張懷亮 鄒佰文 肖 雷

中南大學(xué)，長沙，410083

0 引言

機(jī)械設(shè)備在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的磨粒群包含豐富的摩擦磨損信息，對(duì)磨粒群特征進(jìn)行提取，可用于設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷。研究表明，磨粒群在一定尺度上表現(xiàn)出分形特性，傳統(tǒng)基于歐氏幾何的參數(shù)無法準(zhǔn)確描述磨粒群特征［1－2］。分形維數(shù)是表征磨粒群分形特性的一個(gè)重要參數(shù)，因而提高磨粒群分形維數(shù)的計(jì)算精度，對(duì)于磨粒群特征的提取和設(shè)備磨損狀態(tài)監(jiān)測有重要意義。由于產(chǎn)生機(jī)制復(fù)雜，磨粒群的分形自相似特性是近似或統(tǒng)計(jì)意義上的，即在一定尺度范圍內(nèi)的自相似，這個(gè)尺度范圍即稱為無標(biāo)度區(qū)，在無標(biāo)度區(qū)外討論磨粒群的分形特性沒有意義，因此，無標(biāo)度區(qū)的準(zhǔn)確辨識(shí)是磨粒群分形維數(shù)計(jì)算中必須解決的關(guān)鍵問題之一。

辨識(shí)無標(biāo)度區(qū)的常用方法有以下幾類：①基于r～N（r）（尺度～測度）雙對(duì)數(shù)曲線的人工識(shí)別法［3］；②基于r～N（r）點(diǎn)對(duì)相關(guān)性檢驗(yàn)的排序逼近法［4－8］；③基于三折線、曲線－直線－曲線、反 S等模型的模型擬合法［9－11］。人工識(shí)別法主觀性強(qiáng)，排序逼近法在r～N（r）點(diǎn)對(duì)較多時(shí)計(jì)算量很大且較易出現(xiàn)局部最優(yōu)，模型擬合法在模型的選取方面缺乏理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)有一定局限性。因而，Yang等［12］利用無標(biāo)度區(qū)一階導(dǎo)數(shù)近似不變的特點(diǎn)提出應(yīng)用聚類分析理論辨識(shí)無標(biāo)度區(qū)的算法；Ji等［13］在此基礎(chǔ)上結(jié)合K－means和點(diǎn)斜率誤差法提高了算法的精度；王成棟等［14］根據(jù)無標(biāo)度區(qū)二階導(dǎo)數(shù)在0附近波動(dòng)的特點(diǎn)提出了一種自動(dòng)辨識(shí)方法，這類利用r～N（r）雙對(duì)數(shù)曲線導(dǎo)數(shù)特點(diǎn)的辨識(shí)算法幾何意義明確，計(jì)算量較小，但大多對(duì)初始值敏感，容易出現(xiàn)局部最優(yōu)，可能導(dǎo)致辨識(shí)出來的無標(biāo)度區(qū)雖然相關(guān)性檢驗(yàn)參數(shù)符合要求，但并不是完整的無標(biāo)度區(qū)，甚至不在真實(shí)無標(biāo)度區(qū)內(nèi)，即無標(biāo)度區(qū)的局部最優(yōu)。本文結(jié)合模擬退火和K－means算法對(duì)雙對(duì)數(shù)曲線的一階、二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行全局聚類，可有效避免陷入局部最優(yōu)，從而提高磨粒群分形維數(shù)的計(jì)算精度。

1 磨粒群分形維數(shù)計(jì)算理論

磨粒群分散于設(shè)備的潤滑油中，通過鐵譜儀可將潤滑油樣中的磨粒群分離出來，制成鐵譜片，經(jīng)鐵譜顯微鏡拍照成像，得到磨粒群的圖像（圖1a），原始圖像背景復(fù)雜，通過背景去噪、閾值分割等圖像預(yù)處理過程，得到磨粒群的二值圖像（圖1b），磨粒群分形維數(shù)的計(jì)算過程基于其二值圖像。實(shí)際應(yīng)用中，為保證狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)的可比性，獲取磨粒群圖片時(shí)應(yīng)遵守同樣的取樣倍數(shù)及視場選取規(guī)范。

分形維數(shù)的定義包括相似維、Hausdorff維、信息維、計(jì)盒維數(shù)等多種，其中，計(jì)盒維數(shù)（boxcounting dimension）由于其物理意義明確，便于程序化計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于圖像分形特征的表征。計(jì)盒維數(shù)的計(jì)算原理如下：將邊長為r的方形網(wǎng)格覆蓋所需測量的圖形，測算與圖形重疊的網(wǎng)格數(shù)目為測度N（r），不斷改變網(wǎng)格邊長，重復(fù)上述過程，得到一組不同尺度r下的測度N（r），那么計(jì)盒維數(shù)即為

圖1 磨粒群原始圖像及二值圖像

根據(jù)計(jì)盒維數(shù)的定義，磨粒群分形維數(shù)計(jì)算的一般過程如下：假設(shè)磨粒群圖像的分辨率為M×M，以邊長為r個(gè)像素的網(wǎng)格不斷覆蓋磨粒群圖像并統(tǒng)計(jì)重疊網(wǎng)格數(shù)目N（r），其中r的取值范圍為｛r｜1≤r＜ M／2，r＝1，2，4，…，2n｝［15］，根據(jù)r～N（r）點(diǎn)對(duì)序列繪出雙對(duì)數(shù)曲線，將曲線中的直線部分作為無標(biāo)度區(qū)間，在無標(biāo)度區(qū)間內(nèi)對(duì)r～N（r）點(diǎn)對(duì)進(jìn)行線性回歸，取分形維數(shù)D＝－α，其中α為回歸直線的斜率。

在磨粒群分形維數(shù)的計(jì)算過程中，無標(biāo)度區(qū)的辨識(shí)結(jié)果直接影響磨粒群分形維數(shù)的計(jì)算精度，辨識(shí)出來的無標(biāo)度區(qū)若出現(xiàn)偏離、過短或過長等誤差，會(huì)導(dǎo)致無法正確評(píng)估磨粒群的分形維數(shù)。而應(yīng)用已有的無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)方法計(jì)算磨粒群的分形維數(shù)時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)局部最優(yōu)的現(xiàn)象，如圖2所示。圖2中的數(shù)據(jù)點(diǎn)為磨粒群圖像（圖1）應(yīng)用計(jì)盒維數(shù)算法得到的r～N（r）點(diǎn)對(duì)，A、B、C、D 4個(gè)區(qū)為不同的無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)結(jié)果，其中，A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)數(shù)據(jù)點(diǎn)的線性相關(guān)系數(shù)均大于0.99，D區(qū)為0.97，將D區(qū)作為無標(biāo)度區(qū)不嚴(yán)格，C區(qū)lnN（r）幾乎為定值，即分形維數(shù)為0，顯然不合理，B區(qū)雖然相關(guān)性符合要求，但長度太短，A區(qū)是較合理的無標(biāo)度區(qū)。相對(duì)于A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)為無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)過程中出現(xiàn)的兩種典型的局部最優(yōu)情況，即辨識(shí)結(jié)果雖在真實(shí)無標(biāo)度區(qū)內(nèi)，但長度過短和偏離真實(shí)無標(biāo)度區(qū)，4個(gè)區(qū)內(nèi)計(jì)算分形維數(shù)的結(jié)果為1.650、1.603、0.011、1.723，差異很大，所以，無標(biāo)度區(qū)的準(zhǔn)確辨識(shí)是磨粒群分形維數(shù)計(jì)算的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

圖2 無標(biāo)度辨識(shí)中的局部最優(yōu)

2 分形無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)新算法

為避免無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)算法陷入局部最優(yōu)，將K－means聚類算法與全局搜索算法模擬退火算法相結(jié)合，從r～N（r）雙對(duì)數(shù)曲線中準(zhǔn)確辨識(shí)磨粒群無標(biāo)度區(qū)。

2.1 模擬退火K－means算法

K－means算法是一種基于距離的聚類算法，該算法以距離為相似性指標(biāo)，將觀察對(duì)象分為k類［16］?；具^程如下：首先從研究對(duì)象中隨機(jī)選擇k個(gè)對(duì)象作為聚類中心，其余的對(duì)象根據(jù)它們到聚類中心的距離劃分到最近的聚類。然后，以各聚類中所有對(duì)象的平均值作為新的聚類中心，重復(fù)上述劃分過程，直到準(zhǔn)則函數(shù)收斂。應(yīng)用K－means算法對(duì)雙對(duì)數(shù)曲線的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行聚類，可分離出無標(biāo)度區(qū)，但是從K－means的聚類過程可以看出，算法對(duì)初始聚類中心的選擇依賴很大，初始聚類中心選擇不當(dāng)，可能出現(xiàn)局部最優(yōu)，將它應(yīng)用到磨粒群無標(biāo)度區(qū)的識(shí)別可能會(huì)出現(xiàn)無標(biāo)度區(qū)過短等現(xiàn)象。

模擬退火算法是由Kirkpatrick提出的一種啟發(fā)式、隨機(jī)優(yōu)化算法［17］。該算法與初始值無關(guān)，算法求得的解與初始解狀態(tài)無關(guān)，具有漸近收斂性，已在理論上被證明是一種以概率1收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法。因而，利用模擬退火算法能夠彌補(bǔ)K－means算法依賴初始聚類中心的缺點(diǎn)，跳出局部最優(yōu)。

模擬退火K－means算法以K－means聚類的結(jié)果作為模擬退火算法的初始解，通過隨機(jī)改變聚類中某個(gè)元素的類別產(chǎn)生新解，目標(biāo)函數(shù)為當(dāng)前聚類劃分的總類間離散度：

模擬退火K－means算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）將數(shù)據(jù)樣本的K－means聚類結(jié)果作為初始解w，根據(jù)式（2）計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值Jw。

（2）初始化溫度t0，t0＝Jw，初始化退火速度a和最大退火次數(shù)。

（3）在某一溫度t，迭代進(jìn)行步驟（4）～ 步驟（6），直到最大迭代次數(shù)跳到步驟（7）。

（4）通過隨機(jī)改變一個(gè)聚類樣本的當(dāng)前所屬類別產(chǎn)生新解w′，計(jì)算新的目標(biāo)函數(shù)值J′w。

（5）判斷J′w是否為最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，若是，則保存聚類劃分w′為最優(yōu)聚類劃分、J′w為最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值；否則跳到下一步。

（6）計(jì)算新的目標(biāo)函數(shù)值與當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值的差ΔJ。判斷ΔJ是否小于0：若ΔJ＜0，則接受新解，即將新解作為當(dāng)前解；若ΔJ≥0，則根據(jù)Metropolis準(zhǔn) 則，以 概 率 p（p ＝ eΔJ／（kt））接 受新解。

（7）判斷是否達(dá)到最大退火次數(shù)，若是則結(jié)束算法，輸出最優(yōu)聚類劃分；否則對(duì)溫度t進(jìn)行退火，返回步驟（3）繼續(xù)迭代。

2.2 無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)新算法

在計(jì)算磨粒群分形維數(shù)時(shí)，辨識(shí)無標(biāo)度區(qū)可簡化為提取r～N（r）雙對(duì)數(shù)曲線的直線部分。由于直線的一階導(dǎo)數(shù)是常數(shù)，不隨自變量的改變而變化，而曲線的一階導(dǎo)數(shù)隨著自變量改變而變化，直線的二階導(dǎo)數(shù)為0，曲線的二階導(dǎo)數(shù)不為0，利用這個(gè)性質(zhì)，可以通過雙對(duì)數(shù)曲線的一階、二階導(dǎo)數(shù)特點(diǎn)識(shí)別出曲線的線性部分，作為無標(biāo)度區(qū)。實(shí)際計(jì)算得到的并不是連續(xù)的曲線，而是離散的r～N（r）點(diǎn)對(duì)序列，因而定義雙對(duì)數(shù)曲線的一階、二階局部導(dǎo)數(shù)分別為

理論上，無標(biāo)度區(qū)內(nèi)點(diǎn)的一階局部導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，但磨粒群并不是完全理想的分形圖形，所以實(shí)際計(jì)算中，無標(biāo)度區(qū)內(nèi)點(diǎn)的一階局部導(dǎo)數(shù)在一個(gè)常數(shù)附近做微小波動(dòng)，而無標(biāo)度區(qū)外點(diǎn)的波動(dòng)幅度較大；無標(biāo)度區(qū)內(nèi)點(diǎn)的二階局部導(dǎo)數(shù)在0附近作微小波動(dòng)，而無標(biāo)度區(qū)外的點(diǎn)偏離0較遠(yuǎn)。因而，應(yīng)用模擬退火K－means算法對(duì)雙對(duì)數(shù)的一階局部導(dǎo)數(shù)聚類，分離出無標(biāo)度區(qū)的大致范圍，對(duì)其二階局部導(dǎo)數(shù)聚類，辨識(shí)出無標(biāo)度區(qū)的準(zhǔn)確區(qū)間。磨粒群分形無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)的新算法如下：

首先，應(yīng)用模擬退火K－means算法對(duì)磨粒群分形維數(shù)計(jì)算中的雙對(duì)數(shù)曲線進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)聚類，結(jié)果如圖3a所示。經(jīng)過聚類，雙對(duì)數(shù)曲線一階局部導(dǎo)數(shù)被分為兩類（圖中l(wèi)n·N（r）group1和ln·N（r）group2），兩類離散點(diǎn)交錯(cuò)分布，將初始的雙對(duì)數(shù)曲線分成了許多段區(qū)間（圖3a中豎線分割），各區(qū)間長短不一。其中，當(dāng)lnr較大時(shí)，出現(xiàn)了多段一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)為0點(diǎn)區(qū)間，這是由于采用計(jì)盒法計(jì)算時(shí)，當(dāng)盒子尺寸較大時(shí)，盒子尺寸的改變量相對(duì)盒子本身尺寸很小，覆蓋磨粒群的盒子個(gè)數(shù)并不隨盒子尺寸的變化而改變，這些區(qū)間不符合無標(biāo)度區(qū)的定義，應(yīng)予以剔除。剩下的區(qū)間中，多為較短的區(qū)間，甚至只有一個(gè)點(diǎn)，由于磨粒群的分形無標(biāo)度區(qū)一般較寬，因而選取包含連續(xù)點(diǎn)最多的區(qū)間作為無標(biāo)度區(qū)，識(shí)別結(jié)果如圖3b所示。需要指出的是，雖然從圖3b上看，被剔除的區(qū)間較短，但由于雙對(duì)數(shù)曲線的壓縮特性，實(shí)際被剔除的點(diǎn)的數(shù)量是很大的，而這些點(diǎn)都明顯不屬于無標(biāo)度區(qū)，說明計(jì)算過程中r的取值范圍可以進(jìn)一步縮小以提高分形維數(shù)計(jì)算效率。在磨粒群分形維數(shù)計(jì)算過程中，如果對(duì)這些點(diǎn)不加以剔除，計(jì)算結(jié)果將出現(xiàn)很大的偏差。

通過上述的識(shí)別過程，無標(biāo)度區(qū)的大概范圍已被確定，但區(qū)間還存在一些波動(dòng)相對(duì)較大的部分（一階導(dǎo)數(shù)右端），為精確確定無標(biāo)度區(qū)，還需進(jìn)一步剔除這些點(diǎn)。由于一階導(dǎo)數(shù)在常數(shù)附近波動(dòng)，其二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該在0附近作微小波動(dòng)，若二階導(dǎo)數(shù)偏離0的幅度較大，則表明其一階導(dǎo)數(shù)波動(dòng)劇烈，因而，對(duì)其二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行模擬退火K－means聯(lián)合聚類，結(jié)果如圖3c所示，一階導(dǎo)數(shù)的波動(dòng)在二階導(dǎo)數(shù)上表現(xiàn)得更明顯，與一階導(dǎo)數(shù)類似，通過聚類，區(qū)間分割，選取包含連續(xù)點(diǎn)數(shù)最多的區(qū)間，最終得到的無標(biāo)度區(qū)如圖3d所示。磨粒群無標(biāo)度區(qū)識(shí)別結(jié)果中，雙對(duì)數(shù)曲線二階導(dǎo)數(shù)在0附近作微小起伏，說明雙對(duì)數(shù)曲線在該區(qū)間內(nèi)接近直線，即磨粒群的無標(biāo)度區(qū)。

對(duì)識(shí)別的無標(biāo)度區(qū)內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行線性回歸，相關(guān)系數(shù)R＝0.9994，說明無標(biāo)度區(qū)內(nèi)r～N（r）雙對(duì)數(shù)曲線線性相關(guān)性很強(qiáng)，符合無標(biāo)度區(qū)的定義。同時(shí)，整個(gè)辨識(shí)磨粒群分形無標(biāo)度區(qū)的過程中，未出現(xiàn)辨識(shí)結(jié)果過短或落在無標(biāo)度區(qū)外等局部最優(yōu)現(xiàn)象，在保證通過相關(guān)性檢驗(yàn)的前提下盡可能選取了較長的區(qū)間，有效地避免了陷入局部最優(yōu)。對(duì)無標(biāo)度區(qū)內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行最小二乘擬合，即可得到直線的斜率α，根據(jù)盒維數(shù)的定義，取D＝－α，作為磨粒群的分形維數(shù)。

圖3 磨粒群分形無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)過程

2.3 方法檢驗(yàn)及結(jié)果分析

為檢驗(yàn)新方法對(duì)無標(biāo)度區(qū)識(shí)別的準(zhǔn)確性及精度，選取Koch曲線、Sierpinski三角形、Sierpinski方毯三個(gè)已知理論分形維數(shù)的圖形作為測試對(duì)象，三個(gè)圖形的大小一致，采用計(jì)盒法獲取三個(gè)圖形的r～N（r）雙對(duì)數(shù)曲線，利用新方法識(shí)別相應(yīng)的無標(biāo)度區(qū)，對(duì)無標(biāo)度區(qū)內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行最小二乘擬合，確定圖形的分形維數(shù)。同時(shí)，為了對(duì)比研究本文無標(biāo)度區(qū)識(shí)別方法的精度，同時(shí)用人工識(shí)別法和文獻(xiàn)［14］提出的二階導(dǎo)數(shù)法對(duì)三個(gè)圖形無標(biāo)度區(qū)進(jìn)行了識(shí)別，計(jì)算結(jié)果如表1所示，圖4示出了三種方法計(jì)算結(jié)果與理論值的誤差。

表1 測試圖形分形維數(shù)計(jì)算結(jié)果

圖4 三種無標(biāo)度區(qū)識(shí)別方法相對(duì)誤差

應(yīng)用新方法辨識(shí)三個(gè)圖形無標(biāo)度區(qū)的過程中均出現(xiàn)局部最優(yōu)現(xiàn)象，圖4表明，人工識(shí)別法在三個(gè)圖形的無標(biāo)度區(qū)識(shí)別中都取得了較好的效果，平均誤差在3%～5%之間，但是人工識(shí)別法需與計(jì)算機(jī)進(jìn)行交互操作，無法進(jìn)行自動(dòng)識(shí)別，且不同觀察者一般得到不同的結(jié)論，主觀性強(qiáng)；二階導(dǎo)數(shù)法對(duì)Koch曲線的識(shí)別效果很好，但對(duì)其他兩個(gè)圖形的無標(biāo)度區(qū)識(shí)別效果較差；本文提出的識(shí)別方法雖對(duì)Koch曲線的識(shí)別效果與人工識(shí)別法效果相當(dāng)，但對(duì)Sierpinski三角形和Sierpinski方毯的識(shí)別誤差均在1%以下，由于Sierpinski三角形和Sierpinski方毯的特點(diǎn)與磨粒群的特點(diǎn)相似，都是一種多孔結(jié)構(gòu)，因而應(yīng)用本文提出的方法對(duì)磨粒群分形無標(biāo)度區(qū)的識(shí)別是合理的，分形維數(shù)的計(jì)算結(jié)果是可信的。

3 磨粒群的分形無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)

為分析新方法對(duì)磨粒群無標(biāo)度區(qū)的辨識(shí)能力，應(yīng)用新方法計(jì)算了正常磨損、切削磨損、滾動(dòng)疲勞磨損、滾動(dòng)和滑動(dòng)復(fù)合磨損及嚴(yán)重滑動(dòng)磨損的磨粒群分形維數(shù)，磨粒群圖片來自文獻(xiàn)［18］，圖片大小為400像素×400像素，盒子尺寸增長方式為 ｛r｜1≤r＜M／2，r＝1，2，4，…，2n｝，計(jì)算程序基于MATLAB開發(fā)，計(jì)算機(jī)CPU主頻為3.00GHz，計(jì)算結(jié)果如表2所示，其中，無標(biāo)度區(qū)中的數(shù)值范圍表示r～N（r）雙對(duì)數(shù)曲線中識(shí)別的無標(biāo)度區(qū)取點(diǎn)范圍。

表2 應(yīng)用新方法計(jì)算磨粒群分形維數(shù)結(jié)果

計(jì)算結(jié)果表明，在圖片大小為400像素×400像素，盒子尺寸增長方式為1，2，4，…，2n時(shí)，磨粒群的分形無標(biāo)度區(qū)大約為1～20個(gè)點(diǎn)之間，取此區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)對(duì)進(jìn)行擬合，可以得到較精確的磨粒群分形維數(shù)，這段區(qū)間內(nèi)，點(diǎn)對(duì)的線性相關(guān)系數(shù)大于0.99，同時(shí)區(qū)間長度占整個(gè)雙對(duì)數(shù)曲線的50%左右，未出現(xiàn)無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)的局部最優(yōu)。另外，試驗(yàn)中不同磨損狀態(tài)的磨粒群分形維數(shù)差異較大，從1.44到1.71，這表明磨粒群的分形維數(shù)可作為摩擦副磨損狀態(tài)識(shí)別的一個(gè)判據(jù)。新算法對(duì)給定條件下磨粒群無標(biāo)度區(qū)進(jìn)行識(shí)別所耗用CPU時(shí)間約為0.24s，同樣條件下應(yīng)用文獻(xiàn)［8］、［13］和［14］提出的方法對(duì)磨粒群無標(biāo)度區(qū)進(jìn)行識(shí)別所用CPU 時(shí)間分別為0.3s、0.25s、0.8s左右，相對(duì)于已有算法，新算法在保持較高的無標(biāo)度區(qū)識(shí)別精度的同時(shí)，識(shí)別效率也略有提高。

4 結(jié)論

（1）基于模擬退火K－means算法提出了一種辨識(shí)磨粒群分形無標(biāo)度區(qū)的新算法，新算法能有效地避免無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)過程中陷入局部最優(yōu)，從而準(zhǔn)確辨識(shí)磨粒群的分形無標(biāo)度區(qū)，提高分形維數(shù)的計(jì)算精度。

（2）新算法對(duì)磨粒群圖像、Sierpinski方毯等多孔狀圖形無標(biāo)度區(qū)辨識(shí)精度高，辨識(shí)得到的磨粒群分形無標(biāo)度區(qū)較寬，區(qū)間內(nèi)點(diǎn)對(duì)的線性相關(guān)性好。

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