蔣經(jīng)緯

【摘 要】根據(jù)動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的適用側(cè)重點(diǎn)對(duì)比，歸納一個(gè)初步的采用策略，從而指導(dǎo)平時(shí)教學(xué)的重點(diǎn)分配。

【關(guān)鍵詞】動(dòng)能定理；機(jī)械能守恒定律；采用策略

在解答包含做功與能量變化的力學(xué)問(wèn)題中，動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律都是用于解題的核心公式。在歷年的高考中，兩者都是出題熱點(diǎn)。若能靈活掌握兩者，就可以說(shuō)是掌握了兩枚解題的金鑰匙。但對(duì)于學(xué)生而言，面對(duì)一道新的習(xí)題時(shí)，他總是更習(xí)慣于采用其中一種固定的思路來(lái)嘗試解題。而動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律在解題過(guò)程中的地位類似，這種情況下，兩者只會(huì)有一者被采用。其實(shí)，具體采用哪一條公式，這完全是取決于題目的類型與條件的。倘若學(xué)生優(yōu)先采用了相對(duì)更有利于解題的一條公式，那么他的解題過(guò)程將會(huì)非常流暢，并且從中獲得極大的自信與滿足感，有利于其進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。因此，分析出并比較動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律兩者的適用優(yōu)勢(shì)，歸納出一個(gè)初步的采用策略，并以此來(lái)分配平時(shí)教學(xué)的側(cè)重，這將會(huì)顯著地提高教學(xué)效能。

現(xiàn)將通過(guò)對(duì)一些例題的分析，對(duì)比在采用動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律兩種不同的解題公式時(shí)的優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)，從而得到一個(gè)初步的結(jié)論。

例題1：平臺(tái)型斜拋問(wèn)題

如圖，在一個(gè)高為H的平臺(tái)上，將一個(gè)物體以速度v0斜向上拋出，物體最終落在另一個(gè)高為h的平臺(tái)上，求：當(dāng)物體剛好落在另一個(gè)平臺(tái)上時(shí)的速度v。

1.使用動(dòng)能定理：

解：W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（H-h）

Ek2=12mv2

Ek1=12mv02

所以有mg（H-h）=12mv2-12mv02

解得v=gH-h+v02

2.使用機(jī)械能守恒定律：

解：將地面定義為零勢(shì)面

E=Ek1+Ep1

Ek1=12mv02；Ep1=mgH

E`=Ek2+Ep2

Ek2=12mv2；Ep2=mgh

由于只有重力作用，所以E=E`

故有12mv02+mgH=12mv2+mgh

解得v=gH-h+v02

評(píng)價(jià)：在這一題中，使用動(dòng)能定理的話步驟更少，但使用機(jī)械能守恒定律條理清晰，步驟也不是很多，這一場(chǎng)不分高下。

例題2：公路交通工具行駛問(wèn)題

一輛在公路上行駛的汽車，質(zhì)量m=5×103kg，行駛過(guò)程可以看為勻變速運(yùn)動(dòng)，從靜止開(kāi)始加速的路程為5.0×102m時(shí)，開(kāi)始勻速行駛，行駛速度v=72km/h，在此過(guò)程中汽車受到的阻力是其重量的0.02倍，求引擎提供的牽引力。

1.使用動(dòng)能定理：

分析：和上一題不同的是，這一題中研究對(duì)象一共受到四個(gè)力——重力，支持力，阻力，牽引力——的作用，而其中重力是不做功的！做功的是阻力和牽引力。為此，W的表述就要適當(dāng)斟酌一下了。

解：W=Ek2-Ek1

W=Wf+WF=f（-lf）+FlF=-flf+FlF

Ek2=12mv2

Ek1=12mv02=0

所以有-flf+FlF=12mv2-12mv02

解得F=12mv2+flflF

代入數(shù)據(jù)：F=3000N

2.使用機(jī)械能守恒定律：

由于涉及到了非保守力——也就是阻力和牽引力——做功，機(jī)械能守恒定律無(wú)法使用。

評(píng)價(jià)：至此，機(jī)械能守恒定律的最大缺陷暴露無(wú)遺：由于其擁有“只有保守力做功”這一限制度超高的使用條件，導(dǎo)致了面對(duì)相當(dāng)數(shù)量的問(wèn)題時(shí)，機(jī)械能守恒定律根本無(wú)法使用。而這時(shí)，動(dòng)能定理則因?yàn)槠浜翢o(wú)限制而大展神威。

例題3：豎拋問(wèn)題

以10m/s的速度將質(zhì)量為m的物體從地面豎直向上拋出，若忽略空氣阻力，求于上升過(guò)程中何處重力勢(shì)能與動(dòng)能相等？（默認(rèn)地面為參考面）

1.使用動(dòng)能定理：

解析：這一題對(duì)動(dòng)能定理相當(dāng)不友好，原因在于終點(diǎn)的位置高度——涉及過(guò)程中外力做功——和終點(diǎn)時(shí)的速度——涉及到末動(dòng)能——全部沒(méi)有給出，那是不是說(shuō)就不能使用動(dòng)能定理了呢？也不盡然，盡管終點(diǎn)位置高度與終點(diǎn)速度均未給出，我們依然可以先將其待定，再想辦法消去即可。

解：設(shè)起點(diǎn)為A，則衍生出初始高度為hA，初始速度為vA；

設(shè)在上升過(guò)程中，當(dāng)球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，其重力勢(shì)能與動(dòng)能相等，則衍生出當(dāng)時(shí)高度為hB，速度為vB.

則有W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（hA-hB）=-mghB

Ek2=12mvB2

Ek1=12mvA2

所以有-mghB=12mvB2-12mvA2

根據(jù)題意：可得mghB=12mvB2

所以可得12mvA2=2mghB

解得hB=vA24g

代入數(shù)據(jù)得hB=2.5m

2.使用機(jī)械能守恒定律：

解析：這一題只有重力做功，機(jī)械能守恒定律可以使用。

解：地面為零勢(shì)面

EA=EKA+EPA

EkA=12mvA2；EpA=mgH=0

EB=EKB+EPB

EKB=12mvB2；EPB=mghB

由于只有重力作用，所以EA=EB

故有12mvA2=12mvB2+mghB

根據(jù)題意：可得mghB=12mvB2

所以可得12mvA2=2mghB

解得hB=vA24g

代入數(shù)據(jù)得hB=2.5m

評(píng)價(jià)：在這種過(guò)程模糊的題目條件中，機(jī)械能守恒定律開(kāi)始體現(xiàn)其優(yōu)勢(shì)，由于其本身只強(qiáng)調(diào)注重個(gè)別的點(diǎn)狀態(tài)，模糊的過(guò)程對(duì)其而言沒(méi)有任何意義——因?yàn)槭褂脵C(jī)械能守恒定律是會(huì)繞開(kāi)“有力做功”這一過(guò)程的。而動(dòng)能定律本身要以“有力做功”作為起點(diǎn)展開(kāi)，因此過(guò)程的模糊會(huì)導(dǎo)致思維過(guò)程的復(fù)雜化，這就導(dǎo)致了學(xué)生有可能在面對(duì)這種類型的題目時(shí)感到無(wú)從下手——因?yàn)檎也坏酵黄泣c(diǎn)——最終解題失敗。

例題4：斜面滑行問(wèn)題

質(zhì)量為m的物體從高為h，傾角為α的斜面頂端A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿斜面下滑，已知斜面視為光滑面，則物體到達(dá)斜面底端的速度為多大？

1.使用動(dòng)能定律：

解析：起始速度，起始高度，終末高度已知，又只有重力做功，本質(zhì)而言與平臺(tái)斜拋問(wèn)題沒(méi)什么不同，常規(guī)解題即可。

解：W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（h-0）

Ek2=12mv2

Ek1=12mvA2

所以有mg（h-0）=12mv2-12mvA2

解得v=gh

2.使用機(jī)械能守恒定律：

解析：所有需要的條件已全部給出，常規(guī)解題即可。

解：將地面定義為零勢(shì)面

EA=EkA+EpA

EkA=12mvA2=0；EpA=mgh

E`=Ek2+Ep2

Ek2=12mv2；Ep2=mgH=0

由于只有重力作用，所以E=E`

故有0+mgH=12mv2+0

解得v=gh

評(píng)價(jià)：在這種類型的題目中，動(dòng)能定理又顯得比機(jī)械能守恒定律更加簡(jiǎn)潔、方便。順帶一提，如果說(shuō)將題目中的斜面由光滑面改為有摩擦系數(shù)的粗糙面，則對(duì)于動(dòng)能定理而言，只是增加了公式推導(dǎo)的復(fù)雜度而已；但對(duì)于機(jī)械能守恒定律來(lái)說(shuō)，這一題將會(huì)成為無(wú)法完成的任務(wù)——因?yàn)槎喑隽艘粋€(gè)非保守力在做功。

結(jié)論

雖然動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律都是用于解決力學(xué)問(wèn)題的重要公式，但通過(guò)以上的對(duì)比，我們可以初步得到以下結(jié)論：

1.在大部分情況下，動(dòng)能定理均優(yōu)于機(jī)械能守恒定律，其過(guò)程更加簡(jiǎn)潔，思路更加直白，使用更加方便；

2.如果習(xí)題本身對(duì)于運(yùn)動(dòng)過(guò)程的描述比較模糊，或起點(diǎn)或終點(diǎn)某一點(diǎn)的狀態(tài)描述不明，那由于機(jī)械能守恒定律有較低的條件依賴度，采用它是一個(gè)好主意；

3.如果題目本身不允許使用機(jī)械能守恒定律——一般就是有非保守力做功——那只能采用動(dòng)能定理。

為此，平時(shí)的教學(xué)中，可以有意側(cè)重于動(dòng)能定理的教學(xué)，并加強(qiáng)這一方面的訓(xùn)練。而對(duì)于機(jī)械能守恒定律，則更優(yōu)先側(cè)重于使學(xué)生了解什么情況下采用機(jī)械能守恒定律更合適。讓學(xué)生自己體會(huì)出合適的策略，扎實(shí)而靈活地運(yùn)用這兩枚金鑰匙來(lái)解決面前的難題。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市湖濱中學(xué)）

例題4：斜面滑行問(wèn)題

質(zhì)量為m的物體從高為h，傾角為α的斜面頂端A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿斜面下滑，已知斜面視為光滑面，則物體到達(dá)斜面底端的速度為多大？

1.使用動(dòng)能定律：

解析：起始速度，起始高度，終末高度已知，又只有重力做功，本質(zhì)而言與平臺(tái)斜拋問(wèn)題沒(méi)什么不同，常規(guī)解題即可。

解：W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（h-0）

Ek2=12mv2

Ek1=12mvA2

所以有mg（h-0）=12mv2-12mvA2

解得v=gh

2.使用機(jī)械能守恒定律：

解析：所有需要的條件已全部給出，常規(guī)解題即可。

解：將地面定義為零勢(shì)面

EA=EkA+EpA

EkA=12mvA2=0；EpA=mgh

E`=Ek2+Ep2

Ek2=12mv2；Ep2=mgH=0

由于只有重力作用，所以E=E`

故有0+mgH=12mv2+0

解得v=gh

評(píng)價(jià)：在這種類型的題目中，動(dòng)能定理又顯得比機(jī)械能守恒定律更加簡(jiǎn)潔、方便。順帶一提，如果說(shuō)將題目中的斜面由光滑面改為有摩擦系數(shù)的粗糙面，則對(duì)于動(dòng)能定理而言，只是增加了公式推導(dǎo)的復(fù)雜度而已；但對(duì)于機(jī)械能守恒定律來(lái)說(shuō)，這一題將會(huì)成為無(wú)法完成的任務(wù)——因?yàn)槎喑隽艘粋€(gè)非保守力在做功。

結(jié)論

雖然動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律都是用于解決力學(xué)問(wèn)題的重要公式，但通過(guò)以上的對(duì)比，我們可以初步得到以下結(jié)論：

1.在大部分情況下，動(dòng)能定理均優(yōu)于機(jī)械能守恒定律，其過(guò)程更加簡(jiǎn)潔，思路更加直白，使用更加方便；

2.如果習(xí)題本身對(duì)于運(yùn)動(dòng)過(guò)程的描述比較模糊，或起點(diǎn)或終點(diǎn)某一點(diǎn)的狀態(tài)描述不明，那由于機(jī)械能守恒定律有較低的條件依賴度，采用它是一個(gè)好主意；

3.如果題目本身不允許使用機(jī)械能守恒定律——一般就是有非保守力做功——那只能采用動(dòng)能定理。

為此，平時(shí)的教學(xué)中，可以有意側(cè)重于動(dòng)能定理的教學(xué)，并加強(qiáng)這一方面的訓(xùn)練。而對(duì)于機(jī)械能守恒定律，則更優(yōu)先側(cè)重于使學(xué)生了解什么情況下采用機(jī)械能守恒定律更合適。讓學(xué)生自己體會(huì)出合適的策略，扎實(shí)而靈活地運(yùn)用這兩枚金鑰匙來(lái)解決面前的難題。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市湖濱中學(xué)）

例題4：斜面滑行問(wèn)題

質(zhì)量為m的物體從高為h，傾角為α的斜面頂端A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿斜面下滑，已知斜面視為光滑面，則物體到達(dá)斜面底端的速度為多大？

1.使用動(dòng)能定律：

解析：起始速度，起始高度，終末高度已知，又只有重力做功，本質(zhì)而言與平臺(tái)斜拋問(wèn)題沒(méi)什么不同，常規(guī)解題即可。

解：W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（h-0）

Ek2=12mv2

Ek1=12mvA2

所以有mg（h-0）=12mv2-12mvA2

解得v=gh

2.使用機(jī)械能守恒定律：

解析：所有需要的條件已全部給出，常規(guī)解題即可。

解：將地面定義為零勢(shì)面

EA=EkA+EpA

EkA=12mvA2=0；EpA=mgh

E`=Ek2+Ep2

Ek2=12mv2；Ep2=mgH=0

由于只有重力作用，所以E=E`

故有0+mgH=12mv2+0

解得v=gh

評(píng)價(jià)：在這種類型的題目中，動(dòng)能定理又顯得比機(jī)械能守恒定律更加簡(jiǎn)潔、方便。順帶一提，如果說(shuō)將題目中的斜面由光滑面改為有摩擦系數(shù)的粗糙面，則對(duì)于動(dòng)能定理而言，只是增加了公式推導(dǎo)的復(fù)雜度而已；但對(duì)于機(jī)械能守恒定律來(lái)說(shuō)，這一題將會(huì)成為無(wú)法完成的任務(wù)——因?yàn)槎喑隽艘粋€(gè)非保守力在做功。

結(jié)論

雖然動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律都是用于解決力學(xué)問(wèn)題的重要公式，但通過(guò)以上的對(duì)比，我們可以初步得到以下結(jié)論：

1.在大部分情況下，動(dòng)能定理均優(yōu)于機(jī)械能守恒定律，其過(guò)程更加簡(jiǎn)潔，思路更加直白，使用更加方便；

2.如果習(xí)題本身對(duì)于運(yùn)動(dòng)過(guò)程的描述比較模糊，或起點(diǎn)或終點(diǎn)某一點(diǎn)的狀態(tài)描述不明，那由于機(jī)械能守恒定律有較低的條件依賴度，采用它是一個(gè)好主意；

3.如果題目本身不允許使用機(jī)械能守恒定律——一般就是有非保守力做功——那只能采用動(dòng)能定理。

為此，平時(shí)的教學(xué)中，可以有意側(cè)重于動(dòng)能定理的教學(xué)，并加強(qiáng)這一方面的訓(xùn)練。而對(duì)于機(jī)械能守恒定律，則更優(yōu)先側(cè)重于使學(xué)生了解什么情況下采用機(jī)械能守恒定律更合適。讓學(xué)生自己體會(huì)出合適的策略，扎實(shí)而靈活地運(yùn)用這兩枚金鑰匙來(lái)解決面前的難題。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市湖濱中學(xué)）