王杰芳 李玉曉 賈 瑜 趙維娟 胡 行 楊德林 梁二軍

（鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

最早接觸到相（Phase）這個(gè)詞，應(yīng)該是在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方程中。相位(ωt+)φ描述了做簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，初相φ描述了做簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。同相和反相是說兩個(gè)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的步調(diào)相同或相反。顧名思義，相空間（Phase Space）是描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的空間。經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由坐標(biāo)和動(dòng)量(r,p)共同決定；而微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)描述，任何時(shí)刻微觀粒子的位置和動(dòng)量都不能同時(shí)精確測(cè)量，二者滿足不確定原理。這就決定了描述經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的相空間（經(jīng)典相空間）與描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的相空間（希爾伯特空間）一定是截然不同的兩個(gè)相空間。

我們知道，量子力學(xué)有3種等價(jià)表述形式，分別是：薛定諤的波動(dòng)力學(xué)表述[1-3]、海森堡的矩陣力學(xué)表述[2,3]和費(fèi)曼的路徑積分形式[4]。此外，還有一種量子相空間理論，這個(gè)理論憑借其自身的優(yōu)勢(shì)，也被作為一種表述形式在統(tǒng)計(jì)物理、量子光學(xué)和非線性物理等科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[5,6]。這個(gè)所謂的量子相空間理論表述，指的是把量子力學(xué)算符以一定的規(guī)則（例如Weyl對(duì)應(yīng)規(guī)則）對(duì)應(yīng)到 q-p 相空間經(jīng)典的坐標(biāo)-動(dòng)量函數(shù)，導(dǎo)出量子態(tài)的 Wigner 函數(shù)，建立相似于薛定諤波動(dòng)方程的Wigner函數(shù)的時(shí)間演化方程，建立經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這個(gè)量子力學(xué)的量子相空間理論適合具有一定的經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)理論基礎(chǔ)的讀者進(jìn)一步學(xué)習(xí)和應(yīng)用參考，對(duì)于初學(xué)量子物理的學(xué)生或讀者來(lái)說有一定難度。本文著重基本概念和基本物理思想的理解，從經(jīng)典相空間通過類比過渡到量子的希爾伯特空間，目的是能幫助我們更容易、更深刻地理解波函數(shù)所處的希爾伯特空間。

1 描述經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的空間——經(jīng)典相空間

用笛卡兒直角坐標(biāo)系能夠完全描述某時(shí)刻經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的確切位置 r( x,y,z)，但不能完全描述某時(shí)刻經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。某時(shí)刻經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和動(dòng)量(r,p)共同描述。為了能夠完全描述經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)變量和動(dòng)量變量作為坐標(biāo)軸而構(gòu)成的空間，稱為經(jīng)典相空間。某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一定是相空間中的一點(diǎn)，稱為相點(diǎn)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變時(shí)，代表運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的相點(diǎn)在相空間移動(dòng)，會(huì)描繪出一條曲線，稱為相軌跡。比如，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做三維運(yùn)動(dòng)，要完全描述質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就選擇(x,y,z,px,py,pz)6個(gè)變量為坐標(biāo)軸，構(gòu)成一個(gè)6維相空間。推廣到由N個(gè)大量經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，每個(gè)經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的自由度是3，那么，由3N個(gè)坐標(biāo)和3N個(gè)動(dòng)量可以完全描述這N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由3N個(gè)坐標(biāo)和3N個(gè)動(dòng)量為坐標(biāo)軸構(gòu)成了可以完全描述經(jīng)典系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的相空間，這是一個(gè)描述由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的經(jīng)典系統(tǒng)的6N維抽象空間。

一個(gè)系統(tǒng)的相空間通常具有極大的維數(shù)，相空間中每一個(gè)點(diǎn)代表了包括系統(tǒng)所有細(xì)節(jié)的整個(gè)物理態(tài)（系統(tǒng)每個(gè)粒子的位置坐標(biāo)和動(dòng)量坐標(biāo)）。作為一個(gè)巨大維數(shù)的空間，它上面的每個(gè)點(diǎn)代表我們考慮的系統(tǒng)全部可能的態(tài)。不管一個(gè)系統(tǒng)有多復(fù)雜，該系統(tǒng)隨時(shí)間的整體演化在相空間中被描述成一個(gè)相點(diǎn)沿著哈密頓正則方程所確定的軌道運(yùn)動(dòng)[7]。

2 微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的表示空間——希爾伯特空間（Hilbert Space）

在微觀領(lǐng)域中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)描述，故又叫態(tài)函數(shù)。描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子相空間將是由所有在特定區(qū)域平方可積的態(tài)函數(shù)組成的復(fù)函數(shù)空間，是一個(gè)滿足態(tài)疊加原理的線性函數(shù)空間。每一個(gè)態(tài)函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的客觀存在的微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。所謂在特定區(qū)域平方可積的函數(shù)ψ(x)是指滿足下列條件的函數(shù)[8,9]，

其中，積分上下限x1，x2在量子力學(xué)中通常是指勢(shì)函數(shù)定義區(qū)間的左右邊界坐標(biāo)，這個(gè)區(qū)間可以是某個(gè)特定范圍，比如(a,b)，也可以是整個(gè)空間（-∞+∞）。這個(gè)條件是波函數(shù)可以歸一化所必需的。在這個(gè)線性函數(shù)空間中，定義兩個(gè)波函數(shù)的內(nèi)積為

其中，∫dτ是對(duì)描述系統(tǒng)的全空間進(jìn)行積分；dτ是空間體積元；,ψφ代表描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的任意兩個(gè)波函數(shù)。這個(gè)定義了內(nèi)積的抽象線性函數(shù)空間，物理學(xué)家稱為希爾伯特空間（Hilbert Space）[8]。在柯善哲編著的《量子力學(xué)》中也稱為量子態(tài)空間[10]。

把每一個(gè)態(tài)函數(shù)ψ作為一個(gè)態(tài)矢量。當(dāng)然，態(tài)矢量并非三維空間中的幾何矢量，而是物理狀態(tài)的抽象描述。全體態(tài)矢構(gòu)成態(tài)矢空間，內(nèi)積具有如下性質(zhì)：

希爾伯特空間是一個(gè)完備的內(nèi)積空間，平方可積函數(shù)的集合只是希爾伯特空間的一個(gè)例子，每一個(gè)有限維的矢量空間都是一個(gè)希爾伯特空間[8,11]。數(shù)學(xué)上的n維歐幾里得（Euclidean）空間就是一個(gè)定義了內(nèi)積的實(shí)數(shù)域上的有限維向量空間。希爾伯特空間是n維歐氏空間向無(wú)窮維的推廣。每一個(gè)描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的態(tài)函數(shù)在某確定時(shí)刻都是希爾伯特空間中的一點(diǎn)，當(dāng)態(tài)函數(shù)隨著時(shí)間演化時(shí)，將在希爾伯特空間描繪出一條曲線。

希爾伯特空間是量子力學(xué)的表示空間，很自然線性代數(shù)成為量子力學(xué)的描述語(yǔ)言。在線性代數(shù)中，存在于矢量空間的矢量可以通過平移、轉(zhuǎn)動(dòng)等操作從而變?yōu)樵摽臻g的另外一個(gè)矢量，每一個(gè)操作過程相當(dāng)于對(duì)矢量進(jìn)行的一個(gè)線性變換；同樣，在量子力學(xué)中，存在于希爾伯特空間中的態(tài)矢量也可以通過平移、轉(zhuǎn)動(dòng)等操作而變?yōu)樵摽臻g的另外一個(gè)態(tài)矢量，每一個(gè)操作過程相當(dāng)于對(duì)態(tài)矢量進(jìn)行的一個(gè)線性變換，每一個(gè)線性變換對(duì)應(yīng)一個(gè)量子力學(xué)中的力學(xué)量算符。

力學(xué)量算符的本征函數(shù)組可以有有限個(gè)、無(wú)數(shù)個(gè)，或者是連續(xù)的，那么以該力學(xué)量算符的本征函數(shù)組作為正交基矢的空間就是有限維、無(wú)窮維或連續(xù)維的。所以，希爾伯特空間可以是有限維、無(wú)窮維或連續(xù)維的。希爾伯特空間可以把任何一個(gè)力學(xué)量算符的本征函數(shù)組作為一組基矢，用來(lái)組合描述微觀粒子的任何態(tài)矢量，因此態(tài)函數(shù)可以有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象或能量表象等。

在非相對(duì)論量子力學(xué)中，薛定諤(Schrodinger)方程是一個(gè)基本方程，在量子力學(xué)中其地位相當(dāng)于牛頓動(dòng)力學(xué)方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位。薛定諤方程的形式如下：

希爾伯特空間是量子力學(xué)的表示空間，波函數(shù)處于希爾伯特空間中，力學(xué)量算符相當(dāng)于線性變換，作用于波函數(shù)之上，波函數(shù)隨時(shí)間的演化遵從薛定諤方程。波函數(shù)和力學(xué)量算符是希爾伯特空間中的重要角色，它們是量子力學(xué)的兩塊理論基石。

3 結(jié)語(yǔ)

無(wú)論是經(jīng)典相空間還是希爾伯特空間，共同點(diǎn)都是描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。但是兩者的不同點(diǎn)是顯著的。本文通過對(duì)比的方式重點(diǎn)描述了經(jīng)典相空間與希爾伯特空間的截然不同，有助于更深刻地理解描述微觀世界的這套理論。它是一套完全不同于經(jīng)典物理學(xué)的全新理論，必須用全新的物理思想和數(shù)學(xué)表述工具武裝頭腦，用全新的邏輯思維方式改變自己，才能深刻理解微觀系統(tǒng)的行為。

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