王毅君 武燁存 劉 偉 史慶藩

（北京理工大學，北京 100081）

在當今信息時代，機器人正替代人類發(fā)揮著日益重要的作用.然而，隨著應用范圍的擴大，機器人面臨的環(huán)境也越來越惡劣，例如有毒有害氣體的腐蝕、日趨復雜的地貌等，這就要求機器人具有很強的自主運動能力及生存能力.特別是在遇到較大的障礙物時，機器人需要具有跳躍能力才可以輕易克服障礙，進而大大提高機器人的活動范圍，于是彈跳機器人應運而生［1］.另外，在星際探索中，由于月球與火星表面重力加速度遠低于地球，彈跳運動便是較為高效的運動方式，彈跳機器人也因此有著廣泛的應用前景［2］.

目前，彈跳機器人已經(jīng)有了一定的研究成果，但對于一些基本的彈性結構的彈跳還沒有系統(tǒng)的理論分析及實驗數(shù)據(jù).另外，探究彈性環(huán)的彈跳高度也是2013年國際青年物理學家競賽（IYPT）的題目之一.本文中我們選取最簡單的彈跳模型即彈性環(huán)來探究彈跳機器人在跳躍時的高度以及能量轉換的效率，以期對彈跳機器人的理論研究提供有價值的參考.

1 彈性環(huán)能量轉換分析

彈性環(huán)在剛性表面（這里我們選擇大理石）受力壓縮后彈起，彈性勢能轉換為平動動能及振動動能.下面研究能量之間的轉換并給出各部分能量的計算.

令彈性環(huán)的半徑為R，厚度為τ，寬為w，初始形變量為δ，如圖1和圖2所示.

圖1 初始狀態(tài)的彈性環(huán)

圖2 壓縮后的彈性環(huán)

彈性環(huán)處于壓縮時，根據(jù)能量守恒定律可得

其中，Eb代表彈性環(huán)所儲存的彈性勢能；Es代表彈起過程中彈性環(huán)與接觸面之間的能量損耗；Et，0和Ev，0分別代表脫離地面瞬間的初始平動動能及振動動能.

由文獻［3］知，彈性勢能計算為

其中，k為彈性系數(shù)；Y為楊氏模量；η為一個無量綱常數(shù).

初始平動動能為

其中，m為彈性環(huán)的質量；vc是圓環(huán)質心的速度.初始振動動能為

彈性環(huán)彈起后，上升過程中克服空氣阻力做功為Ed，則有

其中Eg代表上升達到高度為h的最高點時的重力勢能，即

至此，我們推導出了能量之間的轉換公式，下面就以此為基礎計算忽略空氣阻力時的彈起高度.

2 忽略空氣阻力時的彈起高度

忽略空氣阻力時，彈性環(huán)彈起的初始平動動能全部轉換為達到最高點的重力勢能.為了得到彈起高度，需要計算彈性勢能以及初始平動動能.

彈性勢能的計算首先需要對η進行實驗測定.通過預實驗我們發(fā)現(xiàn)在彈性限度內(nèi)，外力F與δ的線性關系比較好，證明了胡克定律及彈性勢能公式對彈性環(huán)的適用性.而后用多種規(guī)格的彈性環(huán)得到彈性系數(shù)k的結果如圖3所示.

圖3 多種規(guī)格彈性環(huán)彈性系數(shù)測量結果

線性擬合后斜率代表公式（2）中η，其值為0.1869.這樣，對于給定參量的彈性環(huán)來說，初始的彈性勢能便是已知量.

接著研究初始平動動能與彈性勢能關系.將彈性環(huán)兩端用細繩束縛壓縮，而后將細繩與彈性環(huán)的接觸部分點燃（見圖4），以消除細繩摩擦的影響.彈性環(huán)躍起后，用高速攝像機采集數(shù)據(jù)后分析得到彈性環(huán)的初速度.

圖4 點燃彈性環(huán)

實驗中測量彈性環(huán)形變量δ后利用式（2）計算得到Eb；以圓環(huán)彈起瞬間最高點速度的一半為vc（0），利用公式（3）計算得到初始平動動能Et，0.Eb與Et，0二者之間關系如圖5.

圖5 初始動能與彈性勢能的關系

Et，0≈0.4987Eb，進而計算得到振動動能Ev，0＝5／8Et，0＝0.3117Eb，起跳過程中的能量損失Es＝0.1896Eb，約為19%.

由初始動能與彈性勢能的關系以及公式（3）也可以得到

這樣，有了初始平動動能占彈性勢能的比例，就可以計算忽略空氣阻力時的彈起高度.由于初始動能全部轉化為重力勢能，則有理論彈起高度h滿足

其中hc＝Y／ρg.

3 考慮空氣阻力的彈起高度

由于初始動能與彈性勢能的轉換只存在于彈性環(huán)與底面接觸時，并且這個階段非常短暫，因此可以忽略該階段空氣阻力的影響.

在空氣阻力表達式F＝CDρaRwv2c中，ρa代表空氣密度，可以通過查表得知；CD代表空氣阻力系數(shù)，需要通過實驗測定.

我們采用測量彈性環(huán)處于豎直狀態(tài)時的下落時間獲得CD的值（水平下落時迎風面積太小，近似自由落體）.彈性環(huán)在下落過程中滿足

對式（9）兩端積分兩次得

其中，hD＝2πρτρaCD；p＝－14／（m12·s－1），q＝

實驗中求得一系列｛H（t），t｝，代入式（10）解出CD后，求均值得到CD≈2.088.

有了空氣阻力系數(shù)，下面計算考慮空氣阻力時的彈起高度.彈性環(huán)上升過程滿足

對式（11）兩端積分兩次得

其最大值為

其中，v0＝vc（0）；hD＝2πρτ／ρaCD.

為作圖方便起見，記式（13）為

其中φ＝（hc／hD）（τ2δ2／R4）.

圖6 理論值與實驗觀測值對照

理論計算結果與實驗觀測得到的彈起高度如圖6所示.可以看出，忽略空氣阻力僅在彈起高度較小時適用，而考慮空氣后理論值與實際較為吻合.

4 結語

我們發(fā)現(xiàn)彈性環(huán)彈起時初始動能與彈性勢能有著很好的線性關系，為計算不考慮空氣阻力的理論高度打下了基礎.而后通過實驗發(fā)現(xiàn)在彈起高度較小時，空氣阻力可近似忽略，而在高度逐漸增加后，忽略空氣阻力的理論高度不再適用.于是考慮空氣阻力后我們給出了考慮空氣阻力后的理論高度，與實際結果吻合較好.本文對于彈性環(huán)這種簡單彈跳模型的研究結果可以為彈跳機器人的能量轉換效率及控制彈跳高度提供一個理論基礎.另外，對于柔軟的接觸底面，能量的損失會大于18.96%，對應于實際中的比如土壤地面上的彈跳，這也有待于進一步探究.

［1］ 李保江，朱劍英.彈跳式機器人研究綜述［J］.機械科學與技術，2005，（24）：803－807.

［2］ 楊小傳，胡海拉，王培聰，等.彈跳機器人彈跳機理［C］／／福建省科協(xié)第五屆學術年會數(shù)字化制造及其他先進制造技術專題學術年會論文集，2005.

［3］ Yang Eunjin，Kim Ho－Young.Jumping hoops［J］.American Association of Physics Teachers，2012（80）：19－23.