臨界剛度的計算方法。

（2）通過ANSYS建立有限元模型分析艙段失穩(wěn)臨界壓力，指出現(xiàn)行艙段失穩(wěn)臨界壓力計算公式存在一定的適用范圍；比較分析了艙段失穩(wěn)臨界壓力理論值與有限元值之間的誤差影響因素以及各因素對誤差的影響規(guī)律。

（3）以艙段失穩(wěn)壓力有限元值為基準值，引入修正系數(shù)k，對艙段失穩(wěn)壓力理論計算公式進行修正。采用幾個不同的算例檢驗修正后的理論計算公式，指出經(jīng)修正后的理論計算公式的適用范圍與修正系數(shù)k的樣本數(shù)據(jù)庫有關。

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