向東陽，彭小宏，畢季明

（海軍陸戰(zhàn)學(xué)院，廣東 廣州 510430）

0 引言

在各種電信號、聲信號的處理過程中，諧波干擾的檢測和消除通常是必不可少的環(huán)節(jié)。諧波檢測的方法有很多，比如譜分析方法、FFT、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等［1］。諧波消除的常用方法是采用數(shù)字陷波濾波技術(shù)，但陷波濾波器畢竟有一定的帶寬，因此對有用信號成分會造成一定的破壞。在眾多的諧波消除方法中，實(shí)際上最有效方法應(yīng)該是直接從混合信號中減除干擾成分，當(dāng)然前提是能夠直接獲得參考信號。傳統(tǒng)的自適應(yīng)濾波方法就是基于這一思路而建立的，但是傳統(tǒng)自適應(yīng)濾波要求參考源信號中不能混有目標(biāo)信號成分，否則濾波效果會受到很大影響。文獻(xiàn)［2］提出了一種基于獨(dú)立分量分析的諧波檢測和消除方法。從統(tǒng)計(jì)信號處理的角度來看，諧波干擾和待檢測的目標(biāo)信號通常來自于兩個(gè)相互獨(dú)立的信號源。因此可以將諧波干擾消除問題轉(zhuǎn)化為盲源分離問題，不過與一般的盲源分離問題相比較，我們對諧波干擾的先驗(yàn)知識（例如諧波頻率和時(shí)域波形的基本形式）有一定的了解，因此比一般盲源分離問題的處理要簡單。

文獻(xiàn)［2－8］的諧波檢測和消除模型雖然是基于獨(dú)立分量分析的原理，但是有的沒有考慮尺度和次序不確定性問題［2］，有的雖然考慮到了，但是沒有給出有效的解決方法［4］，因此所估計(jì)出的諧波幅度和相位有可能是不準(zhǔn)確的。本文針對此問題，提出了基于線性混合盲分離的諧波檢測和消除方法。

1 線性混合盲分離模型

盲信號分離（Blind Signal Separation ，BSS）技術(shù)是指在具有多個(gè)信號源的復(fù)雜環(huán)境中，傳感器測量到的信號是多個(gè)信號源的混合信號，從混合信號中將原始信號分離出來的問題。按照信號混合的方法一般分為線性瞬時(shí)混合、卷積混合和非線性混合三種。固定點(diǎn)算法［9］（Fast－ICA）是源信號線性瞬時(shí)混合盲分離方法中的一種，通常由對混合信號預(yù)處理和獨(dú)立分量提取兩部分組成，其中預(yù)處理包括信號的中心化和白化處理兩部分。這里重寫信號混合與分離的公式為：

其中 S（t）＝ ［s1（t），s2（t），…，sn（t）］T為 源 信 號，X（t）＝ ［x1（t），x2（t），…，xm（t）］T（n ≤ m）為混合信 號，A 為 混 合 矩 陣，Y（t）＝ ［y1（t），y2（t），…，yn（t）］T為估計(jì)的源信號，W 為分離矩陣。

信號經(jīng)過預(yù)處理后，在進(jìn)行獨(dú)立分量提取之前，必須尋找一種獨(dú)立性的判據(jù)來度量分離信號的非高斯性，也即獨(dú)立性。該獨(dú)立性可用負(fù)熵來度量。對于一個(gè)隨機(jī)變量y，若其概率密度為p（y），則負(fù)熵的定義式為：

式（3）中，ygauss是具有和y相同方差的高斯度量；而H（y）＝－∫p（y）lgp（y）dy為隨機(jī)變量y的信息熵。然而，實(shí)際計(jì)算時(shí)，由于隨機(jī)變量y的概率密度p（y）未知，故一般用下式進(jìn)行估計(jì)：

式（4）中，G（·）為某個(gè)非二次函數(shù)，其有多種選擇，已證明下列形式是有用的［9］：

由式（4）可知，y的非高斯性越強(qiáng)，E｛G（ygauss）｝就越小，負(fù)熵J（y）越大，因此可以用負(fù)熵極大化來作為獨(dú)立性的判據(jù)。即在做完混合信號的預(yù)處理后，依據(jù)負(fù)熵判據(jù)來尋找矩陣W，使得Y＝WX的負(fù)熵最大。也就是對E｛G（Y）｝＝E｛G（WX）｝求極值，使E｛G（WX）｝最大。根據(jù)牛頓迭代法求解，經(jīng)過代數(shù)化簡后得：

式（7）中，Wi（k＋1）是第k＋1次迭代時(shí)矩陣W 的第i行，g（·）為G（·）的導(dǎo)數(shù)，g＇（·）為g（·）的導(dǎo)數(shù)，‖·‖2代表求2－范數(shù)。

總之，采用負(fù)熵的固定點(diǎn)算法步驟可總結(jié)如下：

1）將混合信號X去均值，然后加以白化；

2）任 意 選 擇 Wi的 初 值 Wi（0）， 要 求‖Wi（0）‖2＝1，i＝1，2，…，n；

3）根據(jù)（7）更新和歸一化Wi；

4）設(shè)定閾值，根據(jù)ΔWi的大小判斷算法是否收斂，如未收斂，繼續(xù)步驟3）。

基于負(fù)熵的固定點(diǎn)算法的優(yōu)點(diǎn)在于：由于采用牛頓法，收斂較有保證，可以證明它具有三階的收斂速度；而且迭代過程中無需引入調(diào)節(jié)步長等人為設(shè)置的參數(shù)，因而更加簡單方便。

2 基于線性混合盲分離的諧波檢測和消除的原理

設(shè)x（t）是記錄的混合信號，其中含有目標(biāo)信號s0（t）和諧波信號p（t），即

式（8）中，μ 為諧波幅度，θ為諧波相位，f 為諧波頻率。

一般情況下，諧波的頻率可以通過簡單的譜分析獲得，但諧波的幅度和相位通常是未知的。如果有同步測量的諧波干擾源信號，那么幅度和相位估計(jì)問題就相對比較簡單。如果沒有諧波參考源，則會比較復(fù)雜。此種情況下，通常采用從混合信號中提取一段不含目標(biāo)信號或目標(biāo)信號較弱的數(shù)據(jù)段進(jìn)行諧波幅度和相位的估計(jì)，不過估計(jì)精度往往難以保證。盲信號處理技術(shù)為諧波幅度和相位估計(jì)提供了一個(gè)新的思路。文獻(xiàn)［2］用線性盲分離方法進(jìn)行了諧波頻率和相位的估計(jì)，但是沒有考慮獨(dú)立分量分析的尺度和次序不確定性問題，因此其模型是不完整的，估計(jì)的諧波幅度和相位有可能是不正確的。本文在其基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，考慮了獨(dú)立分量分析的尺度和次序不確定性因素，并推導(dǎo)了幅度和相位的求取方法。

文獻(xiàn)［2］對式（8）進(jìn)行了分解，得到

式（9）中，μ為諧波幅度，θ為諧波相位，f為諧波頻率。重新構(gòu)造兩路參考信號為：s1（t）＝sin（2πft）和s2（t）＝cos（2πft）；則此時(shí)混合信號可記為：X（t）＝［x（t），s1（t），s2（t）］T，相應(yīng)的混合過程用矩陣形式可表示為：

式 （10）中，A 為 混 合 矩 陣，S（t）＝［s0（t），s1（t），s2（t）］T為源信號。

采用固定點(diǎn)算法對三路混合信號X（t）＝［x（t），s1（t），s2（t）］T進(jìn)行分離，估計(jì)的混合矩陣記為，估計(jì)的源信號記為（t），則有：

由于盲分離方法分離出的信號與源信號存在尺度和排列次序的不確定性，則有：

式（11）中，Λ為任一非奇異的對角矩陣，P為任一置換（或排列）矩陣，其任意一列或一行只有一個(gè)為1的非零元素，則（11）可寫為：

進(jìn)一步將（10）寫為：

對比式（13）與式（14）可以發(fā)現(xiàn)，

根據(jù)式（16），因?yàn)镻為置換矩陣，則盲分離方法估計(jì)出的混合矩陣與右邊的矩陣只是存在列排列上的差異。因此矩陣除了第一行外，其它行都應(yīng)該只有一個(gè)元素不為零，并且這些行的不為零元素均不屬于同一列。實(shí)際計(jì)算中由于誤差的存在，混合矩陣中的那些應(yīng)該為零的元素不可能準(zhǔn)確的等于零，但是肯定接近于零，并且遠(yuǎn)小于同一行中最大的元素（絕對值）。只要將矩陣的列按照矩陣的結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新調(diào)整，再根據(jù)矩陣相等則對應(yīng)元素相等的原則，就可以將參數(shù)a，b，α，β，γ計(jì)算出來，進(jìn)而由和θ＝arctan（b／a）得到諧波p（t）幅度和相位。與此同時(shí)，在調(diào)整的列的順序時(shí)將分離信號的順序也做相應(yīng)調(diào)整，即如果估計(jì)的混合矩陣的第i列和第j列互換，則估計(jì)的源信號t）的第i行和第j行也互換，調(diào)整完畢后，將）的第一行除以α，即可得到消除諧波信號后的目標(biāo)信號s0（t）。

綜上所述，如果混合信號為x（t），對于單個(gè)諧波信號p（t）的檢測和消除，改進(jìn)的基于線性盲分離模型的諧波檢測和消除方法可歸結(jié)為圖1所示，算法整體流程。

圖1 算法整體流程框圖Fig.1 Flow chart of the algorithm

3 仿真分析

為了檢驗(yàn)本文提出的方法對諧波參數(shù)進(jìn)行檢測的準(zhǔn)確性，分別對單個(gè)和多個(gè)諧波信號參數(shù)的檢測采用Matlab7.1進(jìn)行了仿真，計(jì)算機(jī)CPU為Intel Celeron 2.6G，內(nèi)存為2G。

3.1 單個(gè)諧波信號的幅度、相位檢測及其消除

采用Matlab生成如下的混合信號：

采樣頻率為1Hz，采樣時(shí)間為1.5s，波形如圖2所示，采用MUSIC算法估計(jì)信號頻率為50Hz和44.5Hz（如圖3），但是不能估計(jì)其幅度和相位，若要檢測44.5Hz信號的幅度和相位，根據(jù)第3節(jié)的分析，則一路源信號為：

再構(gòu)造兩路參考信號：

則源信號應(yīng)為S（t）＝ ［s0（t），s1（t），s2（t）］T，混合信號為：

式中A為混合矩陣。

采用固定點(diǎn)算法對X（t）進(jìn)行分離，耗時(shí)0.06 s，分離信號的波形如圖4，得到估計(jì)的混合矩陣為：

理想情況下分離信號與源信號的幅度和排列次序應(yīng)該一致，但從矩陣、圖2和圖4中可看出，分離信號和源信號s0、s1、s2的幅度和排列次序明顯不一致。若直接根據(jù)矩陣和分離信號求源信號幅度和相位，肯定會出現(xiàn)誤差，因此必須對進(jìn)行調(diào)整。將（22）式的列按照（16）式中矩陣的結(jié)構(gòu)重新排序，可得到為：

將檢測結(jié)果和真實(shí)值進(jìn)行對比，結(jié)果見表1，相對誤差的計(jì)算方法為：

表1 諧波檢測誤差Tab.1 The error of harmonic detection

由表中可以看出，幅度的檢測比較準(zhǔn)確，但是相位的檢測誤差較大，如何提高其精度還需進(jìn)一步研究。

圖5 混合信號及其消除諧波后的頻譜Fig.5 Frequency of mixed signal before and after harmonic removal

3.2 多個(gè)諧波信號的幅度檢測

盲分離方法進(jìn)行諧波相位檢測時(shí)誤差較大，下面僅進(jìn)行多個(gè)諧波信號的幅度檢測，其方法和單個(gè)諧波信號幅度檢測的不同之處在于需要根據(jù)檢測的諧波個(gè)數(shù)構(gòu)造多個(gè)參考信號，其他過程相同。

采用Matlab生成如下的混合信號：

采樣頻率取為1kHz，采樣時(shí)間為1.5s，波形如圖6所示，采用MUSIC算法估計(jì)信號頻率為45.7Hz、44.5Hz和46.9Hz（如圖7）。為了檢測頻率為44.5Hz和46.9Hz信號的幅度，構(gòu)造四路參考信號：

圖6 混合信號及參考信號波形Fig.6 Mixed signal and references signals

圖7 MUSIC算法估計(jì)混合信號頻率Fig.7 Frequency of mixed signal estimated by MUSIC

得到混合信號向量X（t）＝ ［x（t），s1（t），s2（t），s3（t），s4（t）］T，采用固定點(diǎn)算法對 X（t）進(jìn)行分離，耗時(shí)0.06 s，得到估計(jì)的混合矩陣為：

頻率為44.5Hz信號的幅度為：

頻率為46.9Hz信號的幅度為：

利用FFT方法求出了x（t）中44.5Hz和46.9 Hz的信號的幅度，并將其和利用本文方法求出的幅度進(jìn)行了對比，結(jié)果見表2。

表2 不同方法求取幅度的結(jié)果比較Tab.2 comparison of magnitude for different methods

由表中可看出，在采樣時(shí)間為1.5s時(shí)，由于發(fā)生頻譜泄漏，利用FFT求解間諧波幅度是不準(zhǔn)確的，而本文方法求出的幅度雖然也有誤差，但其精度遠(yuǎn)好于FFT方法。

4 結(jié)論

本文提出了基于線性混合盲分離的諧波檢測和消除方法。該方法在傳統(tǒng)基于獨(dú)立分量分析的諧波檢測和消除方法的基礎(chǔ)上，采用矩陣方法分析了線性混合盲分離模型中分離信號與源信號的對應(yīng)關(guān)系，得到了一種消除分離信號尺度和次序不確定性的方法，使傳統(tǒng)的線性盲分離模型應(yīng)用于諧波檢測時(shí)得到的諧波參數(shù)更加準(zhǔn)確，仿真實(shí)例證明了該方法在諧波幅度檢測和諧波消除方面的正確性和有效性，但應(yīng)用在諧波相位檢測時(shí)誤差較大，還需作進(jìn)一步深入研究。同時(shí)，本文的方法還可以應(yīng)用于故障診斷中故障信號的準(zhǔn)確分離、提取以及檢測。

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