從近幾年高考來看，平面向量有以下幾個考查特點：1.向量的加法，主要考查運算法則、幾何意義；平面向量的數(shù)量積、坐標(biāo)運算、兩向量平行與垂直的充要條件是命題的重點內(nèi)容，主要考查運算能力和靈活運用知識的能力；試題常以填空題形式出現(xiàn)，難度中等偏下.2.平面向量與三角函數(shù)、解析幾何相結(jié)合，以解答題形式呈現(xiàn)，難度中等.鑒于高考平面向量的命題特點，建議同學(xué)們第一輪復(fù)習(xí)應(yīng)在平面向量的“知識性”和“交匯性”上下工夫.

一、把握基本知識，掌握基本方法

平面向量的基本知識主要包括平面向量的基本概念、重要定理、基本性質(zhì)和運算法則等，概括如下：

1.平面向量中的五個基本概念

（1）零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0.

（2）長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，a方向上的單位向量為a|a|.

（3）方向相同或相反的向量叫共線向量（平行向量）.

（4）如果直線l的斜率為k，則a=（1，k）是直線l的一個方向向量.

（5）向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影.

2.平面向量的兩個重要定理

（1）向量共線定理：向量a（a≠0）與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.

（2）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一組基底.

3.平面向量的兩個充要條件

若兩個非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），則：

（1）a∥ba=λbx1y2-x2y1=0.

（2）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.

4.平面向量的三個性質(zhì)

（1）若a=（x，y），則|a|=a·a=x2+y2.

（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），則

|AB|=（x2-x1）2+（y2-y1）2.

（3）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ為a與b的夾角，則cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22.

牢固掌握基礎(chǔ)知識是數(shù)學(xué)解題的前提，而要把知識轉(zhuǎn)化為能力，復(fù)習(xí)時必須要善于動腦，勤于練習(xí)，并注重總結(jié)與歸納，例如平面向量數(shù)量積，歷來是平面向量高考命題的主要考點.由于平面向量數(shù)量積的運算具有一定的技巧，在歷年高考中往往得分率不高.如何“突破”這個考點？同學(xué)們一定要注意方法的積累，熟練掌握以下三種方法：

1.定義法是求平面向量數(shù)量積最基本的方法

例1（1）（2014·全國卷）已知a，b為單位向量，其夾角為60°，則（2a-b）·b=（）

A. -1B. 0C. 1D. 2

（2）（2014·重慶卷）已知向量a與b的夾角為60°，且a=（-2，-6），|b|=10，則a·b=.

答案：（1）B； （2）10.

解析：（1）因為a，b為單位向量，且其夾角為60°，

所以（2a-b）·b=2a·b-b2=2|a||b|cos60°-|b|2=0.

（2）∵|a|=（-2）2+（-6）2=210，

∴a·b=|a||b|cos60°=210×10×12=10.

評注：當(dāng)兩個向量的模與夾角都已經(jīng)給出或容易求出時，定義法是求平面向量數(shù)量積最好的方法.此類問題在高考中屬于容易題.

2.基底法是求平面向量數(shù)量積最重要的方法

例2（2014·江蘇卷）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP·BP=2，則AB·AD的值是.

答案：22.

解析：考慮將條件中涉及的AP，BP向量用基底AB，AD表示，然后實施計算.

因為在平行四邊形ABCD中，CP=3PD，

所以AP=AD+DP=AD+14AB，BP=BC+CP=AD-34AB.

則AP·BP=2=（AD+14AB）·（AD-34AB）=AD2-12AD·AB-316AB2.

又AB=8，AD=5，AP·BP=2，則2=25-316×64-12AB·AD，故AB·AD=22.

評注：確定一組基底，將所求數(shù)量積的兩個向量分別用這組基底線性表示，進(jìn)而將所求數(shù)量積的兩個向量數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積問題，這就是所謂的基底法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的轉(zhuǎn)化思想.

3.解析法是求平面向量數(shù)量積最有效的方法

例3（2014·天津卷）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF.若AE·AF=1，則λ的值為.

答案：2.

解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A（-1，0），B（0，-3），C（1，0），D（0，3）.設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

由BC=3BE，得（1，3）=3（x1，y1+3），

可得E（13，-233）；

由DC=λDF，得（1，-3）=λ（x2，y2-3），可得F（1λ，3-3λ）.

∵AE·AF=（43，-233）·（1λ+1，3-3λ）=103λ-23=1，∴λ=2.

評注：解析法又叫坐標(biāo)法，即恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，將平面向量坐標(biāo)化，可使向量數(shù)量積運算程序化，從而減少思維量.本文中的例2也可用解析法來解，簡解如下：endprint

不妨以A點為坐標(biāo)原點，AB所在直線作為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)A（0，0），B（8，0），D（a，t），P（a+2，t），C（a+8，t），則AP=（a+2，t），BP=（a-6，t）.由AP·BP=2，得a2+t2-4a=14，由AD=5，得a2+t2=25，則4a=11，故所求AB·AD=8a=22.

二、關(guān)注知識交匯，提高綜合能力

平面向量的“交匯性”主要體現(xiàn)在平面幾何、三角函數(shù)和平面解析幾何中，在平面幾何問題中，主要是將向量的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面幾何中的邊與邊的位置關(guān)系；在三角函數(shù)問題中平面向量的知識主要是給出三角函數(shù)之間的一些關(guān)系，解題的關(guān)鍵還是三角函數(shù)問題；解析幾何中向量知識只是給出一些幾何量的位置和數(shù)量關(guān)系，在解題中要善于根據(jù)向量知識分析解析幾何中的幾何關(guān)系.

1.平面向量與平面幾何的交匯

例4在△ABC中，（BC+BA）·AC=|AC|2，則△ABC的形狀是.

答案：直角三角形.

解析：根據(jù)向量式尋找△ABC邊、角之間的關(guān)系.

由（BC+BA）·AC=|AC|2，得（BC+BA-AC）·AC=0，

∴（BC+BA+CA）·AC=02BA·AC=0，故BA⊥AC，∠A=90°，

故△ABC一定是直角三角形.

評注：對于此類問題，一般需要靈活運用向量的運算法則、運算律，將已知條件等價變形，從而得到結(jié)論.特別地，有的問題還需要依據(jù)幾何圖形選取適當(dāng)?shù)幕祝ɑ字械南蛄勘M量已知模或夾角），將題中涉及的向量用基底表示，然后計算或證明.

2.平面向量與三角函數(shù)的交匯

例5（2014·山東）在△ABC中，已知AB·AC=tanA，當(dāng)A=π6時，△ABC的面積為.

答案：16.

解析：因為AB·AC=|AB|·|AC|cosA=tanA，且A=π6，所以|AB|·|AC|=23，所以△ABC的面積S=12|AB|·|AC|sinA=12×23×sinπ6=16.

評注：在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題.

3.平面向量與解析幾何的交匯

例6已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率e=22，點F為橢圓的右焦點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，點M為橢圓的上頂點，且滿足MF·FB=2-1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在直線l，當(dāng)直線l交橢圓于P、Q兩點時，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

解析：（1）根據(jù)題意得，F(xiàn)（c，0）（c>0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b），

∴MF=（c，-b），F(xiàn)B=（a-c，0），∴MF·FB=ac-c2=2-1.

又e=ca=22，∴a=2c，∴2c2-c2=2-1，

∴c2=1，a2=2，b2=1，

∴橢圓C的方程為x22+y2=1.

（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l.∵kMF=-1，且MF⊥l，∴kl=1.

設(shè)直線l的方程為y=x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

由y=x+m，x22+y2=1消去y得3x2+4mx+2m2-2=0，

則有Δ=16m2-12（2m2-2）>0，即m2<3，又x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23，

∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=2m2-23-4m23+m2=m2-23.

又F為△MPQ的垂心，連結(jié)PF，則PF⊥MQ，∴PF·MQ=0，

又PF=（1-x1，-y1），MQ=（x2，y2-1），

∴PF·MQ=x2+y1-x1x2-y1y2=x2+x1+m-x1x2-y1y2=-43m+m-2m2-23-m2-23=-m2-m3+43=-13（3m2+m-4）=-13（3m+4）（m-1）=0，

∴m=-43或m=1（舍去），

經(jīng)檢驗m=-43符合條件，

∴存在滿足條件的直線l，其方程為3x-3y-4=0.

評注：由于平面向量的坐標(biāo)運算與解析幾何“一脈相承”，向量法成了破解解析幾何問題的重要方法之一.本例既體現(xiàn)了平面向量與解析幾何的“交匯性”，又體現(xiàn)了平面向量的“工具性”.

（作者：顧永建，江蘇省石莊高級中學(xué)）endprint

不妨以A點為坐標(biāo)原點，AB所在直線作為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)A（0，0），B（8，0），D（a，t），P（a+2，t），C（a+8，t），則AP=（a+2，t），BP=（a-6，t）.由AP·BP=2，得a2+t2-4a=14，由AD=5，得a2+t2=25，則4a=11，故所求AB·AD=8a=22.

二、關(guān)注知識交匯，提高綜合能力

平面向量的“交匯性”主要體現(xiàn)在平面幾何、三角函數(shù)和平面解析幾何中，在平面幾何問題中，主要是將向量的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面幾何中的邊與邊的位置關(guān)系；在三角函數(shù)問題中平面向量的知識主要是給出三角函數(shù)之間的一些關(guān)系，解題的關(guān)鍵還是三角函數(shù)問題；解析幾何中向量知識只是給出一些幾何量的位置和數(shù)量關(guān)系，在解題中要善于根據(jù)向量知識分析解析幾何中的幾何關(guān)系.

1.平面向量與平面幾何的交匯

例4在△ABC中，（BC+BA）·AC=|AC|2，則△ABC的形狀是.

答案：直角三角形.

解析：根據(jù)向量式尋找△ABC邊、角之間的關(guān)系.

由（BC+BA）·AC=|AC|2，得（BC+BA-AC）·AC=0，

∴（BC+BA+CA）·AC=02BA·AC=0，故BA⊥AC，∠A=90°，

故△ABC一定是直角三角形.

評注：對于此類問題，一般需要靈活運用向量的運算法則、運算律，將已知條件等價變形，從而得到結(jié)論.特別地，有的問題還需要依據(jù)幾何圖形選取適當(dāng)?shù)幕祝ɑ字械南蛄勘M量已知?；驃A角），將題中涉及的向量用基底表示，然后計算或證明.

2.平面向量與三角函數(shù)的交匯

例5（2014·山東）在△ABC中，已知AB·AC=tanA，當(dāng)A=π6時，△ABC的面積為.

答案：16.

解析：因為AB·AC=|AB|·|AC|cosA=tanA，且A=π6，所以|AB|·|AC|=23，所以△ABC的面積S=12|AB|·|AC|sinA=12×23×sinπ6=16.

評注：在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題.

3.平面向量與解析幾何的交匯

例6已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率e=22，點F為橢圓的右焦點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，點M為橢圓的上頂點，且滿足MF·FB=2-1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在直線l，當(dāng)直線l交橢圓于P、Q兩點時，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

解析：（1）根據(jù)題意得，F(xiàn)（c，0）（c>0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b），

∴MF=（c，-b），F(xiàn)B=（a-c，0），∴MF·FB=ac-c2=2-1.

又e=ca=22，∴a=2c，∴2c2-c2=2-1，

∴c2=1，a2=2，b2=1，

∴橢圓C的方程為x22+y2=1.

（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l.∵kMF=-1，且MF⊥l，∴kl=1.

設(shè)直線l的方程為y=x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

由y=x+m，x22+y2=1消去y得3x2+4mx+2m2-2=0，

則有Δ=16m2-12（2m2-2）>0，即m2<3，又x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23，

∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=2m2-23-4m23+m2=m2-23.

又F為△MPQ的垂心，連結(jié)PF，則PF⊥MQ，∴PF·MQ=0，

又PF=（1-x1，-y1），MQ=（x2，y2-1），

∴PF·MQ=x2+y1-x1x2-y1y2=x2+x1+m-x1x2-y1y2=-43m+m-2m2-23-m2-23=-m2-m3+43=-13（3m2+m-4）=-13（3m+4）（m-1）=0，

∴m=-43或m=1（舍去），

經(jīng)檢驗m=-43符合條件，

∴存在滿足條件的直線l，其方程為3x-3y-4=0.

評注：由于平面向量的坐標(biāo)運算與解析幾何“一脈相承”，向量法成了破解解析幾何問題的重要方法之一.本例既體現(xiàn)了平面向量與解析幾何的“交匯性”，又體現(xiàn)了平面向量的“工具性”.

（作者：顧永建，江蘇省石莊高級中學(xué)）endprint

不妨以A點為坐標(biāo)原點，AB所在直線作為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)A（0，0），B（8，0），D（a，t），P（a+2，t），C（a+8，t），則AP=（a+2，t），BP=（a-6，t）.由AP·BP=2，得a2+t2-4a=14，由AD=5，得a2+t2=25，則4a=11，故所求AB·AD=8a=22.

二、關(guān)注知識交匯，提高綜合能力

平面向量的“交匯性”主要體現(xiàn)在平面幾何、三角函數(shù)和平面解析幾何中，在平面幾何問題中，主要是將向量的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面幾何中的邊與邊的位置關(guān)系；在三角函數(shù)問題中平面向量的知識主要是給出三角函數(shù)之間的一些關(guān)系，解題的關(guān)鍵還是三角函數(shù)問題；解析幾何中向量知識只是給出一些幾何量的位置和數(shù)量關(guān)系，在解題中要善于根據(jù)向量知識分析解析幾何中的幾何關(guān)系.

1.平面向量與平面幾何的交匯

例4在△ABC中，（BC+BA）·AC=|AC|2，則△ABC的形狀是.

答案：直角三角形.

解析：根據(jù)向量式尋找△ABC邊、角之間的關(guān)系.

由（BC+BA）·AC=|AC|2，得（BC+BA-AC）·AC=0，

∴（BC+BA+CA）·AC=02BA·AC=0，故BA⊥AC，∠A=90°，

故△ABC一定是直角三角形.

評注：對于此類問題，一般需要靈活運用向量的運算法則、運算律，將已知條件等價變形，從而得到結(jié)論.特別地，有的問題還需要依據(jù)幾何圖形選取適當(dāng)?shù)幕祝ɑ字械南蛄勘M量已知?；驃A角），將題中涉及的向量用基底表示，然后計算或證明.

2.平面向量與三角函數(shù)的交匯

例5（2014·山東）在△ABC中，已知AB·AC=tanA，當(dāng)A=π6時，△ABC的面積為.

答案：16.

解析：因為AB·AC=|AB|·|AC|cosA=tanA，且A=π6，所以|AB|·|AC|=23，所以△ABC的面積S=12|AB|·|AC|sinA=12×23×sinπ6=16.

評注：在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題.

3.平面向量與解析幾何的交匯

例6已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率e=22，點F為橢圓的右焦點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，點M為橢圓的上頂點，且滿足MF·FB=2-1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在直線l，當(dāng)直線l交橢圓于P、Q兩點時，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

解析：（1）根據(jù)題意得，F(xiàn)（c，0）（c>0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b），

∴MF=（c，-b），F(xiàn)B=（a-c，0），∴MF·FB=ac-c2=2-1.

又e=ca=22，∴a=2c，∴2c2-c2=2-1，

∴c2=1，a2=2，b2=1，

∴橢圓C的方程為x22+y2=1.

（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l.∵kMF=-1，且MF⊥l，∴kl=1.

設(shè)直線l的方程為y=x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

由y=x+m，x22+y2=1消去y得3x2+4mx+2m2-2=0，

則有Δ=16m2-12（2m2-2）>0，即m2<3，又x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23，

∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=2m2-23-4m23+m2=m2-23.

又F為△MPQ的垂心，連結(jié)PF，則PF⊥MQ，∴PF·MQ=0，

又PF=（1-x1，-y1），MQ=（x2，y2-1），

∴PF·MQ=x2+y1-x1x2-y1y2=x2+x1+m-x1x2-y1y2=-43m+m-2m2-23-m2-23=-m2-m3+43=-13（3m2+m-4）=-13（3m+4）（m-1）=0，

∴m=-43或m=1（舍去），

經(jīng)檢驗m=-43符合條件，

∴存在滿足條件的直線l，其方程為3x-3y-4=0.

評注：由于平面向量的坐標(biāo)運算與解析幾何“一脈相承”，向量法成了破解解析幾何問題的重要方法之一.本例既體現(xiàn)了平面向量與解析幾何的“交匯性”，又體現(xiàn)了平面向量的“工具性”.

（作者：顧永建，江蘇省石莊高級中學(xué)）endprint