張超楠,周疆,曹勇輝

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆烏魯木齊830046)

0 引言

分?jǐn)?shù)次積分算子是研究偏微分方程問(wèn)題的一類重要算子.為了更好的研究Possion方程,Sobolev[1]引入了經(jīng)典的分?jǐn)?shù)次積分算子,并證明了Is是(Lp(Rn),Lq(Rn))型的.1995年,Fan Dashan等[2]給出了奇異積分算子在Morrey空間上的有界性.2005年,Lu Shanzhen等[3]在研究奇異積分算子時(shí),引入了一類與PDE相關(guān)的,比Herz空間和Morrey空間更一般的齊次Morrey-Herz空間,這類空間很快受到人們的重視,隨后,Morrey-Herz空間上的一些極具研究?jī)r(jià)值的結(jié)果不斷出現(xiàn).2009年,Yasuo Komori等[5]證明了分?jǐn)?shù)次積分算子在加權(quán)Herz空間上的有界性.2010年,Kuang Jichang[6]給出了齊次雙權(quán)Morrey-Herz空間的定義,并得出了一類新的積分算子在其上的有界性.受文獻(xiàn)[5]和[6]的啟發(fā),本文研究分?jǐn)?shù)次積分算子在齊次雙權(quán)Morrey-Herz空間上的有界性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]分?jǐn)?shù)次積分算子Is定義如下:

下面給出齊次雙權(quán)Morrey-Herz空間的定義:

定義2[6]設(shè)α∈R,λ≥0,0

定義3[4]設(shè)1

定義4[4]設(shè)1

定義5[4]設(shè) δ>0,稱 ω ∈RD(δ),是指

以下引理在本文證明中是必要的：

引理1[4]設(shè)1上是有界的.

引理2[5]如果ω∈Ap,則

引理3[5]設(shè)1

引理4[5]如果ω∈A(p1,p2),則

2 主要定理及證明

定理 1設(shè)0≤λ<∞,00,δ2>0且1/q2=1/q1?s/n,

(1)ω1∈Am,ω1∈RD(δ1),1≤m<∞,

(3)?δ2/δ1q2<α<(1?s/n?r/q2)n/m,

定理1的證明

首先對(duì)F進(jìn)行估計(jì),由引理1知

從而有

結(jié)合引理2及引理4,得

將上述結(jié)果應(yīng)用到E中,有

當(dāng)1

結(jié)合引理3及引理4,得

當(dāng)0?δ2/δ1q2,有

當(dāng)1