宮香山，劉曉偉，何廣平

(1.北京郵電大學(xué)，北京 102613;2.中國航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院，北京 100074;3.北方工業(yè)大學(xué)，北京 100144)

0 引 言

靜電微電機(jī)是一類具有廣泛應(yīng)用前景的重要MEMS 器件，可用于靜電微陀螺［1］、微操作器［2］、微創(chuàng)醫(yī)療器械［3］，以及燃料分配、藥物精確投放和微流體驅(qū)動(dòng)應(yīng)用中的微泵［4］?？勺冸娙菔届o電微電機(jī)是最早提出的一類靜電微電機(jī)［5］，它利用電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子之間的電容變化來獲得輸出力矩。這種微電機(jī)的缺點(diǎn)是靜電力很微小，動(dòng)態(tài)性能十分有限，所以近年來，針對(duì)它的優(yōu)化設(shè)計(jì)得到了部分學(xué)者的關(guān)注［6－7］。

本文針對(duì)頂面驅(qū)動(dòng)可變電容式靜電微電機(jī)，提出了一種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。這種方法也可用于其他類型的凸極式靜電微電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。該方法不僅考慮了電機(jī)控制方法的優(yōu)化，還結(jié)合了數(shù)值積分方法和遺傳算法對(duì)電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。試驗(yàn)表明，這種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法提高了電機(jī)的輸出力矩，同時(shí)大幅減小了輸出力矩的波動(dòng)。

1 頂面驅(qū)動(dòng)靜電微電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

設(shè)頂面驅(qū)動(dòng)可變電容靜電微電機(jī)的定子和轉(zhuǎn)子都是均布的凸極結(jié)構(gòu)，如圖1所示，且電機(jī)有np個(gè)定子電極，nr個(gè)轉(zhuǎn)子凸極。

圖1 頂面驅(qū)動(dòng)靜電微電機(jī)的結(jié)構(gòu)原理圖

定子電極內(nèi)緣和外緣半徑分別為R1和R2，電極所占角度為φ1，電極間隔角度為φ2。

轉(zhuǎn)子凸極內(nèi)緣和外緣半徑分別為r1和r2，轉(zhuǎn)子凸極所占的角度為α1，轉(zhuǎn)子凸極間的夾角為α2。

基于以上設(shè)計(jì)，該電機(jī)定子相鄰兩電極之間的相位差:

電機(jī)轉(zhuǎn)子相鄰兩凸極之間的相位差:

設(shè)定子電極的內(nèi)徑不小于轉(zhuǎn)子凸極的內(nèi)徑，即R1≥r1，且定子電極的外徑與轉(zhuǎn)子凸極外徑相等，即r2=R2。則轉(zhuǎn)子和定子之間的電容可表示:

式中:εr為相對(duì)介電常數(shù);ε0為真空絕對(duì)介電常數(shù)，ε0=8.85×10－12F/m;d 為電機(jī)轉(zhuǎn)子與定子之間的軸向距離;θ為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)的角度;A(θ)為轉(zhuǎn)子凸極與定

子電極之間的重疊面積。采用極坐標(biāo)表示方法，A(θ)可表示:式中:α表示轉(zhuǎn)子上任意一點(diǎn)在固聯(lián)于轉(zhuǎn)子上的極坐標(biāo)系中的相對(duì)角坐標(biāo);θ則為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角度在慣性坐標(biāo)系中的表示，因此α+θ表示轉(zhuǎn)子上任意一點(diǎn)在慣性極坐標(biāo)系中的角坐標(biāo)。若定義:

則式(4)中的函數(shù)f(α+θ)和g(α)可表示:

顯然，式(6)和式(7)分別表示轉(zhuǎn)子凸極和定子電極沿圓周方向是否存在，當(dāng)存在于對(duì)應(yīng)區(qū)間上時(shí)f(α+θ)和g(α)為1，對(duì)應(yīng)區(qū)間上不存在轉(zhuǎn)子凸極或定子電極時(shí)則為0。而式(8)表示對(duì)應(yīng)定子電極是否施加了非零電壓。當(dāng)施加了非零電壓時(shí)(用ΔΦp(k)表示)，β(α)為1，否則(用Δ(k)表示)，β(α)為零?？紤]電機(jī)定子電極和轉(zhuǎn)子凸極分布的均勻性，式(4)還可進(jìn)一步表示:

靜電微電機(jī)中存儲(chǔ)的電能可表示:

式中:V為通電定子電極上施加的非零電壓。利用式(3)和式(10)以及虛功原理，靜電電機(jī)轉(zhuǎn)子的輸出力矩可表示:

對(duì)于頂面驅(qū)動(dòng)靜電微電機(jī)，由于電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子形成的平板電容只隨兩極板間重疊面積A(θ)變化，而A(θ)只是轉(zhuǎn)子位置θ的函數(shù)，因此式(11)可表示為常微分形式:

2 頂面驅(qū)動(dòng)靜電微電機(jī)的驅(qū)動(dòng)方式

當(dāng)電機(jī)采用對(duì)稱單極控制方式時(shí)(這種控制方式的示意圖如圖2所示)，對(duì)于8/6可變電容靜電微電機(jī)，采用表1所示的電機(jī)參數(shù)［8］。

圖2 對(duì)稱單極控制方式

表1 頂面驅(qū)動(dòng)8/6可變電容式靜電微電機(jī)的物理參數(shù)

當(dāng)不同電極組分別通電時(shí)，轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)凸極位置過程中，轉(zhuǎn)子的輸出力矩與轉(zhuǎn)子位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖3所示。通過適當(dāng)切換通電電極組，可得如圖4所示的單向輸出扭矩，其平均輸出力矩為3.5679×10－10N·m。

圖3 對(duì)稱單極控制方式下的電機(jī)輸出力矩

圖4 對(duì)稱單極控制方式下的電機(jī)單向最大輸出力矩

為了增大電機(jī)的輸出力矩，本文采用對(duì)稱相鄰雙電極并聯(lián)控制方式(如圖5所示)，即在任意時(shí)刻只有兩對(duì)相鄰的定子電極通電，轉(zhuǎn)子上可獲得的輸出扭矩如圖6所示。在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，通過切換通電定子電極，且每次只切換第一組電極，則可獲得如圖7所示的單向最大輸出扭矩。在這種控制方式下，輸出扭矩的均值為4.5274×10－10N·m，比單極驅(qū)動(dòng)下的平均力矩增大26.89%，但電機(jī)輸出扭矩的波動(dòng)較大，這將使電機(jī)的負(fù)載能力下降。

圖5 對(duì)稱相鄰雙極控制方式

圖6 對(duì)稱相鄰雙極控制方式下的電機(jī)輸出力矩

圖7 對(duì)稱相鄰雙極控制方式下的電機(jī)最大輸出力矩

3 電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

這里考慮采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法改善電機(jī)性能，選擇優(yōu)化設(shè)計(jì)變量:

式中:λs和λr分別為定子電極、轉(zhuǎn)子凸極的占空比。電機(jī)的輸出力矩均值可表示:

輸出力矩的波動(dòng)系數(shù)表示:

在優(yōu)化電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)中，定義三種優(yōu)化指標(biāo)，分別:

式中:z1用于優(yōu)化電機(jī)輸出力矩;z2用于優(yōu)化輸出力矩波動(dòng)。式(18)中，λ為加權(quán)系數(shù)，可以調(diào)整z1和z2的數(shù)值為同一量級(jí)?；谑?16)～式(18)，可建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型:

針對(duì)這種相鄰雙極并聯(lián)驅(qū)動(dòng)控制方式，并基于表1中給出的電機(jī)基本參數(shù)，采用指標(biāo)(18)并求解式(19)的優(yōu)化問題，對(duì)靜電電機(jī)的輸出平均力矩和力矩波動(dòng)系數(shù)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化。

由于在第1節(jié)給出的可變電容靜電微電機(jī)的數(shù)學(xué)模型不能獲得解析表達(dá)式，解析求解式(12)表示的電機(jī)輸出力矩很難實(shí)現(xiàn)，相應(yīng)地，采用基于梯度或靈敏度分析的優(yōu)化方法難以實(shí)現(xiàn);這里采用遺傳優(yōu)化算法［9］。這種優(yōu)化方法對(duì)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型沒有特殊要求，它采用交叉、復(fù)制、變異三種簡(jiǎn)單計(jì)算方法，能實(shí)現(xiàn)復(fù)雜空間中優(yōu)化問題的求解，并能獲得全局近似最優(yōu)解。由于采用了數(shù)值積分方法計(jì)算式(9)給出的電容極板重疊面積，并采用有限差分方法計(jì)算式(11)表示的電機(jī)輸出力矩，即使采用遺傳算法這種比較耗時(shí)的優(yōu)化方法，求解優(yōu)化問題(19)時(shí)也有較快的速度。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

采用遺傳算法，對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化后，電機(jī)定子電極和轉(zhuǎn)子凸極的占空比取值變?yōu)?λs，λr)=(0.348，0.501)，對(duì)應(yīng)的輸出力矩如圖8所示。

圖8 相鄰雙極并聯(lián)控制方式下，8/6電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后的輸出力矩曲線

優(yōu)化前后電機(jī)輸出力矩如圖9所示:優(yōu)化后電機(jī)輸出力矩均值變?yōu)?.0821×10－10N·m，比優(yōu)化前減小9.84%，但是輸出力矩的波動(dòng)系數(shù)從33.04%降為9.41%。

圖9 優(yōu)化前后8/6電機(jī)最大輸出力矩的比較

5 結(jié) 語

本文針對(duì)頂面驅(qū)動(dòng)可變電容靜電微電機(jī)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，建立了其一般解析物理描述模型。以8/6靜電微電機(jī)為例，進(jìn)行了控制方式的優(yōu)化，并采用數(shù)值積分方法和遺傳優(yōu)化算法相結(jié)合的算法對(duì)電機(jī)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，不但使電機(jī)的輸出力矩明顯增大，而且有效降低了它的波動(dòng)，從而改善了電機(jī)的性能。這種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，能快速進(jìn)行頂面驅(qū)動(dòng)可變電容靜電微電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，也更適合在MEMCAD等計(jì)算機(jī)輔助優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件中應(yīng)用。

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