陳頌 閆曉芳

摘 要：包絡(luò)在數(shù)學中是一個很基本的概念，在各個學科上都有自己獨特的含義。通過討論包絡(luò)在數(shù)學中的概念，研究和數(shù)學聯(lián)系非常緊密的經(jīng)濟學中包絡(luò)的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：包絡(luò)；包絡(luò)定理；克萊羅方程

包絡(luò)，形象地說就是許多橢圓形曲線交織，外觀看起來是包起來的一樣，故名包絡(luò)。它在數(shù)學、物理學、文學、經(jīng)濟學、地質(zhì)學、傳統(tǒng)中醫(yī)學等上都有自己獨特的含義。本文主要討論包絡(luò)在數(shù)學中的概念，以及和數(shù)學聯(lián)系非常緊密的經(jīng)濟學中的應(yīng)用。本文共分五個部分，具體如下：

一、包絡(luò)的概念

在數(shù)學上，一族平面直線（或曲線）的“包絡(luò)”（envelope）是指一條與這族直線（或曲線）中任意一條都相切的曲線。假設(shè)這族平面曲線記為F（t，x，y），這里不同的t對應(yīng)著曲線族中不同的曲線，則包絡(luò)線上的每一點滿足下面的兩條方程：

F（t，x，y）=0■（t，x，y）=0

由這兩條方程消去t后便可得出包絡(luò)線的隱式表示。類似地可以定義空間中一族平面（或曲面）的包絡(luò)。

數(shù)學中包絡(luò)線的例子很多。例如，繡曲線是包絡(luò)線；直線族（A-s）x+sy=（A-s）（s）（其中A是常數(shù)，s是直線族的變量）的包絡(luò)線為拋物線。

二、包絡(luò)在幾何中的概念

幾何中有包絡(luò)原理（the envelope principle），它的定義為：平面內(nèi)，以A、B為頂點的一條線段的一側(cè)有若干個點，與A，B相連構(gòu)成一個凸多邊形，則該圖形除AB外所有邊之和大于AB；

若在該圖形之外且在AB同側(cè)有另外若干點與AB構(gòu)成另一個凸多邊形，則此多邊形的周長大于上一圖形的周長。

利用此原理，可證明一個圓的周長大于其內(nèi)接凸多邊形，小于其外切凸多邊形，進而可以不斷地縮小π的取值范圍。

三、包絡(luò)在微分方程中的概念

在微分方程中，一階微分方程的奇解是通解曲線族的包絡(luò)。例如，在常微分方程克萊羅（Clairaut）方程u=tu′+f（u）′中，兩邊對t取導(dǎo)數(shù)，得：u′=u′+tu′+f′（u′）u″整理得：（t+f′（u′））u″=0

由此可知u″=0或u″=-t.當u″=0時，u=Ct+f（C），稱為克萊羅方程的一般解。當u′=-t時，只有一個解，其圖像是一般解的圖像的包絡(luò)線。也就是說，克萊羅方程的通解是直線族，而奇解是克萊羅方程的奇積分曲線，對應(yīng)的是通解的包絡(luò)。用圖形可以非常直觀的表示出來，這樣也可以更好地理解這一概念。

四、包絡(luò)在光學中的應(yīng)用

科學家惠更斯提出了包絡(luò)面理論，他認為，在波的傳播過程中，總可以找到同相位各點的幾何位置，這些點的軌跡是一個等相位面，叫做波面（即包絡(luò)面）。

惠更斯是世界知名物理學家、天文學家、數(shù)學家和發(fā)明家。他曾提出次波的假設(shè)來闡述波的傳播現(xiàn)象，創(chuàng)建惠更斯原理?；莞乖砜杀硎鋈缦拢喝魏螘r刻波面上的每一點都可作為次波的波源，各自發(fā)出球面次波；在以后的任何時刻，所有這些次波面的包絡(luò)面形成整個波在該時刻的新波面。光的直線傳播、反射、折射等都能以此來進行較好的解釋。此外，惠更斯原理還可解釋晶體的雙折射現(xiàn)象。

起初惠更斯原理是比較簡單的，用它只能解釋波繞過障礙物的非直線傳播，而不能解釋衍射現(xiàn)象產(chǎn)生的明暗條紋。菲涅耳在惠更斯原理的基礎(chǔ)上，補充了描述次波的基本特征——位相和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干疊加”的原理，從而發(fā)展成為惠更斯—菲涅耳原理。

菲涅耳以惠更斯原理和干涉原理為基礎(chǔ)，用新的定量形式建立了惠更斯—菲涅耳原理，完善了光的衍射理論。由于他在物理光學研究中的重大成就，被譽為“物理光學的締造者”。

五、包絡(luò)在經(jīng)濟學中的應(yīng)用

包絡(luò)在經(jīng)濟學上指的是每條包絡(luò)線上，在連續(xù)變化的每一個產(chǎn)量水平上，都存在著長期成本LTC曲線和一條短期成本STC曲線的相切點。

經(jīng)濟上的包絡(luò)定理考慮含參量a的函數(shù)f（x，a）的無條件極值問題（x是內(nèi)生變量，a是外生變量），顯然，其最優(yōu)解V是參量a的函數(shù)，即V（a）。

包絡(luò)定理指出：V對a的導(dǎo)數(shù)等于f對a的偏導(dǎo)數(shù)（注意是f對“a所在位”變量的偏導(dǎo)數(shù)）。

包絡(luò)定理主要用于比較靜態(tài)分析。比如，價格P1變化對效用最大值的邊際影響，包絡(luò)定理，求拉格朗日方程對P1的偏導(dǎo)就能得到，其結(jié)果是-X1*λ，其中X1是需求量，λ是拉格朗日乘子。

這里注意，事實上λ和X1也都是價格的函數(shù)。但包絡(luò)定理的結(jié)論是，在求偏導(dǎo)的時候不用考慮這一點。

參考文獻：

[1]陳維桓.微分幾何[M].北京大學出版社，2006.

[2]Eugene Siberberg，Wing Suen.The Siructure of Ecinomics[M].北京：清華大學出版社，2003.

作者簡介：陳頌，女，1985年7月出生，碩士，就職于河南省永城市永城職業(yè)學院，研究方向：數(shù)學教學。

閆曉芳，女，1980年5月出生，碩士，就職于河南省永城市永城職業(yè)學院，研究方向：數(shù)學教學。