林 祺，林 僖

（1.中山大學(xué)嶺南（大學(xué)）學(xué)院金融系，廣東 廣州 510275；2.中國工商銀行上海市分行，上海 200120）

一、引 言

股票價格決定理論一直都是現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)理論研究的核心問題之一。股票價格的波動遵循何種分布、有無規(guī)律可循，關(guān)系到股票價格的確定及股權(quán)類金融衍生產(chǎn)品的定價問題。因此，對股票價格波動行為問題展開深入研究具有重要的理論與現(xiàn)實意義，它將為各種以股票為標(biāo)的資產(chǎn)的金融衍生工具的運用提供重要的定價參考依據(jù)。

關(guān)于股票價格波動行為的研究由來已久，國內(nèi)外學(xué)者已對股票價格的波動行為提出了各種理論解釋。對股票價格波動行為的文獻(xiàn)，最早是從Cootner[1]對股票價格的“隨機(jī)游走假說”的模型描述開始的。自Cootner這一開創(chuàng)性的研究之后，股票價格的波動服從“幾何布朗運動”這一假設(shè)在現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的分析中得到廣泛應(yīng)用。Fama[2]的研究得出，股票價格收益率序列在統(tǒng)計上不具有“記憶性”，所以投資者無法根據(jù)歷史的價格來預(yù)測其未來的走勢。Black and Scholes[3]在此基礎(chǔ)上提出了著名的Black-Scholes微分方程及歐式看漲期權(quán)的解析解，為股權(quán)類衍生工具的定價開啟了先河。Richardson and Smith[4]對股票收益率服從多元正態(tài)分布進(jìn)行了實證研究，其認(rèn)為股票收益率和市場模型參差是非正態(tài)分布的，這種非正態(tài)分布既出現(xiàn)在資產(chǎn)收益率的邊際分布中，也出現(xiàn)在資產(chǎn)收益率的聯(lián)合分布中。Trabelsi和Oueslati[5]使用突尼斯證券交易市場的數(shù)據(jù)，對股票價格基于新信息的動態(tài)調(diào)整現(xiàn)象進(jìn)行了研究，結(jié)果表明基于 Amihud和 Mendelson（1987）、Damodoran（1993）、Brisley和Theobald（1996）的股價行為模型不能很好地解釋新興證券市場不同時期各種證券對新信息的過度反應(yīng)現(xiàn)象。Vagnani[6]研究了基于Black-Scholes模型的隱含波動率微笑的問題，并在不確定世界中對Black-Scholes模型的機(jī)構(gòu)化含義進(jìn)行了深入的分析，同時運用模型模擬、實證研究和數(shù)學(xué)推導(dǎo)等方法，得出波動率微笑與交易者的行為有關(guān)的結(jié)論。

國內(nèi)關(guān)于股票價格的波動性質(zhì)的研究起步較晚，且國內(nèi)現(xiàn)有的大部分研究主要集中在股票價格波動分布的研究上。翟愛梅等[7]借助力學(xué)領(lǐng)域中的塑性理論，建立了基于價格和成交量的股價塑性模型，得出被鎖定的流通股數(shù)量越大，股價塑性系數(shù)就越大。根據(jù)對個股不同時段塑性系數(shù)的比較，可以識別流通股有無被鎖定的現(xiàn)象。趙巍和何建敏[8]在股價收益的時變性和波動的長記憶性兩個方面的基礎(chǔ)上，得到了分?jǐn)?shù)市場環(huán)境中的期權(quán)定價模型，并證明了布朗運動和Ornstein-Uhlenback過程驅(qū)動的期權(quán)定價模型均是分?jǐn)?shù)市場環(huán)境中的期權(quán)定價模型的特例，并通過算例驗證了長記憶參數(shù)H是期權(quán)定價中不可忽略的因素。余文利等[9]提出一種新的基于HMM的股票價格預(yù)測的方法，采用CBIC算法自動確定HMM隱狀態(tài)數(shù)，并建立相應(yīng)的HMM以進(jìn)行單步值預(yù)測。通過與Hassan等人的HMM fusion model方法、ARIMA方法進(jìn)行了比較，實證表明所提出的預(yù)測算法在股票價格預(yù)測中，比現(xiàn)有的不更新模型的方法能得到更好的結(jié)果。此外，代表性的還包括林勇和郭林軍[10]、范申等[11]、顧鈺[12]和馬永亮等[13]等人的研究。

從現(xiàn)有文獻(xiàn)來看，大部分文獻(xiàn)主要集中在研究股票價格波動分布上，對有關(guān)股票價格與其內(nèi)在價值相關(guān)關(guān)系的深入研究仍然較少。因此，對于股票價格與其內(nèi)在價值相關(guān)關(guān)系問題做進(jìn)一步深入研究就具有十分重要的理論和現(xiàn)實意義。這將有助于加深我們對股票價格波動性質(zhì)的深入理解。有鑒于此，本文嘗試著在傳統(tǒng)金融經(jīng)濟(jì)學(xué)股票價格波動服從幾何布朗運動的假設(shè)基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，力圖使股價的波動有一個更完整的理論基礎(chǔ)。本文摒棄了傳統(tǒng)股價波動模型關(guān)于股價期望收益率恒定不變的假定，建立了股票價格波動的價值回復(fù)模型，并在此基礎(chǔ)上對股票價格的期望收益率進(jìn)行了內(nèi)生化處理，并推導(dǎo)了上市公司價值的波動模式，以便更好地理解現(xiàn)實中股票的價格波動現(xiàn)象和為現(xiàn)實中的股票和股權(quán)類金融衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價。

二、傳統(tǒng)股票價格波動遵循幾何布朗運動假設(shè)的局限性

長期以來，我們研究股票的價格波動時總是習(xí)慣從經(jīng)典的假設(shè)開始，即股票價格的波動服從幾何布朗運動。正是由于股票價格的波動是遵循Markov過程，因此股票價格的波動是無自相關(guān)的，當(dāng)前的股票價格無助于預(yù)測未來的股票價格。Markov性質(zhì)隱含了在將來任一特定時刻股價的概率分布與股票過去特定的運動路徑無關(guān)的假定，因此Markov過程其實與證券市場是弱勢有效是相一致的。

首先，在Markov過程的前提下，我們假設(shè)股票價格的期望收益率為μ，波動率為σ，則股票價格的波動可以表示為dS=μSdt+σSdz。由于股價的增長率服從均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，因此其波動具有隨機(jī)性。然而，假設(shè)股價存在長期的增長趨勢，即股價以期望收益率μ增長，這一假設(shè)存在局限性，因為其只考慮了影響股票價格的一些外生因素，而忽視了股票價格的基本決定因素——股票的內(nèi)在價值。股票的內(nèi)在價值是公司基本面決定的本身所固有的價值，可表示為VP（t）=，V（t）為公司的價值，其等于公司的權(quán)益價值與公司的負(fù)債價值之和，即V＝E+ L。因此，股票的價格絕不會長久地偏離其公司的每股價值，否則有效市場上的套利活動就會將股票的價格拉回到其合理的價格水平上，即股票的價格會不斷地向其價值回復(fù)，本文把這種現(xiàn)象稱之為股票價格的價值回復(fù)（value reversion）。而在dS=μSdt+σSdz中，我們看不到任何有關(guān)公司價值的信息，更看不到任何股票價格的價值回復(fù)的信息。

其次，雖然股票的價格會隨著經(jīng)濟(jì)大趨勢的波動而上下波動，甚至?xí)霈F(xiàn)暴漲暴跌的極端情況；但是，如果我們把時間放得長一點，就會發(fā)現(xiàn)股票的價格并不是在沒有規(guī)律地上下波動，而是穩(wěn)定地圍繞著公司的價值上下波動。當(dāng)公司的價值上升時（如超過預(yù)期的盈利，開發(fā)了某種至今還未被發(fā)現(xiàn)的潛在需求來滿足消費者的需求等），股票的價格會趨于上升。相反，當(dāng)公司的價值下降時，股票的價格也會跟著趨于下降。從長期來看，隨著公司的成長，公司的價值是不斷增長的，所以股票的價格也會跟著公司價值的增長而不斷地上升，圍繞其價值波動（雖然期間可能會由于外生的因素影響而出現(xiàn)短暫的偏離），并不斷向其價值回復(fù)。

根據(jù)dS=μSdt+σSdz，假定其他因素不變時，當(dāng)期望收益率μ上升時，股價S也會有上升的趨勢。為了簡化起見，我們先不考慮股票價格的波動率，即我們先假設(shè)股票價格的波動率為0的極端情況：

由dS=μSdt+σSdz和σ=0，我們可得dS= μSdt。兩邊同時除以S，得=μdt。在0～T的時間段內(nèi)求積分，即可得。兩邊除以S0，結(jié)果為

由（1）可知，當(dāng)S0給定時，μ的上升會使ST也隨之上升。但是，當(dāng)一個公司走過其成熟期而進(jìn)入到衰退期時，此時公司的經(jīng)營風(fēng)險將會隨著經(jīng)營時間的延長而不斷增長，盈利會減少，成長性的投資機(jī)會（PVGO）會趨于零，此時投資者會要求一個較高的預(yù)期回報率（這是因為這時的公司對系統(tǒng)性風(fēng)險的反應(yīng)靈敏度增加，對系統(tǒng)性風(fēng)險的抵抗力下降所致），來彌補其所承擔(dān)的風(fēng)險，因此公司的價值也會跟著減少，股價下跌。這就出現(xiàn)了矛盾，根據(jù)，μ上升，eμT會跟著上升，0也上升，即預(yù)示著未來股價會比現(xiàn)時股價更高。但隨著衰退期的持續(xù)，公司只會越來越虧損，其價值只會不斷減少，直至最后資不抵債而完全退出市場或被其他公司兼并。所以，dS=μSdt+ σSdz中假定漂移率μ恒定是存在局限性的，一旦將μ內(nèi)生化我們就會發(fā)現(xiàn)股價比并不是以恒定不變的期望收益率μ增長的，而是由股票的內(nèi)在價值決定的。因此，更確切地說，我們需要改變以往的觀點，以“回復(fù)”的新觀點重新看待股票價格的波動問題。

三、股票價格的價值回復(fù)理論

根據(jù)公司金融理論可知，股票的價格由其所代表的公司的每股價值（公司的價值=公司的權(quán)益價值+公司的負(fù)責(zé)價值，即V＝E+L，每股價值決定的。

由價值可加性原理和價值守恒定律，我們知道一個公司的價值應(yīng)等于其所投資的各個投資項目的未來期望現(xiàn)金流現(xiàn)值的總和。

因此，可以得出一個公司的價值在第0期應(yīng)等于

其中，E0（NCFt）為投資者在第0期對第t期公司的凈現(xiàn)金流的期望值。而第t期的期望現(xiàn)金流凈現(xiàn)值應(yīng)為投資者在第0期對第t期公司投資的m個項目的期望現(xiàn)金流的凈現(xiàn)值之和，即

這里的第0期只是一個記號，并不一定是指公司剛成立的時期。

同樣，在第1期時該公司的價值可以用下式表示：

以此類推，在第n期時我們有

我們知道，股票的價格由于受到供求雙方對未來股票價值不同預(yù)期的共同影響而圍繞其價值上下波動。當(dāng)股票價格偏離其價值時，在有效市場上由于套利活動的進(jìn)行，其價格會不斷地向其價值回復(fù)。且當(dāng)市場均衡時我們有VP（t）=S（t）。因此，股票價格的變動可以用下式重新表示為：

其中，VP（t）是第t期股票的每股價值，VP（t）=假設(shè)公司不發(fā)行優(yōu)先股）。

σ是股票價格的波動率，它是服從幾何布朗運動的。研究表明，σ也存在均值回復(fù)的現(xiàn)象，可以用EWMA（不考慮其均值回復(fù)現(xiàn)象）或GARCH（p，q）（考慮其均值回復(fù)現(xiàn)象）等方法回歸得到。但是，有證據(jù)表明股票的價格與其波動率呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。Rubinstein[14，15]，Jackwerth和Rubinstein[16]研究過權(quán)益性期權(quán)的波動率微笑問題，發(fā)現(xiàn)其波動率會出現(xiàn)傾斜情況（volatility skew）。

為了進(jìn)一步研究股票價格的均值回復(fù)現(xiàn)象，我們假設(shè)a為股票價格向其價值回復(fù)的速率，即當(dāng)VP（t）≠S時，股價以a的速度向VP（t）回復(fù)。因此，一國的證券市場越有效，證券價格一旦偏離其內(nèi)在價值時應(yīng)該以更快的速度向其內(nèi)在價值回復(fù)，即a應(yīng)是E的函數(shù)，記為a（E），這里E為證券市場有效性指標(biāo)。證券市場越有效，E的取值應(yīng)該越大。因此，a（E）越大，則證券市場越有效。所以a′（E）>0。

一個公司的盈利能力決定了一個公司的股東可以從公司獲得回報的多少，同時也決定了其股票的內(nèi)在價值。由于存在規(guī)模報酬效應(yīng)和受邊際報酬遞減規(guī)律的制約，一個公司的價值不可能趨向于∞，公司經(jīng)過一個高速增長期之后，必然會進(jìn)入一個相對穩(wěn)定的增長期，并最終步入衰退期。因此，一個公司的價值增長軌跡可以由圖1表示：

圖1 公司總價值V（t）的時間增長趨勢圖

假設(shè)公司不增發(fā)股票，且不付紅利（無此假設(shè)也不影響下文結(jié)論）。例如當(dāng)一個公司流通中的普通股股份↑→VP（t）↓，繼而S↓。雖然股票價格的波動依然遵循幾何布朗運動，但是當(dāng)S>VP（t）時，股票的價格有下降的趨勢；當(dāng)S

圖2 股票價格的價值回復(fù)現(xiàn)象注：圖中的大括號為正態(tài)分布概率密度函數(shù)，下同。

四、期望收益率μ內(nèi)生化和上市公司的價值波動

在傳統(tǒng)金融經(jīng)濟(jì)學(xué)研究股票定價問題時所采用的dS=μSdt+σSdz中，我們假定股票價格的波動服從幾何布朗運動，且期望收益率μ是恒定不變的。圖3所示的是當(dāng)μ恒定不變時，股票價格隨時間增長的變化趨勢。根據(jù)，μ上升，eμT也會跟著上升，繼而也上升，即未來股價將會比現(xiàn)時的股價還要高。但是公司一旦進(jìn)入衰退期，其經(jīng)營只會越來越虧損，期望的現(xiàn)金流量會大幅縮水，公司的內(nèi)在價值也會減少，以至最后完全退出市場。所以，這種恒定不變的漂移率是值得商榷的。因此我們將期望收益率進(jìn)行內(nèi)生化。將期望收益率內(nèi)生化可以使我們得出μ與現(xiàn)實更符合的一些新結(jié)論。

圖3 μ恒定不變，股票價格隨時間增長的趨勢圖

我們知道，股東對公司要求的期望回報率應(yīng)該與該公司面臨的其所不能分散的系統(tǒng)性風(fēng)險正相關(guān)。回顧公司成長的歷程，在公司起步并進(jìn)入成長期時，此時的公司對系統(tǒng)性風(fēng)險的反應(yīng)靈敏度較大，股東對公司要求的回報率也應(yīng)該較高。相反，當(dāng)公司進(jìn)入成熟期后，經(jīng)營穩(wěn)定，風(fēng)險也較小，股東此時的期望回報率也應(yīng)相應(yīng)減少。當(dāng)公司進(jìn)入衰退期后，由于風(fēng)險的加大，此時投資者會要求一個較高的預(yù)期回報率來彌補其所承擔(dān)的風(fēng)險，因此公司的價值也會跟著減少，從而引起股價的下跌，見圖4。

圖4 每股價值與股東對公司要求的期望回報率趨勢圖

由于V（t）與VP（t）呈正比例關(guān)系，因此V（t）也可以用VP（t）代替。由此，VP（t）↑→μ↓，且μ始終大于rf。但現(xiàn)實中的μ不僅受公司所處生命周期階段的影響，也受宏觀經(jīng)濟(jì)狀況（或市場組合期望收益率rm）變動的影響。

現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)認(rèn)為，經(jīng)濟(jì)的運行并不存在任何規(guī)律性或周期性的形式。不同類型和大小的擾動，以隨機(jī)的方式影響實體經(jīng)濟(jì)，產(chǎn)出的增長大致對稱地圍繞其均值分布，經(jīng)濟(jì)周期并不存在（Romer[17]）。

假設(shè)一個社會的生產(chǎn)函數(shù)可由柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)表示：

其中0＜α<1，0＜β＜1，At=λAt-1+εt，0＜λ＜1。εt是一個隨機(jī)擾動項，它以隨機(jī)的方式來影響全要素生產(chǎn)率A。因此，我們可知Yt是一個維納過程。如果證券市場是完美市場（perfect market），即證券市場上的信息是充分且對稱的，則任何的總供給沖擊或外生的技術(shù)沖擊必然會以最快的速度在證券價格上表現(xiàn)出來。由于產(chǎn)出的變化是隨機(jī)擾動的，因此證券市場的價格也應(yīng)是隨機(jī)擾動的，即證券價格的變動遵循隨機(jī)游走過程，故證券市場的期望收益率rm也應(yīng)遵循隨機(jī)游走過程。但是證券市場的價格并不是機(jī)械地隨著Yt的變動而變動，其反應(yīng)的是整個系統(tǒng)性風(fēng)險的變動。因此，其它系統(tǒng)性風(fēng)險中組成要素的變動（如總需求沖擊、未預(yù)期到的財政貨幣政策干預(yù)等）也會引起證券市場價格的變動，見圖5。

圖5 每股價值與ε（rm）變動的情況

假設(shè)rm以函數(shù)ε（rm）的方式影響0，則我們可以把每股價值表示為下式：

其中Fu<0，F(xiàn)ε>0，εrm<0

令Eε（rm）=0，Var[ε（rm）]=σ2，當(dāng)市場效率不變時，我們有

因此，我們可以得到a（E）·ε（rm）的維納過程表達(dá)式：

由于證券市場的價格并不是機(jī)械地隨著Yt的變動而變動，而是反映整個系統(tǒng)性風(fēng)險的變動，因此，證券市場的價格有時會與Yt的變動不同步，甚至相背離，即出現(xiàn)證券市場價格指數(shù)漲跌幅度與GDP不同步的現(xiàn)象。

由以上的分析可知，圖2可修正為圖6。

圖6 股票價格的修正價值回復(fù)現(xiàn)象

此外在有效市場上上市公司的價值也是隨機(jī)游走的。根據(jù)金融經(jīng)濟(jì)學(xué)和公司理財學(xué)的基本觀點，我們知道公司的價值是由其所發(fā)放的股利的現(xiàn)值總和決定的。

設(shè)V（t）為在第t期時公司的價值，Dt為第t期公司發(fā)放的股利總和，Bt為第t期時公司已有的凈現(xiàn)金流量，Et（NCFt+s）為在第t期預(yù)期的第t+ s期公司的凈現(xiàn)金流量，Et+1（NCFt+s）為在第t+1期預(yù)期的第t+s期公司的凈現(xiàn)金流量，r為公司的WACC，且假定為常數(shù)。

則公司在第t期時公司的價值為

且

故，公司在第t+1期時的價值可以表示為

根據(jù)上面的推導(dǎo)和理性預(yù)期理論的觀點，我們可以看出在任何一個時點上，金融市場的參與者都會根據(jù)現(xiàn)在對未來公司凈現(xiàn)金流量的無偏估計來預(yù)期他們所投資的公司的價值。隨著時間的推移，他們改變對公司價值的預(yù)期僅僅是因為他們得到了使他們修正其預(yù)期的信息。

如果金融市場的參與者都是具有理性預(yù)期的投資者，那么

由（13）可知，在第t+1期，公司的價值是由金融市場的參與者在第t期對公司在第t+1期及以后各期股利發(fā)放預(yù)期的基礎(chǔ)上，加上在第t+1期對公司在本期及以后各期凈現(xiàn)金流量的預(yù)期與在第t期對公司在第t+1期及以后各期凈現(xiàn)金流量的預(yù)期的差共同決定的。由于在第t+1期是不變的，因此，公司的價值從V（t）到V（t+1）的變動是由基于理性預(yù)期的投資者所獲得的第t+1期的新信息和利用這些新消息所做出的關(guān)于公司價值最優(yōu)預(yù)期的變化引起的。即由于金融市場的參與者只對完全未預(yù)期到的信息作出反應(yīng)，因此，公司價值的變動也是無法預(yù)期的。只有金融市場上未被預(yù)期到的信息才會引起市場參與者修正其對公司價值的判斷。這也進(jìn)一步證明了在有效市場上反映公司價值的股票價格也應(yīng)該是隨機(jī)游走的。

股票價格的波動服從幾何布朗運動是現(xiàn)代金融學(xué)常用的經(jīng)典假設(shè)之一。正因為股票價格的波動是Markov過程，因此股票價格彼此之間是不相關(guān)的。傳統(tǒng)的金融學(xué)理論把股票價格的波動表示為dS=μSdt+σSdz。本文正是在這基礎(chǔ)上進(jìn)行了新的修正，從而建立了股票價格波動的新理論模型，即價值回復(fù)模型，力圖使股價的波動有一個更完整的理論基礎(chǔ)。

本文研究分析的價值回復(fù)模型也可應(yīng)用于股權(quán)類金融衍生產(chǎn)品的定價、B-S微分方程的修正及外匯的均衡匯率回復(fù)現(xiàn)象的研究等領(lǐng)域。

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