林 杰，林立偉，郭 航

（廈門大學薩本棟微米納米科學技術(shù)研究院，廈門大學物理與機電工程學院，福建 廈門361005）

在過去的20年，基于硅微加工技術(shù)的傳感器已應用于各種傳感測量，如壓力、應力和加速度［1］.其中，壓敏電阻微加速度計在車輛碰撞試驗、安全控制和引信系統(tǒng)［2］中發(fā)揮著越來越重要的作用.而對微加速度計的性能要求也越來越高，如沖擊環(huán)境下的加速度要求達到100 000 g以上［3］，彈藥制導化中要檢測從幾g到上萬g的加速度［4］，因此需要研發(fā)高g且性能優(yōu)良的微加速度計.運用微機電系統(tǒng)技術(shù)制造的硅微加速度計具有靈敏度高、線性度好、諧振頻率高等優(yōu)點.孟美玉等［5］在理論上分析了三軸壓阻式微加速度計的結(jié)構(gòu)參數(shù)對應力、頻率的影響，但對于靈敏度和應力的關系尚未分析清楚，也未進行有限元軟件ANSYS的仿真分析；石云波等［6］設計了一種基于絕緣層上的硅（SOI）的三軸壓阻式微加速度計，但結(jié)構(gòu)設計中未考慮梁的慣性力，也未對器件的靈敏度和線性度進行詳細的探討.針對高g壓阻式加速度計固有頻率低、輸出信號有諧振的現(xiàn)象［7］，設計具有較高固有頻率的微加速度計，使其能滿足高g環(huán)境的要求具有重要的意義，而壓阻式微加速度計的理論和仿真分析中［4，6］，大部分未對電阻的布置進行詳細的探討，所以改變電阻的位置來提高加速度計的性能也具有很大的必要性.

1 結(jié)構(gòu)設計

1.1 應力和頻率的推導

如圖1（a）為三軸八梁壓阻式微加速度計的一般結(jié)構(gòu)，外邊框為固定端，中間為質(zhì)量塊，兩部分通過懸臂梁連接.當對稱結(jié)構(gòu)上受對稱載荷作用時，在對稱截面上，反對稱內(nèi)力即剪力等于0，但是彎矩不為0.微加速度計關于對角線對稱，則可以簡化為一次靜不定問題，即一個僅有單根懸臂梁和1／8質(zhì)量塊的結(jié)構(gòu)簡化模型，如圖1（b）所示.因梁的變形引起的應力不能被忽略，梁的慣性力應該考慮進去，其力學簡化模型如圖1（c）所示，其中，P1和P2分別是圖1（c）中梁和質(zhì)量塊的慣性力，F(xiàn)和M是固定端的反力和彎矩，Mx為截面上的彎矩.而

其中，m1和m2分別為單梁和整個質(zhì)量塊的質(zhì)量，a為加速度.

假設在Z方向加載加速度，且質(zhì)量塊必須視為剛體，X方向上梁和質(zhì)量塊的彎矩方程為：

其中，l1是懸臂梁的長度，l2是質(zhì)量塊的半長，E是彈性模量，I1是單梁關于Z軸的慣性矩.

圖1 加速度計的結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structural diagram of accelerometer

通過力法正則方程，使用莫爾積分求對稱截面上的彎矩Mx，可得：

代入式（2），則可化為：

根據(jù)邊界條件積分式（7）求彎曲撓度得：

梁截面上的彎曲正應力為：

則梁截面上的最大彎曲正應力應在x＝0處：

通過Rayleigh－Ritz法［8］，求得最低的固有頻率：

其中，ρ1和ρ2分別為梁和質(zhì)量塊的密度，b1和b2分別為梁和質(zhì)量塊的寬，h1和h2分別為梁和質(zhì)量塊的厚.這里加速度a取200 000 g，將式（7）和式（8）代入式（11）即可求得一階的固有頻率.

根據(jù)微型化和加工工藝的要求，質(zhì)量塊的大小被限制為2 200μm×2 200μm×400μm，梁的厚度限制為100μm，因此P2已確定.根據(jù)式（10），可得梁的寬度、長度和截面上的最大彎曲正應力之間的關系如圖2所示；同樣，根據(jù)式（11），可得梁的寬度、長度和一階固有頻率之間的關系如圖3所示.

圖2 梁長度、寬度和最大彎曲正應力的關系Fig.2 Relationship between maximum bending stress and length or width of beam

從圖2～3可以看到，隨著梁長度的增加，最大應力逐漸增大，固有頻率迅速減少，因此減小梁的長度可以顯著增大固有頻率，同時減小最大應力.隨著梁的寬度的增加，最大應力迅速減少，固有頻率逐漸增大，所以增大梁的寬度可以減小最大應力，同時提高固有頻率.不過，減小最大應力的同時也會降低靈敏度的大小.

圖3 梁長度、寬度和一階固有頻率的關系Fig.3 Relationship between first－order natural frequency and length or width of beam

綜合考慮最大應力、固有頻率和靈敏度等因素后，確定微加速度計的參數(shù)如表1所示.把參數(shù)代入以上方程，求得最大彎曲正應力為151.4MPa，一階固有頻率為244.1kHz.

對于硅的微機械結(jié)構(gòu)中的斷裂應力有不少研究，因研究對象、手段與方法的不同，所得的值有所差異，大致為1.0～3.3GPa［9－10］，遠大于最大彎曲正應力151.4MPa，滿足強度條件，同時又有較高的一階固有頻率以承受高頻信號沖擊.

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structure parameters

表2 模態(tài)頻率Tab.2 Modal frequencies

1.2 應力和頻率的仿真分析

利用ANSYS軟件建立該微加速度計的三維有限元模型，硅材料的密度為2 330kg／m3，楊氏模量為130GPa，泊松比為0.278，整個微加速度計網(wǎng)格劃分的單元類型為三維固體結(jié)構(gòu)Solid185.

在外邊框施加全約束后，在Z軸上加載一個200 000 g的加速度，分析得Mises等效應力如圖4所示，最大等效應力發(fā)生在梁和質(zhì)量塊的交界處，大小為261MPa，也遠小于硅的斷裂應力，亦滿足強度條件.一階模態(tài)如圖5所示，其一階固有頻率為227 kHz，與理論結(jié)果244.1kHz非常接近，驗證了理論公式.而前5階模態(tài)下的固有頻率如表2所示，說明該高g微加速度計的高階頻率值也很大.

為了分析其他方向的應力情況，在X軸上加載一個200 000g的加速度，得到的Mises等效應力最大為91.1MPa，可知相同加速度負載下X軸方向的靈敏度會較小.

由于理論計算結(jié)果為截面上的彎曲正應力，仿真結(jié)果為Mises等效應力，故最大點不同.于是在梁與外邊框的交界線進行路徑仿真分析，求得分界線上的最大應力為165MPa，與理論結(jié)果151.4MPa也基本一致，亦驗證了理論公式.以上結(jié)果也表明該微加速度計具有較好的力學性能.

圖4 Z軸加載時的等效應力Fig.4 The equivalent stress when loaded in Z

圖5 一階振動模態(tài)Fig.5 1st vibration mode shape

2 壓敏電阻的布置

2.1 輸出電壓

壓敏電阻在［011］和［011］晶向上的電阻變化率［4］為：

其中，π∥和.π⊥為縱向和橫向壓阻系數(shù)，σ∥和σ⊥為縱向和橫向應力，π44為P型硅的剪切壓阻系數(shù)，由摻雜濃度和溫度決定，根據(jù)工藝條件，取138.1×10－11Pa－1.

如圖6所示，通過恒壓源均輸入電壓Ui＝5V，Z軸全橋電路的輸出電壓為：

X軸的半橋電路輸出電壓（Y軸與X軸類似）為：

微加工中使R1＝R2＝R3＝R4＝R，如圖7布置電阻，則在Z軸上加載時ΔR1＝ΔR4和ΔR2＝ΔR3，全橋電壓為：

其中，σ1∥和σ1⊥為電阻R1的縱向和橫向應力，σ2∥和σ2⊥為電阻R2的縱向和橫向應力.

同理微加工中使R5＝R6＝R7＝R8＝R13＝R14，R9＝R10＝R11＝R12＝R15＝R16，其中R13、R14、R15、R16為定值電阻，布置在任意適當?shù)奈恢镁?，如圖7在X軸上加載時ΔR5＝－ΔR7＝ΔR，在Y軸上加載時ΔR9＝－ΔR11＝ΔR，則根據(jù)式（12）和式（14），X、Y 軸的半橋電壓為：

其中，σ5∥和σ5⊥為電阻R5的縱向和橫向應力，σ9∥和σ9⊥為電阻R9的縱向和橫向應力.由此也可以看出相同應力差負載情況下，全橋電路的輸出電壓是半橋電路的2倍.

圖6 惠斯通電橋Fig.6 Wheatstone bridge

圖7 電阻的布置Fig.7 Layout of varistors

2.2 電阻位置的仿真分析

根據(jù)如圖7所示的布線圖，把Z軸的4個力敏電阻對稱布置在4條邊上的［011］晶向，且靠近梁端部；把X軸的4個力敏電阻對稱布置在X軸方向的4個梁上的［011］晶向；把Y軸的4個力敏電阻對稱布置在Y軸方向的4個梁上的［011］晶向.

從式（16）～（18）可知，輸出電壓與橫縱向應力差成正比，因此通過ANSYS軟件分析電阻的應力差即可求得輸出電壓.由于8梁結(jié)構(gòu)的對稱性，選擇任意一個懸臂梁（圖7中方框標出）研究其應力.先選擇水平方向的一個梁的中線作為路徑1分析其應力，如圖8所示（原點為路徑的最左端）.接著選擇該梁的豎直方向作為路徑2進行應力分析，如圖9所示（原點為路徑的最下端）.圖中σx、σy、σDETA分別為橫向應力、縱向應力、應力差.

圖8 路徑1的橫縱向應力及其差值Fig.8 Stresses and difference along path1

圖9 路徑2的橫縱向應力及其差值Fig.9 Stresses and difference along path2

為了保證輸出的線性度，電阻必須布置在遠離非線性的區(qū)域；同時，電阻應該靠近梁的末端以獲得較大的表面應力差.從圖8可以看出，梁中間區(qū)域的應力關系接近線性.所以電阻布置在距離右末端60～120μm的區(qū)域.從圖9可以看出，距離上下端100μm處的應力差較大，所以選擇該區(qū)域來布置電阻.

3 三軸的靈敏度和線性度

3.1 三軸的靈敏度

同圖4通過ANSYS軟件在Z軸加載200 000 g的加速度，求R4的橫縱向應力及其差值，通過仿真和計算求得應力差的平均值為46.68MPa.而類似圖4，在X軸加載200 000 g的加速度，求R7處的橫縱向應力及其差值，得應力差的平均值為17.66MPa.

將Z方向的差值代入式（16），求得輸出電壓為161.16mV，則Z方向的靈敏度為：

將X方向的差值代入式（17），求得輸出電壓為30.48 mV，則X方向的靈敏度為：

Y方向的靈敏度與X方向相同.

圖10 三軸加速度和輸出電壓的關系Fig.10 Relationship between output voltage and acceleration in three axis

3.2 三軸的線性度

將應力表達式（9）分別代入輸出電壓的表達式（16）和（17），可提出一個公因子加速度a，故理論上輸出電壓與加速度成正比.通過仿真不同加速度的應力情況代入式（16）和（17），得到三軸的輸出電壓和a的關系如圖10所示，由圖可知輸出電壓在高g變化中保持線性.

4 結(jié) 論

通過理論推導和ANSYS分析設計了一種高g八梁壓阻式微加速度計，在滿足強度條件的情況下，通過應力和頻率分析確定了梁的結(jié)構(gòu)尺寸，接著分析得到了最適合布置電阻的位置，并仿真求解了三軸的靈敏度和線性度.本文提出了一種在明確的負載目標下和有限的空間中，分析設計性能優(yōu)良的微加速度計的方法，所得結(jié)果對實際應用具有重要的指導意義.

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