葛靜濤，白雪靜，陳 龍

（1.中國(guó)石化華東分公司非常規(guī)指揮部，山西 鄉(xiāng)寧 042100；2.中國(guó)石化勝利油田魯明油氣勘探開(kāi)發(fā)有限公司，山東 東營(yíng) 257022）

煤層氣與常規(guī)天然氣的開(kāi)采過(guò)程截然不同。煤層氣的開(kāi)采一般是通過(guò)排出地下水降低儲(chǔ)層壓力，從而使儲(chǔ)層中吸附在煤基質(zhì)表面的煤層氣解吸出來(lái)，解吸出的氣體在壓力差和濃度差的雙重作用下擴(kuò)散、滲流運(yùn)移到大的裂隙或井眼中，最終通過(guò)井筒采出地面[1]。流體在煤層中的運(yùn)移規(guī)律決定了煤層氣的開(kāi)采特點(diǎn)，在煤層氣開(kāi)采中控制儲(chǔ)層壓力變化，隨時(shí)了解儲(chǔ)層壓力的變化尤為重要。為此，本文建立了氣、液兩相流在煤層中運(yùn)移規(guī)律的數(shù)學(xué)物理方程。

1 基本假設(shè)條件

1）溶解氣氣量忽略不計(jì)；

2）液體是微可壓縮，煤層基質(zhì)微可壓縮；

3）考慮計(jì)算平面兩相徑向流一維模型；

4）在儲(chǔ)層中流體運(yùn)移過(guò)程中熱交換量較少，可忽略；

5）煤層氣解吸過(guò)程為瞬時(shí)現(xiàn)象。

2 割理系統(tǒng)中的滲流方程

2.1 氣相滲流擴(kuò)散方程

隨著煤層氣井地下水的不斷采出，煤層中壓力下降至煤層氣解吸壓力以下后，煤層氣從煤中解吸進(jìn)入割理中，在割理系統(tǒng)中，煤層氣的運(yùn)移主要遵循菲克擴(kuò)散定律和達(dá)西滲流機(jī)制。與此同時(shí)，煤基質(zhì)內(nèi)部的氣體不斷解吸進(jìn)入割理系統(tǒng)中，所以割理系統(tǒng)中氣相應(yīng)滿足式（1）的質(zhì)量守恒方程[2-4]：

式中

vg——割理中氣體流速，m/d；

Bg——煤層氣的體積系數(shù)，小數(shù)；

qg——日產(chǎn)氣量，m3/d；

qmd——基質(zhì)系統(tǒng)與割理系統(tǒng)的氣體交換項(xiàng)，m3/（m3·d）；

Vm——煤基質(zhì)中吸附氣體的平均含量；

Ve——裂隙面上與自由氣體壓力處于平衡狀態(tài)的吸附氣體含量；

G——煤基質(zhì)的氣體擴(kuò)散系數(shù)；

t——吸附時(shí)間常數(shù)，指當(dāng)解吸氣量占總氣量的63%時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間[5]；

φf(shuō)——割理的孔隙度，小數(shù)；

sg——割理中含氣飽和度；

?——哈密爾頓算子。

氣體在滲流過(guò)程中服從達(dá)西定律，擴(kuò)散過(guò)程中服從Fick第一定律，因此，割理系統(tǒng)中氣體流速為擴(kuò)散速度和滲流速度的和，考慮標(biāo)準(zhǔn)狀況和煤層狀況氣體狀態(tài)方程，整理得到割理系統(tǒng)中氣相滲流方程的一般形式：

式中

kf——割理的滲透率，10-3μm2；

krg——割理中氣體的相對(duì)滲透率，10-3μm2；

Pfg——割理中氣體的壓力，kPa；

μg——割理中氣體的黏度，mPa·s；

ρg——?dú)庀嗝芏?，kg/m3；

D——煤層深度，m；其它符號(hào)同上。

2.2 液相滲流方程

液相在割理中以滲流的方式運(yùn)移，因此，利用連續(xù)性方程和達(dá)西定律可以得出液相滲流方程的一般形式∶

式中

krw——割理中液相相對(duì)滲透率；

Bw——割理中液相體積系數(shù)；

μw——液相黏度，mPa·s；

Pfw——割理中液相壓力，kPa；

ρw——液相密度，kg/m3；

qvw——液相產(chǎn)量，m3/d；

sw——液相飽和度。

3 基質(zhì)中煤層氣滲流方程

煤層氣的解吸特性可用吸附等溫曲線或朗繆爾方程加以描述，煤層氣在深度梯度的驅(qū)動(dòng)下，通過(guò)孔隙向裂隙空間擴(kuò)散。這一過(guò)程相當(dāng)于一個(gè)勻布在基質(zhì)表面的質(zhì)量源對(duì)裂隙系統(tǒng)質(zhì)量擴(kuò)散，對(duì)于裂隙是流入，對(duì)于孔隙系統(tǒng)是流出。據(jù)Fick擴(kuò)散方程描述基質(zhì)系統(tǒng)中氣體解吸運(yùn)移過(guò)程，則得到如下方程：

式中

Vm——基質(zhì)單元內(nèi)氣相平均濃度，m3/m3；

VE——基質(zhì)單元表面覆蓋滿單分子層時(shí)的氣體濃度，m3/m3；

τ——煤層氣解吸時(shí)間，d；

μg——基質(zhì)內(nèi)氣體的黏度，mPa·s；

FG——幾何相關(guān)因子。

4 數(shù)學(xué)模型求解

本文求解的兩相流偏微分方程可簡(jiǎn)化為一維二階徑相滲流偏微分方程[6]：

要求在不同生產(chǎn)時(shí)間下的煤層水平徑向上各點(diǎn)的壓力值，考慮L—T坐標(biāo)構(gòu)成的空間—時(shí)間網(wǎng)格系統(tǒng)，取空間步長(zhǎng)ΔL=l，時(shí)間步長(zhǎng)為ΔT=t，函數(shù)P的下標(biāo)表示煤層于井底徑向網(wǎng)格距離，上標(biāo)表示時(shí)間。為了保證計(jì)算速度和計(jì)算結(jié)果的精度，本文采用古典隱式差分法求解煤層氣一維滲流方程式。將式（3）、（4）、（5）簡(jiǎn)化整理代入式（6）得到差分后的格式，并對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散，其中壓力和解吸運(yùn)移擴(kuò)散量采用隱式處理，產(chǎn)量項(xiàng)、重力和毛管壓力以及擴(kuò)散項(xiàng)采用上一時(shí)刻的值顯示處理，整理可得到式（8）：

式中

VL——朗繆爾體積，m3/t；

b——吸附系數(shù)，是溫度和吸附熱的函數(shù)；

P——儲(chǔ)層壓力，Pa；

Cf——煤層基質(zhì)可壓縮系數(shù)，即煤層體積彈性模量的倒數(shù)，Pa-1；

φ——煤層孔隙度，分?jǐn)?shù)。

對(duì)于無(wú)限大地層煤層氣井生產(chǎn)時(shí)初始條件：

對(duì)有界封閉地層煤層氣井生產(chǎn)時(shí)初始條件：

將式（7）寫(xiě)成矩陣形式：

YPt=Pt-1+Xt=1，2，…T系數(shù)矩陣Y為：

借助計(jì)算機(jī)編程，將煤層以井底為圓心，遠(yuǎn)離井底平面徑向無(wú)限遠(yuǎn)處劃分為L(zhǎng)個(gè)網(wǎng)格，求每一時(shí)刻T天l處的煤層壓力。在計(jì)算每一時(shí)刻網(wǎng)格內(nèi)的煤層壓力P值P1、P2、P3、…Pl-1、PL都要解矩陣Y，可以看出系數(shù)矩陣Y明顯是主對(duì)角線元素嚴(yán)格占優(yōu)，因此，對(duì)于每一時(shí)刻t方程組都存在唯一解。

5 實(shí)例分析

以山西延川南工區(qū)A井為例，基本參數(shù)選取如下：VL為朗繆爾體積38.29m3/t；P0為原始地層壓力7.81 MPa；D為煤層厚度5m；μg為該井標(biāo)況下氣體黏度1.08×10-2mPa·s；Cf為煤層可壓縮系數(shù)1.92×10-10Pa-1；φ為煤層孔隙度10.39%；K為煤層滲透率1.1×10-6μm2；Sg為氣相吸附飽和度83.33%；解析壓力0.792 MPa；氣液體積系數(shù)，液相在不同溫度、壓力下的黏度可通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。

用以上基礎(chǔ)數(shù)據(jù)采用本文所建模型，借助計(jì)算機(jī)程序可計(jì)算出不同時(shí)間下儲(chǔ)層各位置的壓力分布值，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖1。

圖1 排采時(shí)間與煤層地層壓力變化曲線Fig.1 Variation curves of production time and coal formation pressure changes

圖1描述了同一生產(chǎn)制度，不同生產(chǎn)時(shí)間下的煤層中地層壓力的變化規(guī)律，曲線從左到右依次為生產(chǎn)20天、40天、60天、80天、100天后儲(chǔ)層中壓力分布?？梢钥闯?，隨著生產(chǎn)時(shí)間的增加，井底流壓即L=0時(shí)的儲(chǔ)層壓力，井底流壓隨著開(kāi)采時(shí)間的增加，是逐漸減小的，近井地帶的壓降漏斗是逐漸增大的，而變化趨勢(shì)隨著生產(chǎn)時(shí)間的增大逐漸減小。這是因?yàn)樵谏a(chǎn)初期排水時(shí)期，煤層中只有水，為單相平面徑向流，隨著儲(chǔ)層壓力進(jìn)一步下降，當(dāng)下降到煤層氣解吸壓力以下時(shí)，一定量的氣體從基質(zhì)表面解吸，開(kāi)始形成少量的氣泡，這時(shí)煤層中為氣液兩相流，液相的相對(duì)滲透率下降，而隨著流體的采出，儲(chǔ)層壓力也是逐漸下降，解吸半徑不斷增大，氣體的解吸量增加。從計(jì)算結(jié)果還可以看出，日降井底流壓越大，壓降漏斗變化率越大，因?yàn)椴沙鏊^(guò)近井地帶的儲(chǔ)層壓力下降太快，壓降不能擴(kuò)散更遠(yuǎn)，導(dǎo)致解吸半徑過(guò)小，這一點(diǎn)也解釋了煤層氣生產(chǎn)中長(zhǎng)期、緩慢、穩(wěn)定的排采思想的正確性。

6 結(jié)論

將模擬計(jì)算結(jié)果與實(shí)際的生產(chǎn)數(shù)據(jù)相結(jié)合，借助計(jì)算機(jī)編程，應(yīng)用所建的數(shù)學(xué)模型，對(duì)煤層氣開(kāi)采過(guò)程中煤層流體的運(yùn)移進(jìn)行數(shù)值模擬，可得出如下結(jié)論：

1）本文計(jì)算方法可以預(yù)測(cè)煤層壓力場(chǎng)的變化趨勢(shì)，模擬開(kāi)采過(guò)程中在該產(chǎn)量下的井底流壓和儲(chǔ)層供氣的供給半徑變化。

2）同一口井，采用較緩慢的降壓，地層壓力下降較慢，近井地帶的壓降漏斗半徑較大，排采中的排水降壓效果較好，解吸半徑大，但開(kāi)采時(shí)間長(zhǎng)。如果選擇解吸前和解吸后的壓降速率，需要在數(shù)值模擬計(jì)算的基礎(chǔ)上，結(jié)合生產(chǎn)要求考慮經(jīng)濟(jì)效率來(lái)決定排采制度。

3）在解吸前后由于在數(shù)值模擬中是突然從單相流變?yōu)閮上嗔鳎栽谟?jì)算地層壓力變化率有突變的過(guò)程。而在實(shí)際生產(chǎn)中，煤層氣解吸后需要解吸氣量的積累，才能從地層中采出，因此，在解吸前后需要現(xiàn)場(chǎng)實(shí)時(shí)精確監(jiān)控地層壓力變化率，保證氣體采出平衡解吸。

4）本文計(jì)算方法沒(méi)有考慮人工儲(chǔ)層改造技術(shù)對(duì)儲(chǔ)層壓力變化的影響，還需要更完善的數(shù)字模型來(lái)模擬儲(chǔ)層壓力的變化。在實(shí)際生產(chǎn)中還有煤粉和壓裂砂對(duì)流體采出時(shí)的影響和長(zhǎng)期排采后井間干擾等，都影響到模擬的準(zhǔn)確度。因此，本文計(jì)算模型需要在煤層氣生產(chǎn)中逐步完善，以便更好的預(yù)測(cè)儲(chǔ)層壓力的變化。

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