張帆

摘 要：討論了求解方程組X-A*Y■A=QY-B*Y■A=QHermit正定解的迭代方法。

關(guān)鍵詞：非線性矩陣方程組；Hermit正定解；迭代；收斂

0 引言

本文主要研究非線性矩陣方程組X-A*Y■A=QY-B*Y■A=Q （1）

其中A，B為正規(guī)矩陣，Q為 Hermite正定陣.討論求解方程組Hermite正定解迭代的收斂性。

考慮如下迭代X0=1，Y0=1。X■=A*Y■A+QY■=B*Y■B+Q （2）

定理：若A，B，Q滿足引理（1）中所有條件，且Q>1，||A||2（||Q||+||A||2）m-1<1/m那么方程組（1）

存在Hermite正定解（X，Y），且滿足

X28

Y28

max（||X-X28||，||X28-X||）

max（||Y-Y28||，||Y28-Y||）

其中q=nm||A||2||B||2（||Q||+||A||2）m-1（||Q||+||B||2）n-1其中X■，Y■，s=0，1，2…由迭代（2）產(chǎn)生。

證明： 對(duì)于X1，Y1，有

X1，=Q+A*A>X0，Y1=Q+B*B>Y0

所以，X1-m<，X0-m，Y1-n<，X0-n

那么，B*X1-mB

因此，X0=1

即X0

由X0

X2=Q+A*Y1-nA

X2=Q+A*Y1-nA>Q+A*Y1-nA=X2

即X2

同理有Y2

那么有X2

繼而有X4

綜上可知X0

假設(shè)對(duì)所有k滿足X0

由假設(shè)可知

X2k+2=Q+A*Y-n2K+1A

X2k+4=Q+A*Y-n2K+2A>Q+A*Y-n2K+1A=X2k+2

Y2k+2=Q+B*X-n2K+1B

Y2k+4=Q+B*X-n2K+2B>Q+B*X-n2K+1B=Y2k+2

即X2k+2

同理可證X2k+4

綜上，有

X0

Y0

至此，序列X■，X■，Y■，Y■單調(diào)且有下界。下證序列X■，X■有共同極限。

||X2s+1-X2s||=||A*Y-n2sA-A*Y2s-nA||

=||A*Y-n2sYn2s-1Y-n2s-1-Y-n2sYn2sY-n2s-1A||

≤||A||2||Y-n2s（Yn2s-1Yn2s）Y-n2s-1||

≤||A||2||Y-n2s||||（Yn2s-1Yn2s）||Y-n2s-1||

=||A||2||Y-n2s||||（Yn2s-1||||Y■-Y■■Y■■-1Y■■||

<||A||2||Y-n2s-1-Y2s||■Y■■-Y■■i-1

參考文獻(xiàn)：

[1]AsmaaM.Al-Dubiban.IterativeAlgorithmforSolvingaSystemofNonlinearMatrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics，2012，2012：1-15.

[2]高東杰.矩陣方程 的 正定解[J].信息系統(tǒng)工程，2010（11）：134-135.

[3]高東杰，張玉海.矩陣方程 的 正定解[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2007，29（1）：73-80.

摘 要：討論了求解方程組X-A*Y■A=QY-B*Y■A=QHermit正定解的迭代方法。

關(guān)鍵詞：非線性矩陣方程組；Hermit正定解；迭代；收斂

0 引言

本文主要研究非線性矩陣方程組X-A*Y■A=QY-B*Y■A=Q （1）

其中A，B為正規(guī)矩陣，Q為 Hermite正定陣.討論求解方程組Hermite正定解迭代的收斂性。

考慮如下迭代X0=1，Y0=1。X■=A*Y■A+QY■=B*Y■B+Q （2）

定理：若A，B，Q滿足引理（1）中所有條件，且Q>1，||A||2（||Q||+||A||2）m-1<1/m那么方程組（1）

存在Hermite正定解（X，Y），且滿足

X28

Y28

max（||X-X28||，||X28-X||）

max（||Y-Y28||，||Y28-Y||）

其中q=nm||A||2||B||2（||Q||+||A||2）m-1（||Q||+||B||2）n-1其中X■，Y■，s=0，1，2…由迭代（2）產(chǎn)生。

證明： 對(duì)于X1，Y1，有

X1，=Q+A*A>X0，Y1=Q+B*B>Y0

所以，X1-m<，X0-m，Y1-n<，X0-n

那么，B*X1-mB

因此，X0=1

即X0

由X0

X2=Q+A*Y1-nA

X2=Q+A*Y1-nA>Q+A*Y1-nA=X2

即X2

同理有Y2

那么有X2

繼而有X4

綜上可知X0

假設(shè)對(duì)所有k滿足X0

由假設(shè)可知

X2k+2=Q+A*Y-n2K+1A

X2k+4=Q+A*Y-n2K+2A>Q+A*Y-n2K+1A=X2k+2

Y2k+2=Q+B*X-n2K+1B

Y2k+4=Q+B*X-n2K+2B>Q+B*X-n2K+1B=Y2k+2

即X2k+2

同理可證X2k+4

綜上，有

X0

Y0

至此，序列X■，X■，Y■，Y■單調(diào)且有下界。下證序列X■，X■有共同極限。

||X2s+1-X2s||=||A*Y-n2sA-A*Y2s-nA||

=||A*Y-n2sYn2s-1Y-n2s-1-Y-n2sYn2sY-n2s-1A||

≤||A||2||Y-n2s（Yn2s-1Yn2s）Y-n2s-1||

≤||A||2||Y-n2s||||（Yn2s-1Yn2s）||Y-n2s-1||

=||A||2||Y-n2s||||（Yn2s-1||||Y■-Y■■Y■■-1Y■■||

<||A||2||Y-n2s-1-Y2s||■Y■■-Y■■i-1

參考文獻(xiàn)：

[1]AsmaaM.Al-Dubiban.IterativeAlgorithmforSolvingaSystemofNonlinearMatrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics，2012，2012：1-15.

[2]高東杰.矩陣方程 的 正定解[J].信息系統(tǒng)工程，2010（11）：134-135.

[3]高東杰，張玉海.矩陣方程 的 正定解[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2007，29（1）：73-80.

摘 要：討論了求解方程組X-A*Y■A=QY-B*Y■A=QHermit正定解的迭代方法。

關(guān)鍵詞：非線性矩陣方程組；Hermit正定解；迭代；收斂

0 引言

本文主要研究非線性矩陣方程組X-A*Y■A=QY-B*Y■A=Q （1）

其中A，B為正規(guī)矩陣，Q為 Hermite正定陣.討論求解方程組Hermite正定解迭代的收斂性。

考慮如下迭代X0=1，Y0=1。X■=A*Y■A+QY■=B*Y■B+Q （2）

定理：若A，B，Q滿足引理（1）中所有條件，且Q>1，||A||2（||Q||+||A||2）m-1<1/m那么方程組（1）

存在Hermite正定解（X，Y），且滿足

X28

Y28

max（||X-X28||，||X28-X||）

max（||Y-Y28||，||Y28-Y||）

其中q=nm||A||2||B||2（||Q||+||A||2）m-1（||Q||+||B||2）n-1其中X■，Y■，s=0，1，2…由迭代（2）產(chǎn)生。

證明： 對(duì)于X1，Y1，有

X1，=Q+A*A>X0，Y1=Q+B*B>Y0

所以，X1-m<，X0-m，Y1-n<，X0-n

那么，B*X1-mB

因此，X0=1

即X0

由X0

X2=Q+A*Y1-nA

X2=Q+A*Y1-nA>Q+A*Y1-nA=X2

即X2

同理有Y2

那么有X2

繼而有X4

綜上可知X0

假設(shè)對(duì)所有k滿足X0

由假設(shè)可知

X2k+2=Q+A*Y-n2K+1A

X2k+4=Q+A*Y-n2K+2A>Q+A*Y-n2K+1A=X2k+2

Y2k+2=Q+B*X-n2K+1B

Y2k+4=Q+B*X-n2K+2B>Q+B*X-n2K+1B=Y2k+2

即X2k+2

同理可證X2k+4

綜上，有

X0

Y0

至此，序列X■，X■，Y■，Y■單調(diào)且有下界。下證序列X■，X■有共同極限。

||X2s+1-X2s||=||A*Y-n2sA-A*Y2s-nA||

=||A*Y-n2sYn2s-1Y-n2s-1-Y-n2sYn2sY-n2s-1A||

≤||A||2||Y-n2s（Yn2s-1Yn2s）Y-n2s-1||

≤||A||2||Y-n2s||||（Yn2s-1Yn2s）||Y-n2s-1||

=||A||2||Y-n2s||||（Yn2s-1||||Y■-Y■■Y■■-1Y■■||

<||A||2||Y-n2s-1-Y2s||■Y■■-Y■■i-1

參考文獻(xiàn)：

[1]AsmaaM.Al-Dubiban.IterativeAlgorithmforSolvingaSystemofNonlinearMatrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics，2012，2012：1-15.

[2]高東杰.矩陣方程 的 正定解[J].信息系統(tǒng)工程，2010（11）：134-135.

[3]高東杰，張玉海.矩陣方程 的 正定解[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2007，29（1）：73-80.