函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點和難點，由于函數(shù)有較強(qiáng)的抽象性，常因概念不清，而易混淆，缺乏透徹的理解.通過對函數(shù)中易錯題的分析和糾錯，加深對函數(shù)本質(zhì)及性質(zhì)的認(rèn)識.

一、有關(guān)函數(shù)定義域問題

例1（1）設(shè)f（x）=1+3xa在（-∞，1]上有意義，則a的取值范圍是；

（2）若f（x）=1+3xa的定義域是（-∞，1]，則a的取值是.

剖析：兩題表述不同，含義也不同.

函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量x的取值集合，而函數(shù)在某個區(qū)間上有意義，則這個區(qū)間是定義域的一個子區(qū)間，故問題（1）解答是：由x≤1得0<3x≤3，又1+3xa≥0恒成立，所以a≥-13x恒成立，只需a大于或等于-13x的最大值即可，解得a≥-13.

問題（2）解答是：f（x）的定義域是（-∞，1]，則須1+3xa≥0的解是x∈（-∞，1]，若a≥0，恒有1+3xa≥0，此時x∈R，定義域并非是（-∞，1]，故a<0.解1+3xa≥0，即3x≤-1a，取對數(shù)有x≤log3（-1a），此時定義域是（-∞，log3（-1a）]，必須且只需log3（-1a）=1，即a=-13.

例2函數(shù)f（x）=（1-x）1+x1-x的奇偶性為.

剖析：若作變形f（x）=1-x2，并判斷此函數(shù)為偶函數(shù)就錯了.判斷函數(shù)的奇偶性一定要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱.實際上，此函數(shù)的定義域為[-1，1），正確答案為：非奇非偶函數(shù).

二、有關(guān)函數(shù)定義域、值域為R問題

例3（1）函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.

剖析：常常誤認(rèn)為兩題解題方法相同，混淆了“定義域、值域為R”的本質(zhì).

問題（1）解答是：因為函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的定義域為R，即對任意x∈R，x2+ax+1>0恒成立，由于二次函數(shù)f（x）=x2+ax+1對應(yīng)的拋物線開口向上，只需判別式小于零，即a2-4<0，解得-2

問題（2）解答是：函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的值域為R，則真數(shù)必可取得任意大于零的數(shù)，只需判別式大于或等于零，即a2-4≥0，解得a≤-2或a≥2.

三、有關(guān)函數(shù)軸對稱問題

例4（1）設(shè)x∈R.函數(shù)y=f（1-x）和y=f（1+x）的圖像關(guān)于直線對稱；

（2）函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1-x）=f（1+x），則y=f（x）的圖像關(guān)于直線對稱.

剖析：常常誤認(rèn)為兩題答案相同，其實不然，這是兩類不同的軸對稱問題.

“函數(shù)y=f（a+x）與y=f（b-x）的圖像關(guān)于直線x=b-a2成軸對稱”這是兩個函數(shù)的圖像之間的軸對稱關(guān)系，故問題（1）答案是x=0.

“函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足條件f（a+x）=f（b-x），則y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a+b2成軸對稱”是具有某種性質(zhì)的一個函數(shù)的圖像自身的軸對稱問題，故問題（2）答案是x=1.

四、有關(guān)函數(shù)分類討論的問題

例5解關(guān)于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0.

剖析：研究含有字母系數(shù)的二次三項不等式時，首先要研究二次項系數(shù)a=0還是a≠0，當(dāng)a=0時就是一次不等式問題，當(dāng)a≠0時就是二次不等式問題.

解：（1）若a=0，則原不等式即為-x+1<0，解得x>1.

（2）若a<0，則原不等式可化為（x-1a）（x-1）>0.

解得x<1a或x>1.

（3）若a>0，（x-1a）（x-1）<0.

其解的情況應(yīng)該由1a與1的大小關(guān)系來決定.

當(dāng)0

當(dāng)a=1時，無解；

當(dāng)a>1時，1a

五、有關(guān)函數(shù)恒成立、能成立問題

例6（1）已知函數(shù)f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]時，不等式f（x）>0恒成立，求a的范圍；

（2）已知函數(shù)f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]時，不等式f（x）>0能成立，求a的范圍.

剖析：辨析“恒成立、能成立”的含義，這是兩個不同的問題.

區(qū)間（a，b）使問題恒成立是指這個區(qū)間內(nèi)每個元素都使這個問題成立.故問題（1）解答是：原不等式可化為a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易證g（x）在[1，2]是減函數(shù)，則g（x）max=g（1）=-1，a>g（x）max=-1.

區(qū)間（a，b）使問題能成立是指這個區(qū)間內(nèi)有元素（不一定是全部元素）使這個問題成立.故問題（2）解答是：原不等式可化為a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易證g（x）在[1，2]是減函數(shù)，則g（x）min=g（x）=-32，a>g（x）min=-32.

例7已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）.（1）當(dāng)a≤12時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)g（x）=x2-2bx+4，當(dāng)a=14時，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)b的取值范圍.

剖析：若對x1∈D1，x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等價于f（x）在D1上的最小值不小于g（x）在D2上的最小值即f（x）min≥g（x）min（這里假設(shè)f（x）min，g（x）min存在）.

解：（1）略；（2）依題意f（x）在（0，2）上的最小值不小于g（x）在[1，2]上的最小值即f（x）min≥g（x）min，于是問題轉(zhuǎn)化為最值問題.

當(dāng)a=14時，f（x）=lnx-14x+34x-1，所以f′（x）=1x-14-34x2=-（x-1）（x-3）4x2，則當(dāng)00，所以當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）min=f（1）=-12.

g（x）=x2-2bx+4，

①當(dāng)b<1時，可求得g（x）min=g（1）=5-2b，由5-2b≤-12得b≥114這與b<1矛盾.

②當(dāng)1≤b≤2時，可求得g（x）min=g（b）=4-b2，由4-b2≤-12得b2≥92這與1≤b≤2矛盾.

③當(dāng)b>2時，可求得g（x）min=g（2）=8-4b，由8-4b≤-12得b≥178.

綜合①②③得實數(shù)b的取值范圍是[178，+∞）.

（作者：房國新，江蘇省前黃高級中學(xué)）

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點和難點，由于函數(shù)有較強(qiáng)的抽象性，常因概念不清，而易混淆，缺乏透徹的理解.通過對函數(shù)中易錯題的分析和糾錯，加深對函數(shù)本質(zhì)及性質(zhì)的認(rèn)識.

一、有關(guān)函數(shù)定義域問題

例1（1）設(shè)f（x）=1+3xa在（-∞，1]上有意義，則a的取值范圍是；

（2）若f（x）=1+3xa的定義域是（-∞，1]，則a的取值是.

剖析：兩題表述不同，含義也不同.

函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量x的取值集合，而函數(shù)在某個區(qū)間上有意義，則這個區(qū)間是定義域的一個子區(qū)間，故問題（1）解答是：由x≤1得0<3x≤3，又1+3xa≥0恒成立，所以a≥-13x恒成立，只需a大于或等于-13x的最大值即可，解得a≥-13.

問題（2）解答是：f（x）的定義域是（-∞，1]，則須1+3xa≥0的解是x∈（-∞，1]，若a≥0，恒有1+3xa≥0，此時x∈R，定義域并非是（-∞，1]，故a<0.解1+3xa≥0，即3x≤-1a，取對數(shù)有x≤log3（-1a），此時定義域是（-∞，log3（-1a）]，必須且只需log3（-1a）=1，即a=-13.

例2函數(shù)f（x）=（1-x）1+x1-x的奇偶性為.

剖析：若作變形f（x）=1-x2，并判斷此函數(shù)為偶函數(shù)就錯了.判斷函數(shù)的奇偶性一定要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱.實際上，此函數(shù)的定義域為[-1，1），正確答案為：非奇非偶函數(shù).

二、有關(guān)函數(shù)定義域、值域為R問題

例3（1）函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.

剖析：常常誤認(rèn)為兩題解題方法相同，混淆了“定義域、值域為R”的本質(zhì).

問題（1）解答是：因為函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的定義域為R，即對任意x∈R，x2+ax+1>0恒成立，由于二次函數(shù)f（x）=x2+ax+1對應(yīng)的拋物線開口向上，只需判別式小于零，即a2-4<0，解得-2

問題（2）解答是：函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的值域為R，則真數(shù)必可取得任意大于零的數(shù)，只需判別式大于或等于零，即a2-4≥0，解得a≤-2或a≥2.

三、有關(guān)函數(shù)軸對稱問題

例4（1）設(shè)x∈R.函數(shù)y=f（1-x）和y=f（1+x）的圖像關(guān)于直線對稱；

（2）函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1-x）=f（1+x），則y=f（x）的圖像關(guān)于直線對稱.

剖析：常常誤認(rèn)為兩題答案相同，其實不然，這是兩類不同的軸對稱問題.

“函數(shù)y=f（a+x）與y=f（b-x）的圖像關(guān)于直線x=b-a2成軸對稱”這是兩個函數(shù)的圖像之間的軸對稱關(guān)系，故問題（1）答案是x=0.

“函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足條件f（a+x）=f（b-x），則y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a+b2成軸對稱”是具有某種性質(zhì)的一個函數(shù)的圖像自身的軸對稱問題，故問題（2）答案是x=1.

四、有關(guān)函數(shù)分類討論的問題

例5解關(guān)于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0.

剖析：研究含有字母系數(shù)的二次三項不等式時，首先要研究二次項系數(shù)a=0還是a≠0，當(dāng)a=0時就是一次不等式問題，當(dāng)a≠0時就是二次不等式問題.

解：（1）若a=0，則原不等式即為-x+1<0，解得x>1.

（2）若a<0，則原不等式可化為（x-1a）（x-1）>0.

解得x<1a或x>1.

（3）若a>0，（x-1a）（x-1）<0.

其解的情況應(yīng)該由1a與1的大小關(guān)系來決定.

當(dāng)0

當(dāng)a=1時，無解；

當(dāng)a>1時，1a

五、有關(guān)函數(shù)恒成立、能成立問題

例6（1）已知函數(shù)f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]時，不等式f（x）>0恒成立，求a的范圍；

（2）已知函數(shù)f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]時，不等式f（x）>0能成立，求a的范圍.

剖析：辨析“恒成立、能成立”的含義，這是兩個不同的問題.

區(qū)間（a，b）使問題恒成立是指這個區(qū)間內(nèi)每個元素都使這個問題成立.故問題（1）解答是：原不等式可化為a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易證g（x）在[1，2]是減函數(shù)，則g（x）max=g（1）=-1，a>g（x）max=-1.

區(qū)間（a，b）使問題能成立是指這個區(qū)間內(nèi)有元素（不一定是全部元素）使這個問題成立.故問題（2）解答是：原不等式可化為a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易證g（x）在[1，2]是減函數(shù)，則g（x）min=g（x）=-32，a>g（x）min=-32.

例7已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）.（1）當(dāng)a≤12時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)g（x）=x2-2bx+4，當(dāng)a=14時，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)b的取值范圍.

剖析：若對x1∈D1，x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等價于f（x）在D1上的最小值不小于g（x）在D2上的最小值即f（x）min≥g（x）min（這里假設(shè)f（x）min，g（x）min存在）.

解：（1）略；（2）依題意f（x）在（0，2）上的最小值不小于g（x）在[1，2]上的最小值即f（x）min≥g（x）min，于是問題轉(zhuǎn)化為最值問題.

當(dāng)a=14時，f（x）=lnx-14x+34x-1，所以f′（x）=1x-14-34x2=-（x-1）（x-3）4x2，則當(dāng)00，所以當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）min=f（1）=-12.

g（x）=x2-2bx+4，

①當(dāng)b<1時，可求得g（x）min=g（1）=5-2b，由5-2b≤-12得b≥114這與b<1矛盾.

②當(dāng)1≤b≤2時，可求得g（x）min=g（b）=4-b2，由4-b2≤-12得b2≥92這與1≤b≤2矛盾.

③當(dāng)b>2時，可求得g（x）min=g（2）=8-4b，由8-4b≤-12得b≥178.

綜合①②③得實數(shù)b的取值范圍是[178，+∞）.

（作者：房國新，江蘇省前黃高級中學(xué)）

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點和難點，由于函數(shù)有較強(qiáng)的抽象性，常因概念不清，而易混淆，缺乏透徹的理解.通過對函數(shù)中易錯題的分析和糾錯，加深對函數(shù)本質(zhì)及性質(zhì)的認(rèn)識.

一、有關(guān)函數(shù)定義域問題

例1（1）設(shè)f（x）=1+3xa在（-∞，1]上有意義，則a的取值范圍是；

（2）若f（x）=1+3xa的定義域是（-∞，1]，則a的取值是.

剖析：兩題表述不同，含義也不同.

函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量x的取值集合，而函數(shù)在某個區(qū)間上有意義，則這個區(qū)間是定義域的一個子區(qū)間，故問題（1）解答是：由x≤1得0<3x≤3，又1+3xa≥0恒成立，所以a≥-13x恒成立，只需a大于或等于-13x的最大值即可，解得a≥-13.

問題（2）解答是：f（x）的定義域是（-∞，1]，則須1+3xa≥0的解是x∈（-∞，1]，若a≥0，恒有1+3xa≥0，此時x∈R，定義域并非是（-∞，1]，故a<0.解1+3xa≥0，即3x≤-1a，取對數(shù)有x≤log3（-1a），此時定義域是（-∞，log3（-1a）]，必須且只需log3（-1a）=1，即a=-13.

例2函數(shù)f（x）=（1-x）1+x1-x的奇偶性為.

剖析：若作變形f（x）=1-x2，并判斷此函數(shù)為偶函數(shù)就錯了.判斷函數(shù)的奇偶性一定要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱.實際上，此函數(shù)的定義域為[-1，1），正確答案為：非奇非偶函數(shù).

二、有關(guān)函數(shù)定義域、值域為R問題

例3（1）函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.

剖析：常常誤認(rèn)為兩題解題方法相同，混淆了“定義域、值域為R”的本質(zhì).

問題（1）解答是：因為函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的定義域為R，即對任意x∈R，x2+ax+1>0恒成立，由于二次函數(shù)f（x）=x2+ax+1對應(yīng)的拋物線開口向上，只需判別式小于零，即a2-4<0，解得-2

問題（2）解答是：函數(shù)y=lg（x2+ax+1）的值域為R，則真數(shù)必可取得任意大于零的數(shù)，只需判別式大于或等于零，即a2-4≥0，解得a≤-2或a≥2.

三、有關(guān)函數(shù)軸對稱問題

例4（1）設(shè)x∈R.函數(shù)y=f（1-x）和y=f（1+x）的圖像關(guān)于直線對稱；

（2）函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1-x）=f（1+x），則y=f（x）的圖像關(guān)于直線對稱.

剖析：常常誤認(rèn)為兩題答案相同，其實不然，這是兩類不同的軸對稱問題.

“函數(shù)y=f（a+x）與y=f（b-x）的圖像關(guān)于直線x=b-a2成軸對稱”這是兩個函數(shù)的圖像之間的軸對稱關(guān)系，故問題（1）答案是x=0.

“函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足條件f（a+x）=f（b-x），則y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a+b2成軸對稱”是具有某種性質(zhì)的一個函數(shù)的圖像自身的軸對稱問題，故問題（2）答案是x=1.

四、有關(guān)函數(shù)分類討論的問題

例5解關(guān)于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0.

剖析：研究含有字母系數(shù)的二次三項不等式時，首先要研究二次項系數(shù)a=0還是a≠0，當(dāng)a=0時就是一次不等式問題，當(dāng)a≠0時就是二次不等式問題.

解：（1）若a=0，則原不等式即為-x+1<0，解得x>1.

（2）若a<0，則原不等式可化為（x-1a）（x-1）>0.

解得x<1a或x>1.

（3）若a>0，（x-1a）（x-1）<0.

其解的情況應(yīng)該由1a與1的大小關(guān)系來決定.

當(dāng)0

當(dāng)a=1時，無解；

當(dāng)a>1時，1a

五、有關(guān)函數(shù)恒成立、能成立問題

例6（1）已知函數(shù)f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]時，不等式f（x）>0恒成立，求a的范圍；

（2）已知函數(shù)f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]時，不等式f（x）>0能成立，求a的范圍.

剖析：辨析“恒成立、能成立”的含義，這是兩個不同的問題.

區(qū)間（a，b）使問題恒成立是指這個區(qū)間內(nèi)每個元素都使這個問題成立.故問題（1）解答是：原不等式可化為a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易證g（x）在[1，2]是減函數(shù)，則g（x）max=g（1）=-1，a>g（x）max=-1.

區(qū)間（a，b）使問題能成立是指這個區(qū)間內(nèi)有元素（不一定是全部元素）使這個問題成立.故問題（2）解答是：原不等式可化為a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易證g（x）在[1，2]是減函數(shù)，則g（x）min=g（x）=-32，a>g（x）min=-32.

例7已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）.（1）當(dāng)a≤12時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)g（x）=x2-2bx+4，當(dāng)a=14時，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)b的取值范圍.

剖析：若對x1∈D1，x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等價于f（x）在D1上的最小值不小于g（x）在D2上的最小值即f（x）min≥g（x）min（這里假設(shè)f（x）min，g（x）min存在）.

解：（1）略；（2）依題意f（x）在（0，2）上的最小值不小于g（x）在[1，2]上的最小值即f（x）min≥g（x）min，于是問題轉(zhuǎn)化為最值問題.

當(dāng)a=14時，f（x）=lnx-14x+34x-1，所以f′（x）=1x-14-34x2=-（x-1）（x-3）4x2，則當(dāng)00，所以當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）min=f（1）=-12.

g（x）=x2-2bx+4，

①當(dāng)b<1時，可求得g（x）min=g（1）=5-2b，由5-2b≤-12得b≥114這與b<1矛盾.

②當(dāng)1≤b≤2時，可求得g（x）min=g（b）=4-b2，由4-b2≤-12得b2≥92這與1≤b≤2矛盾.

③當(dāng)b>2時，可求得g（x）min=g（2）=8-4b，由8-4b≤-12得b≥178.

綜合①②③得實數(shù)b的取值范圍是[178，+∞）.

（作者：房國新，江蘇省前黃高級中學(xué)）