杜鴻波，景 麗

（沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽 110034）

0 引 言

飽和現(xiàn)象廣泛地存在于各種工業(yè)系統(tǒng)當(dāng)中，對實(shí)際工程來說，控制往往屬于容許控制，即控制輸入需要滿足一定的約束條件，執(zhí)行器飽和限制是一種最常見的約束控制，所以對于這類問題的研究自然就有非常重要的意義。

1964年Fuller首次提出飽和系統(tǒng)，20世紀(jì)90年代，學(xué)者們對飽和系統(tǒng)的理論研究熱情高漲，取得了豐碩的成果。近幾年，Hu等［1－2］針對狀態(tài)反饋下的執(zhí)行器飽和控制系統(tǒng)，利用飽和非線性的特性，提出了凸組合的處理方法，通過引入輔助矩陣H處理飽和非線性項(xiàng)，將穩(wěn)定條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式，通過LMI求解。司玉琴等［3］研究了多輸入線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，通過迭代算法進(jìn)行吸引域估計(jì)。Cao等［4］基于飽和關(guān)聯(lián)函數(shù)，給出了線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，應(yīng)用線性矩陣不等式計(jì)算最大吸引域。2008年，Zou等［5］通過對Lyapunov方程的模型轉(zhuǎn)換，給出了一種改進(jìn)的穩(wěn)定條件。Guan等［6］基于錐互補(bǔ)的線性化程序給出了動態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)方法。2010年，Ma等［7］根據(jù)Finsler’s引理，得到了線性離散執(zhí)行器飽和控制系統(tǒng)穩(wěn)定性新方法，并通過迭代算法進(jìn)行吸引域估計(jì)。2011年，朱發(fā)旺等［8］及基于飽和關(guān)聯(lián)函數(shù)研究了線性離散時(shí)間系統(tǒng)的吸引域估計(jì)問題，通過為每一個(gè)橢球?qū)ふ逸o助的增益矩陣來降低吸引域估計(jì)的保守性。針對含有不確定項(xiàng)的執(zhí)行器飽和問題，魏愛榮等［9］基于飽和度函數(shù)，研究了單輸入不確定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。針對含有時(shí)滯的執(zhí)行器飽和問題，Hind等［10－12］相繼應(yīng)用扇形非線性法進(jìn)行研究分析，得到了相應(yīng)的穩(wěn)定性條件。此外，張美玉等［13－14］將飽和應(yīng)用到時(shí)滯切換系統(tǒng)中，并給出了控制器的設(shè)計(jì)。

本文根據(jù)文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［12］研究含有不確定時(shí)滯的執(zhí)行器飽和問題，給出了使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的無記憶狀態(tài)反饋控制器的存在條件和設(shè)計(jì)方案。

1 問題描述

考慮以下狀態(tài)方程描述的帶有不確定時(shí)滯的執(zhí)行器飽和系統(tǒng)：

其中：x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u（t）∈Rm為控制輸入向量；d＞0是滯后的時(shí)間常數(shù)；φ（t）為初始函數(shù)；A、Ad、B為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)值矩陣；ΔA（t）、ΔAd（t）和ΔB（t）是不確定實(shí)值矩陣，且具有范數(shù)有界不確定性結(jié)構(gòu)，可寫成其中H、E1、Ed、E2是已知實(shí)數(shù)矩陣，N（t）為元素是Lebesgue可測的不確定矩陣，但是滿足不等式NT（t）N（t）≤I；sat（·）表示飽和非線性函數(shù)，定義如下：

2 穩(wěn)定性分析

對于執(zhí)行器飽和系統(tǒng)的研究，早期將飽和函數(shù)建模在一個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)，利用波波夫（Popov）準(zhǔn)則和圓判據(jù)，對執(zhí)行器飽和系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。其中比較典型的方法是引入無記憶狀態(tài)反饋控制器［12］

同樣，本文對于系統(tǒng)（1）引入無記憶狀態(tài)反饋（2），則有

其中Ak＝A＋BF。

定理1 對于閉環(huán)系統(tǒng)（1），給定狀態(tài)反饋控制增益矩陣F，如果存在對稱正定矩陣P和S，標(biāo)量ε＞0，λ＞0，使得下面的矩陣不等式成立：

則閉環(huán)系統(tǒng)（1）在給定的狀態(tài)反饋控制器（2）下是漸近穩(wěn)定的。

把式（3）與式（4）相加，可知若式（5）成立，則V（t）＜0，

上式對所有滿足NT（t）N（t）≤I的參數(shù)不確定矩陣N（t）成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)標(biāo)量λ＞0，使得

根據(jù)Schur補(bǔ)引理，可知式（6）等價(jià)于

則當(dāng)式（7）成立時(shí)，有V（t）＜0，即閉環(huán)系統(tǒng)（1）在給定的狀態(tài)反饋控制器（2）下是漸近穩(wěn)定的。

3 控制器設(shè)計(jì)

定理2 考慮閉環(huán)系統(tǒng)（1），如果存在對稱正定矩陣P，U和任意適維矩陣Q，標(biāo)量ε＞0，λ＞0，使得下面的矩陣不等式成立：

則閉環(huán)系統(tǒng)（1）在無記憶狀態(tài)反饋控制器（2）下是漸近穩(wěn)定的，其中F＝QP－1。

證明 對于（7）式根據(jù)Schur補(bǔ)引理可轉(zhuǎn)換為

令＝P－1，Q＝FP－1，U＝P－1SP－1＝ε－1，那么式（10）可寫成式（8），則當(dāng)式（8）成立時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)（1）在無記憶狀態(tài)反饋控制器（2）下是漸近穩(wěn)定的，且狀態(tài)反饋控制器F＝。

4 仿真算例

例 考慮二階的控制系統(tǒng)（1），具有如下參數(shù)

利用Matlab的LMI工具箱求解矩陣不等式（8），得

選取初始狀態(tài)x0＝（－2，25）T，則系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡是漸近穩(wěn)定的，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡

5 結(jié) 語

本文研究了執(zhí)行器飽和的不確定時(shí)滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題?；谏刃螀^(qū)域法和李亞普諾夫函數(shù)方法研究了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件，并且在系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件下，給出了無記憶狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方案，仿真算例驗(yàn)證了結(jié)論的有效性和可行性。

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［2］HU Tingshu，LIN Zongli，CHEN B M.Analysis and design for discrete－time systems subject to actuator saturation［J］.Systems ＆ Control Letters，2002，45（2）：97－112.

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［8］朱發(fā)旺，黃騰云，劉和光，等.基于飽和關(guān)聯(lián)Lyapunov函數(shù)的飽和離散系統(tǒng)吸引域估計(jì)［J］.江南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，10（4）：379－384.

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