陳朝陽

在高三復習到導數(shù)這一章節(jié)的時候，有關已知不等式恒成立求參數(shù)范圍問題是學生感覺到比較困難的一類問題，這個問題是近幾年各省份高考的熱點和難點問題.針對這一問題，我們備課組通過微型課題的方式，集中研討，再將其反饋給學生，取得了較好的教學效果.下面對這一問題，以2010年全國新課標卷理科21題的第二小問為背景，從不同角度分析這類問題的思考方向，供同行參考.

題目：設函數(shù)f（x）=e■-1-x-ax■.

（1）若a=0，求f（x）的單調區(qū)間；

（2）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

這一道題看似簡單，其實是命題經(jīng)過深思熟慮命制的試題，尤其是第二問，命題者給出的答案非常巧妙并且頗有思辨性，我們先看下命題組給出的解法.

解法一：f′（x）=e■-1-2ax，由于e■≥x+1，f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，

（i）若1-2a≥0，即a≤■時，當x≥0時，f′（x）≥0，而f（0）=0，于是，有f（x）≥f（0）=0；

（ii）若a>■時，由于x≠0時，e■>x+1，可得e■>1-x，e■-1>-x，所以，-2ax<2a（e■-1），f′（x）

當x∈（0，ln2a）時，f′（x）<0，而f（0）=0，于是存在x∈（0，ln2a），

使得f（x）■時，f（x）≥0在[0，+∞）不恒成立，

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，■].

這種解法充分利用了第一小問得到的結論，即e■≥x+1，這也是高中導數(shù)涉及放縮問題常用的一個重要不等式.這種將已證結論作為條件的方法是高考導數(shù)問題中的常用方法.

解法二：f′（x）=e■-1-2ax，令g（x）=f′（x），則g′（x）=e■-2a.由于x≥0時，e■≥i，若a≤■時，g′（x）≥0（等號僅當x=0時成立），

所以，g（x）在[0，+∞）上單調遞增，且g（0）=0，

因此，當x≥0時，g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，且f（0）=0，

所以，f（x）≥f（0）=0；

若a>■時，由g′（x）=e■-2a=0，得到x=ln2a，

∴x∈（0，ln2a），g′（x）<0；x∈（ln2a，+∞），g′（x）>0.

從而y=f′（x）在（0，ln2a）上單調遞減，在（ln2a，+∞）上單調遞增.

所以，當x∈（0，ln2a）時，有f′（x）

于是，當x∈（0，ln2a）時，有f（x）

綜上可知，a的取值范圍是（-∞，■].

這種解法是學生最容易想到的解法，也是恒成立問題中最常見的方法.在這種解法中，應強調參數(shù)a的臨界值的取得技巧.

解法三：參變量分離法

（Ⅱ）（i）若x=0時，f（x）≥0成立時，a是任意實數(shù)；

（ii）若x>0時，f（x）≥0等價于a≤■-■-■，令g（x）=■，

令K（x）=e■-x-1-■x■，K′（x）=e■-1-x，由于e■≥x+1，K′（x）≥0，

K（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，即在[0，+∞）上是增函數(shù)，且K（0）=0，

K（x）≥K（0）=0，即e■≥1+x+■x■，而g（x）=■>■=■，

即a≤■，綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是（-∞，■].

這種方法是求解恒成立問題的常見方法，分離參數(shù)問題不大，難點在函數(shù)K（x）的構造，這個背景是e■的泰勒展開式.

解法四：利用極限思想

（Ⅱ）（i）若x=0時，f（x）≥0成立時，a是任意實數(shù)；

（ii）若x>0時，f（x）≥0等價于a≤■-■-■，令g（x）=■，由（Ⅰ）知e■≥x+1（僅x=0等號成立），所以g（x）=■>0，g′（x）=■.

因為x>0，要g′（x）>0，只需（e■+1）x-2（e■-1）>0，

現(xiàn)在設h（x）=（e■+1）x-2（e■-1），即只需h（x）=xe■-2e■+x+2>0（x>0），又h（0）=0，則只需h′（x）>0（x>0）.

（1）當x≥1時，

因為h′（x）=e■+xe■-2e■+1=xe■-e■+1=e■（x-1）+1>（x+1）（x-1）+1=x■>0，

即h′（x）>0.

（2）當0

因為h′（x）=e■+xe■-2e■+1

=xe■-e■+1

=e■（x-1）+1

此時，令t（x）=e■（x-1）+1，則t′（x）=xe■>0，

所以t（x）>t（0）=0，

綜上所述：h（x）>h（0）=0.

所以g′（x）=■=■>0，

則g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，

因此，a≤■g（x）=■■=■■=■■=■，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是（-∞，■].

這種解法在變量分離后能得出所構造的函數(shù)是單調函數(shù)，但是沒有最小值，這個時候需要求極限，由于用到了大學中的洛必達法則，這種方法不提倡，但對于參數(shù)a的臨界值的取得是一種思路.

解法五：結合函數(shù)圖像

作出函數(shù)y=e■（x≥0）的圖像，其在點P（0，1）處的切線為y=x+1，由x≥0時f（x）≥0得到，e■≥1+2ax，直線y=1+2ax是過定點P（0，1）的一條直線，通過圖像可得實數(shù)a的取值范圍是（-∞，■].

這種解法學生容易接受，但在高考解答題中慎用以形代替證明.原因有二：一是本題就是要證明圖像所表示的結論；二是萬一圖像法沒做出來中間的過程分是沒有的.但是，利用圖像，先找出參數(shù)a的臨界值，在結合代數(shù)證明，這也是值得向學生推介的.

通過上述幾種方法，對已知不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的解題思路，應該是一種啟發(fā).下面給出了近幾年的高考和自主招生中相關的問題.

練習1.（2011年高考全國新課標理）已知函數(shù)f（x）=■+■，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果當x>0，且x≠1時，f（x）>■+■，求k的取值范圍.

練習2.（2010年南開大學自主招生）已知函數(shù)f（x）=sinx（x≥0），g（x）=ax（x≥0）.

（1）若f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）當a?。?）中的最小值時，求證：g（x）-f（x）≤■x■.

參考答案：

練習1：解析：（Ⅰ）f′（x）=■-■

由于直線x+2y-3=0的斜率為-■，且過點（1，1），故f（1）=1，f′（1）=-■，

即b=1，■-b=-■，

解得a=1，b=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=■+■，所以

f（x）-（■+■）=■（21nx+■）.

考慮函數(shù)h（x）=2lnx+■（x>0），則h′（x）=■.

（i）設k≤0，由h′（x）=■知，當x≠1時，h′（x）<0，h（x）遞減.而h（1）=0，故當x∈（0，1）時，h（x）>0，可得■h（x）>0；

當x∈（1，+∞）時，h（x）<0，可得■h（x）>0

從而當x>0，且x≠1時，f（x）-（■+■）>0，即f（x）>■+■.

（ii）設00，對稱軸x=■>1.當x∈（1，■）時，（k-1）（x■+1）+2x>0，故h′（x）>0，而h（1）=0，故當x∈（1，■）時，h（x）>0，可得■h（x）<0，與題設矛盾.

（iii）設k≥1.此時x■+1≥2x，（k-1）（x■+1）+2x>0？圯h′（x）>0，而h（1）=0，故當x∈（1，+∞）時，h（x）>0，可得■h（x）<0，與題設矛盾.

綜合得，k的取值范圍為（-∞，0].

練習2：（1）解：令h（x）=sinx-ax（x≥0），則h′（x）=cosx-a.

若a≥1，h′（x）=cos x-a≤0，h（x）=sin x-ax（x≥0）單調遞減，h（x）≤h（0）=0，則sin x≤ax（x≥0）成立.

若0

h′（x）=cos x-a>0，h（x）=sin x-ax（x∈（0，x■））單調遞增，h（x）>h（0）=0，不合題意，

結合f（x）與g（x）的圖像可知a≤0顯然不合題意，

綜上可知，a≥1.

（2）證明：當a?。?）中的最小值1時，g（x）-f（x）=x-sin x.

設H（x）=x-sin x-■x■（x≥0），則H′（x）=1-cos x-■x■.

令G（x）=1-cos x-■x■，則G′（x）=sin x-x≤0（x≥0），

所以G（x）=1-cos x-■x■在[0，+∞）上單調遞減，

此時G（x）=1-cos x-■x■≤G（0）=0，即H′（x）=1-cos x-■x■≤0，

所以H（x）=x-sin x-■x■（x≥0）單調遞減.

所以H（x）=x-sin x-■x■≤H（0）=0，

即x-sin x-■x■≤0（x≥0），即x-sin x≤■x■（x≥0）.

所以，當a取（1）中的最小值時，g（x）-f（x）≤■x■.