函數(shù)作為高中代數(shù)最基本、最重要的內(nèi)容，多年來(lái)一直是高考命題的熱點(diǎn).用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)比用初等方法研究要方便得多，因此，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)已成為支撐數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)知識(shí)，從而構(gòu)成數(shù)學(xué)試題的主體的重要知識(shí)板塊.考查的方向還是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大（?。┲担蠛瘮?shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大值或最小值，或利用求導(dǎo)法解應(yīng)用問(wèn)題，研究函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間等，這些已成為高考的一個(gè)新的熱點(diǎn)問(wèn)題.不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它可以滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的很多章節(jié)，是解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具，再加上它在實(shí)際問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用，決定了它將是?？疾凰サ母呖紵狳c(diǎn)問(wèn)題.不等式、函數(shù)二者密不可分，它們相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化.因此，要學(xué)會(huì)靈活處理導(dǎo)數(shù)、不等式、函數(shù)大型綜合問(wèn)題，這類代數(shù)推理考題在復(fù)習(xí)時(shí)一定要倍加關(guān)注.

一、不等式與函數(shù)綜合問(wèn)題

例1設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|.

（1）解不等式f（x）>2；

（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值.

解：（1）令y=|2x+1|-|x-4|，

則y=-x-5，x≤-12，

3x-3，-12

x+5，x≥4.

作出函數(shù)y=|2x+1|-|x-4|的圖像，它與直線y=2的交點(diǎn)為（-7，2）和（53，2），

所以|2x+1|-|x-4|>2的解為x<-7或x>53.

（2）由函數(shù)y=|2x+1|-|x-4|的圖像可知，當(dāng)x=-12時(shí)，y=|2x+1|-|x-4|取得最小值-92.

評(píng)注：本題考查了絕對(duì)值的意義，分段函數(shù)及其圖像，函數(shù)最值和不等式等知識(shí)，考查分類討論的思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題技巧.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它把中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支緊緊地聯(lián)系在一起.以函數(shù)為載體，綜合不等式交叉匯合處為主干，構(gòu)筑成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)型不等式證明問(wèn)題，在高考試題出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高，占據(jù)著令人矚目的地位.

例2設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+ax+a，方程f（x）-x=0的兩根x1和x2滿足0

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）試比較f（0）f（1）-f（0）與116的大小，并說(shuō)明理由.

解：（1）令g（x）=f（x）-x=x2+（a-1）x+a，則由題意可得

Δ>0，

0<1-a2<1，

g（1）>0，

g（0）>0，a>0，

-1

a<3-22或a>3+22，0

故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，3-22）.

（2）解法1：f（0）f（1）-f（0）=g（0）g（1）=2a2，令h（a）=2a2.

∵當(dāng)a>0時(shí)，h（a）單調(diào)增加，

∴當(dāng)0

即f（0）f（1）-f（0）<116.

解法2：∵f（0）f（1）-f（0）=g（0）g（1）=2a2，由（1）知0

∴42a-1<122-17<0.又42a+1>0，于是

2a2-116=116（32a2-1）=116（42a-1）（42a+1）<0，

即2a2-116<0，故f（0）f（1）-f（0）<116.

解法3：依題意可設(shè)g（x）=（x-x1）（x-x2），則由0

f（0）f（1）-f（0）=g（0）g（1）=x1x2（1-x1）（1-x2）=[x1（1-x1）][x2（1-x2）]

<（x1+1-x12）2（x2+1-x22）2=116，

故f（0）f（1）-f（0）<116.

評(píng)析：它以函數(shù)為依托，在函數(shù)、方程、不等式知識(shí)交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)的試題，題型設(shè)計(jì)新穎，別具一格，知識(shí)渾然一體，反映了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，較好地體現(xiàn)了知識(shí)的整體性和綜合性，突出對(duì)問(wèn)題的方法及解決問(wèn)題的能力的考查.函數(shù)、方程與不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它把中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支緊緊地聯(lián)系在一起，一些常見(jiàn)的解題技巧和思想方法都得到了比較充分的體現(xiàn)，以這三者交匯處為主干，構(gòu)筑成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)型代數(shù)推理題，在高考試題出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高，占據(jù)著令人矚目的地位.

二、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

例3已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a>0.設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同.

（1）用a表示b，并求b的最大值；

（2）求證：f（x）≥g（x）（x>0）.

解：（1）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x>0）在公共點(diǎn)（x0，y0）處的切線相同.

∵f′（x）=x+2a，g′（x）=3a2x，由題意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0）.

即12x20+2ax0=3a2lnx0+b，

x0+2a=3a2x0，由x0+2a=3a2x0得：x0=a，或x0=-3a（舍去）.

即有b=12a2+2a2-3a2lna=52a2-3a2lna.

令h（t）=52t2-3t2lnt（t>0），則h′（t）=2t（1-3lnt）.于是

當(dāng)t（1-3lnt）>0，即00；

當(dāng)t（1-3lnt）<0，即t>e13時(shí)，h′（t）<0.

故h（t）在（0，e13）為增函數(shù)，在（e13，+∞）為減函數(shù)，

于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e13）=32e23.

（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2lnx-b（x>0），

則F′（x）=x+2a-3a2x=（x-a）（x+3a）x（x>0）.

故F（x）在（0，a）為減函數(shù)，在（a，+∞）為增函數(shù)，

于是函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0.

故當(dāng)x>0時(shí)，有f（x）-g（x）≥0，即當(dāng)x>0時(shí)，g（x）≥g（x）.

評(píng)析：本題考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)方法確定函數(shù)單調(diào)性、極值（最值），切線方程是常見(jiàn)題型，應(yīng)該熟練掌握.

例4某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3≤a≤5）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（9≤x≤11）時(shí)，一年的銷售量為（12-x）2萬(wàn)件.

（1）求分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q（a）.

解：（1）分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11].

（2）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）.

令L′（x）=0得x=6+23a或x=12（不合題意，舍去）.

∵3≤a≤5，∴8≤6+23a≤283.

在x=6+23a兩側(cè)L′的值異號(hào).

所以①當(dāng)8≤6+23a<9即3≤a<92時(shí)，Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）.

②當(dāng)9≤6+23a≤283即92≤a≤5時(shí)，

Lmax=L（6+23a）=（6+23a-3-a）[12-（6+23a）]2=4（3-13a）3，

所以Q（a）=9（6-a），3≤a<92，

4（3-13a）3，92≤a≤5

即若3≤a<92，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（萬(wàn)元）；若92≤a≤5，則當(dāng)每件售價(jià)為6+23a元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=4（3-13a）3（萬(wàn)元）.

評(píng)析：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解決實(shí)際問(wèn)題是高考熱點(diǎn)題型，本題還涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

三、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式綜合問(wèn)題

例5已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x），f′（0）>0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≥0，則f（1）f′（0）的最小值為（）.

A. 3B. 52C. 2D. 32

解：f′（x）=2ax+b（a≠0），∵f′（0）>0，∴b>0，

又∵f（x）≥0恒成立，即ax2+bx+c≥0恒成立，

∴a>0，且Δ=b2-4ac≤0恒成立，∴c>0.

f（1）f′（0）=a+b+cb=1+ab+cb≥1+2acb2≥1+2b24b2=2，且當(dāng)a=c>0時(shí)等號(hào)成立.

故選C

評(píng)析：本題以函數(shù)和導(dǎo)數(shù)為載體，綜合考查重要不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵就是判斷a與c的符號(hào).

例6已知函數(shù)f（x）=mx3-x的圖像上，以N（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為π4.

（1）求m、n的值；

（2）是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）求證：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

解：（1）m=23，n=-13（解題過(guò)程略）.

（2）由（1）知，f（x）=23x3-x，令f′（x）=2x2-1=0，得x=±22，

當(dāng)-10；

當(dāng)-22

當(dāng)220.

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（3）=15，

因此，當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，-23≤f（x）≤15；

要使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立，則k≥15+1991=2006.

所以，存在最小的正整數(shù)k=2006，使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立.

（3）由（2）知，函數(shù)f（x）在[-1，-22]上是增函數(shù)；在[-22，22]上是減函數(shù)；在[22，3]上是增函數(shù)，

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（1）=-13，

所以，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，-23≤f（x）≤23，即|f（x）|≤23.

∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴|f（sinx）|≤23，|f（cosx）|≤23，

∴|f（sinx）+f（cosx）|≤|f（sinx|+|f（cosx）|≤23+23=223.①

又∵t>0，∴t+12t≥2>1，且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù).

∴2f（t+12t）≥2f（2）=2[23（2）3-2]=223.②

比較①、②可得，|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

評(píng)析：這是一個(gè)以函數(shù)為載體、以導(dǎo)數(shù)為解題工具的不等式綜合問(wèn)題，解此題的導(dǎo)數(shù)工具作用顯得十分重要，這是高考創(chuàng)新題型和發(fā)展趨勢(shì).函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的知識(shí)得到了很好的整合，是一個(gè)典型的交匯熱點(diǎn)試題.

（作者：趙春祥，中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，河北省樂(lè)亭縣第二中學(xué)）

于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e13）=32e23.

（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2lnx-b（x>0），

則F′（x）=x+2a-3a2x=（x-a）（x+3a）x（x>0）.

故F（x）在（0，a）為減函數(shù)，在（a，+∞）為增函數(shù)，

于是函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0.

故當(dāng)x>0時(shí)，有f（x）-g（x）≥0，即當(dāng)x>0時(shí)，g（x）≥g（x）.

評(píng)析：本題考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)方法確定函數(shù)單調(diào)性、極值（最值），切線方程是常見(jiàn)題型，應(yīng)該熟練掌握.

例4某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3≤a≤5）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（9≤x≤11）時(shí)，一年的銷售量為（12-x）2萬(wàn)件.

（1）求分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q（a）.

解：（1）分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11].

（2）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）.

令L′（x）=0得x=6+23a或x=12（不合題意，舍去）.

∵3≤a≤5，∴8≤6+23a≤283.

在x=6+23a兩側(cè)L′的值異號(hào).

所以①當(dāng)8≤6+23a<9即3≤a<92時(shí)，Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）.

②當(dāng)9≤6+23a≤283即92≤a≤5時(shí)，

Lmax=L（6+23a）=（6+23a-3-a）[12-（6+23a）]2=4（3-13a）3，

所以Q（a）=9（6-a），3≤a<92，

4（3-13a）3，92≤a≤5

即若3≤a<92，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（萬(wàn)元）；若92≤a≤5，則當(dāng)每件售價(jià)為6+23a元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=4（3-13a）3（萬(wàn)元）.

評(píng)析：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解決實(shí)際問(wèn)題是高考熱點(diǎn)題型，本題還涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

三、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式綜合問(wèn)題

例5已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x），f′（0）>0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≥0，則f（1）f′（0）的最小值為（）.

A. 3B. 52C. 2D. 32

解：f′（x）=2ax+b（a≠0），∵f′（0）>0，∴b>0，

又∵f（x）≥0恒成立，即ax2+bx+c≥0恒成立，

∴a>0，且Δ=b2-4ac≤0恒成立，∴c>0.

f（1）f′（0）=a+b+cb=1+ab+cb≥1+2acb2≥1+2b24b2=2，且當(dāng)a=c>0時(shí)等號(hào)成立.

故選C

評(píng)析：本題以函數(shù)和導(dǎo)數(shù)為載體，綜合考查重要不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵就是判斷a與c的符號(hào).

例6已知函數(shù)f（x）=mx3-x的圖像上，以N（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為π4.

（1）求m、n的值；

（2）是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）求證：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

解：（1）m=23，n=-13（解題過(guò)程略）.

（2）由（1）知，f（x）=23x3-x，令f′（x）=2x2-1=0，得x=±22，

當(dāng)-10；

當(dāng)-22

當(dāng)220.

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（3）=15，

因此，當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，-23≤f（x）≤15；

要使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立，則k≥15+1991=2006.

所以，存在最小的正整數(shù)k=2006，使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立.

（3）由（2）知，函數(shù)f（x）在[-1，-22]上是增函數(shù)；在[-22，22]上是減函數(shù)；在[22，3]上是增函數(shù)，

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（1）=-13，

所以，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，-23≤f（x）≤23，即|f（x）|≤23.

∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴|f（sinx）|≤23，|f（cosx）|≤23，

∴|f（sinx）+f（cosx）|≤|f（sinx|+|f（cosx）|≤23+23=223.①

又∵t>0，∴t+12t≥2>1，且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù).

∴2f（t+12t）≥2f（2）=2[23（2）3-2]=223.②

比較①、②可得，|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

評(píng)析：這是一個(gè)以函數(shù)為載體、以導(dǎo)數(shù)為解題工具的不等式綜合問(wèn)題，解此題的導(dǎo)數(shù)工具作用顯得十分重要，這是高考創(chuàng)新題型和發(fā)展趨勢(shì).函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的知識(shí)得到了很好的整合，是一個(gè)典型的交匯熱點(diǎn)試題.

（作者：趙春祥，中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，河北省樂(lè)亭縣第二中學(xué)）

于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e13）=32e23.

（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2lnx-b（x>0），

則F′（x）=x+2a-3a2x=（x-a）（x+3a）x（x>0）.

故F（x）在（0，a）為減函數(shù)，在（a，+∞）為增函數(shù)，

于是函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0.

故當(dāng)x>0時(shí)，有f（x）-g（x）≥0，即當(dāng)x>0時(shí)，g（x）≥g（x）.

評(píng)析：本題考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)方法確定函數(shù)單調(diào)性、極值（最值），切線方程是常見(jiàn)題型，應(yīng)該熟練掌握.

例4某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3≤a≤5）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（9≤x≤11）時(shí)，一年的銷售量為（12-x）2萬(wàn)件.

（1）求分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q（a）.

解：（1）分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11].

（2）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）.

令L′（x）=0得x=6+23a或x=12（不合題意，舍去）.

∵3≤a≤5，∴8≤6+23a≤283.

在x=6+23a兩側(cè)L′的值異號(hào).

所以①當(dāng)8≤6+23a<9即3≤a<92時(shí)，Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）.

②當(dāng)9≤6+23a≤283即92≤a≤5時(shí)，

Lmax=L（6+23a）=（6+23a-3-a）[12-（6+23a）]2=4（3-13a）3，

所以Q（a）=9（6-a），3≤a<92，

4（3-13a）3，92≤a≤5

即若3≤a<92，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（萬(wàn)元）；若92≤a≤5，則當(dāng)每件售價(jià)為6+23a元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=4（3-13a）3（萬(wàn)元）.

評(píng)析：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解決實(shí)際問(wèn)題是高考熱點(diǎn)題型，本題還涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

三、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式綜合問(wèn)題

例5已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x），f′（0）>0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≥0，則f（1）f′（0）的最小值為（）.

A. 3B. 52C. 2D. 32

解：f′（x）=2ax+b（a≠0），∵f′（0）>0，∴b>0，

又∵f（x）≥0恒成立，即ax2+bx+c≥0恒成立，

∴a>0，且Δ=b2-4ac≤0恒成立，∴c>0.

f（1）f′（0）=a+b+cb=1+ab+cb≥1+2acb2≥1+2b24b2=2，且當(dāng)a=c>0時(shí)等號(hào)成立.

故選C

評(píng)析：本題以函數(shù)和導(dǎo)數(shù)為載體，綜合考查重要不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵就是判斷a與c的符號(hào).

例6已知函數(shù)f（x）=mx3-x的圖像上，以N（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為π4.

（1）求m、n的值；

（2）是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）求證：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

解：（1）m=23，n=-13（解題過(guò)程略）.

（2）由（1）知，f（x）=23x3-x，令f′（x）=2x2-1=0，得x=±22，

當(dāng)-10；

當(dāng)-22

當(dāng)220.

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（3）=15，

因此，當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，-23≤f（x）≤15；

要使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立，則k≥15+1991=2006.

所以，存在最小的正整數(shù)k=2006，使得不等式f（x）≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成立.

（3）由（2）知，函數(shù)f（x）在[-1，-22]上是增函數(shù)；在[-22，22]上是減函數(shù)；在[22，3]上是增函數(shù)，

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（1）=-13，

所以，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，-23≤f（x）≤23，即|f（x）|≤23.

∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴|f（sinx）|≤23，|f（cosx）|≤23，

∴|f（sinx）+f（cosx）|≤|f（sinx|+|f（cosx）|≤23+23=223.①

又∵t>0，∴t+12t≥2>1，且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù).

∴2f（t+12t）≥2f（2）=2[23（2）3-2]=223.②

比較①、②可得，|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

評(píng)析：這是一個(gè)以函數(shù)為載體、以導(dǎo)數(shù)為解題工具的不等式綜合問(wèn)題，解此題的導(dǎo)數(shù)工具作用顯得十分重要，這是高考創(chuàng)新題型和發(fā)展趨勢(shì).函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的知識(shí)得到了很好的整合，是一個(gè)典型的交匯熱點(diǎn)試題.

（作者：趙春祥，中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，河北省樂(lè)亭縣第二中學(xué)）