王慶和+崔小軍

集合是高中的基礎(chǔ)性、工具性知識(shí)，高考中不僅以小題的形式單純考查集合知識(shí)，還會(huì)以集合語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)試題，并使用集合語(yǔ)言表述解題過(guò)程，因此在備考時(shí)要掌握集合的表示方法，能夠判斷元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系，能判斷兩個(gè)集合之間是否相等；要掌握集合的“交”“并”“補(bǔ)”的運(yùn)算和性質(zhì)，會(huì)用圖形表示集合與集合之間的關(guān)系；會(huì)用分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想研究集合的運(yùn)算問(wèn)題.在解題時(shí)對(duì)于集合問(wèn)題首先要確定屬于哪一類(lèi)集合（數(shù)集、點(diǎn)集或圖形的集合），再確定處理此類(lèi)問(wèn)題的方法；對(duì)于集合的運(yùn)算，大多根據(jù)集合中元素的互異性處理，有時(shí)需要用到分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；集合問(wèn)題多與函數(shù)、方程、不等式有關(guān)，要注意各類(lèi)知識(shí)的融會(huì)貫通.

一、元素與集合之間的關(guān)系問(wèn)題

例1已知集合A={0，1，2}，則集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是.

分析：因?yàn)閤∈A，y∈A，所以可對(duì)x，y賦值，從而求出集合B中的元素的個(gè)數(shù).

解析：因?yàn)閤，y∈A，所以x=0

y=0或x=0

y=1或x=0

y=2或x=1

y=0或x=1

y=1或x=1

y=2或x=2

y=0或x=2

y=1或x=2

y=2，所以B={0，-1，-2，1，2}，所以集合B中有5個(gè)元素.

點(diǎn)評(píng)：求解集合中的元素個(gè)數(shù)題目的關(guān)鍵，一是要準(zhǔn)確判斷元素是否屬于該集合，判斷的依據(jù)就是能否將該元素化成集合的代表元素的形式；二要準(zhǔn)確計(jì)算此集合中的元素的總個(gè)數(shù).本題易混淆數(shù)集與點(diǎn)集的區(qū)別，如數(shù)集B={x-y|x∈A，y∈A}誤當(dāng)成點(diǎn)集.

二、集合間的基本關(guān)系

例2設(shè)集合A={a，1，b}，B={a，a2，ab}，且A=B，求實(shí)數(shù)a，b的值.

分析：兩個(gè)集合相等時(shí)，這兩個(gè)集合中的元素完全相同，題目中的兩個(gè)集合含有一個(gè)相同的元素a，只要另外兩個(gè)元素相等即可.

解析一：∵A=B，∴{a，1，b}={a，a2，ab}，即{1，b}={a2，ab}，所以1=a2

b=ab或1=ab

b=a2，解得a=-1

b=0或a=1

b∈R或a=1

b=1，根據(jù)集合元素的互異性知只有a=-1

b=0適合，∴a=-1

b=0.

解析二：由于兩個(gè)數(shù)和另外兩個(gè)數(shù)相等的充要條件是這兩個(gè)數(shù)的和與積分別等于另外兩個(gè)數(shù)的和與積，故{1，b}={a2，ab}的充要條件是1·b=a2·ab

1+b=a2+ab，由元素的互異性知a≠1且b≠1，∴b=0，a=-1.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.∴a=-1

b=0.

點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)有限集合相等，可以從兩個(gè)集合中的元素相同求解，如果是兩個(gè)無(wú)限集合相等，從兩個(gè)集合中元素相同的角度進(jìn)行求解就不方便，這時(shí)就可以根據(jù)兩個(gè)集合相等的定義求解，即如果AB，BA，則A=B.在解決集合的元素問(wèn)題時(shí)一定要注意集合元素的互異性、無(wú)序性、確定性，這可以通過(guò)把求得的結(jié)果代入原來(lái)的集合來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn).

三、集合運(yùn)算中的技巧與方法

例3已知全集U=R，集合A={x||x|<3}，B={x|x-2≥0}，則A∪UB；最后利用并集的定義，求出A∪UB.

解析：因?yàn)锳={x||x|<3}=（-3，3），B={x|x-2≥0}=[2，+∞），所以UB=（-∞，2），所以A∪UB=（-∞，3）.

點(diǎn)評(píng)：破解集合運(yùn)算需掌握雙招：第一招，化簡(jiǎn)各個(gè)集合，即明確集合中元素的性質(zhì)，化簡(jiǎn)集合；第二招，借形解題，即與不等式有關(guān)的無(wú)限集之間的運(yùn)算常借助數(shù)軸，有限集之間的運(yùn)算常用韋恩圖（或直接計(jì)算），與函數(shù)的圖像有關(guān)的點(diǎn)集之間的運(yùn)算常借助坐標(biāo)系等，再根據(jù)集合的交集、并集、補(bǔ)集的定義進(jìn)行基本運(yùn)算.

四、集合的考查熱點(diǎn)——新定義問(wèn)題

例4已知集合A={a1，a2，…ak}（k≥2），其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：

S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}.

其中（a，b）是有序數(shù)對(duì)，集合S和T中的元素個(gè)數(shù)分別為m和n.

若對(duì)于任意的a∈A，總有-aA，則稱(chēng)集合A具有性質(zhì)P.

（I）檢驗(yàn)集合{0，1，2，3}與{-1，2，3}是否具有性質(zhì)P并對(duì)其中具有性質(zhì)P的集合，寫(xiě)出相應(yīng)的集合S和T；

（II）對(duì)任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：n≤k（k-1）2；

（III）判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

分析：本題關(guān)鍵是對(duì)性質(zhì)P的理解，能否將性質(zhì)P應(yīng)用到解題中去.

解析：（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性質(zhì)P.

集合{-1，2，3}具有性質(zhì)P，其相應(yīng)的集合S和T是S={（-1，3），（3，-1）}，

T={（2，-1），（2，3）}.

（II）證明：首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)（ai，aj）共有k2個(gè).

因?yàn)?A，所以（ai，ai）T（i=1，2，…，k）；

又因?yàn)楫?dāng)a∈A時(shí)，-aA時(shí)，所以當(dāng)（ai，aj）∈T時(shí)，（aj，ai）T（i，j=1，2，…，k）.

從而，集合T中元素的個(gè)數(shù)最多為12（k2-k）=k（k-1）2，

即n≤k（k-1）2.

（III）解：m=n，證明如下：

（1）對(duì)于（a，b）∈S，根據(jù)定義，a∈A，b∈A，且a+b∈A，從而（a+b，b）∈T.

如果（a，b）與（c，d）是S的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個(gè)不成立，從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個(gè)不成立.

故（a+b，b）與（c+d，d）也是T的不同元素.

可見(jiàn)，S中元素的個(gè)數(shù)不多于T中元素的個(gè)數(shù)，即m≤n，

（2）對(duì)于（a，b）∈T，根據(jù)定義，a∈A，b∈A，且a-b∈A，從而（a-b，b）∈S.如果（a，b）與（c，d）是T的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個(gè)不成立，從而a-b=c-d與b=d中也至少有一個(gè)不成立，

故（a-b，b）與（c-d，d）也是S的不同元素.

可見(jiàn)，T中元素的個(gè)數(shù)不多于S中元素的個(gè)數(shù)，即n≤m，

由（1）（2）可知，m=n.

點(diǎn)評(píng)：處理這種新定義題目的關(guān)鍵就是抓住新定義的本質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證，本題的特點(diǎn)是題目設(shè)計(jì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)情境（或在一個(gè)熟悉的數(shù)學(xué)情景中），定義一個(gè)新性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)新性質(zhì)的理解和應(yīng)用新性質(zhì)的能力.

五、破解集合中參數(shù)問(wèn)題

例5設(shè)U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}，若（UA）∩B=，求m的值.

分析：集合A、B是方程的解集，根據(jù)（UA）∩B=可得BA，利用子集的性質(zhì)分類(lèi)求解.

解析：解法一：A={-2，-1}，由（UA）∩B=可得BA，∵方程x2+（m+1）x+m=0的判別式Δ=（m+1）2-4m=（m-1）2≥0，∴B≠，∴B={-1}或{-2}或{-1，-2}.①若B={-1}時(shí)，則m=1；②若B={-2}時(shí)，則應(yīng)有-（m+1）=（-2）+（-2）=-4且m=（-2）·（-2）=4，這兩式不能同時(shí)成立.∴B≠{-2}；③若B={-1，-2}，則應(yīng)有-（m+1）=（-1）+（-2）=-3且m=（-1）·（-2）=2，由這兩式得m=2.經(jīng)檢驗(yàn)知m=1得m=2符合條件，∴m=1或2.

解法二：本題集合B中方程的根是x1=-1，x2=-m，當(dāng)-m≠-1時(shí)，集合B={-1，-m}，此時(shí)只能A=B，即m=2，當(dāng)-m=-1時(shí)集合B={-1}，此時(shí)集合B是集合A的真子集，也符合要求，∴m=1或2.

點(diǎn)評(píng)：在方程的解組成的集合中，要善于根據(jù)方程的知識(shí)考察集合中的問(wèn)題，如根據(jù)一元二次方程中的根與系數(shù)關(guān)系、方程的判別式等進(jìn)行分析，并盡可能求出方程的根，使集合具體化，更有助于問(wèn)題的解決.當(dāng)已知集合之間的關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，要從這些復(fù)雜的關(guān)系中把本質(zhì)關(guān)系找出來(lái)，如本題中（UA）∩B=，結(jié)合韋恩圖，可知這個(gè)關(guān)系實(shí)際上等價(jià)于BA，這樣問(wèn)題就容易解決了，解決復(fù)雜集合問(wèn)題要有這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的意識(shí).另外方程中的兩個(gè)相等的根，可以認(rèn)為是這個(gè)方程的兩個(gè)根，但集合元素是互異的，當(dāng)用集合表示方程的解集時(shí)，相等的兩個(gè)根只能算作一個(gè)元素，故在解答這類(lèi)試題時(shí)一定要注意這個(gè)特點(diǎn)，注意對(duì)所得到的結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤.

六、突破集合綜合性運(yùn)算問(wèn)題中的難點(diǎn)

例6已知集合A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}，若A∩B≠，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

分析：兩個(gè)集合表示的都是點(diǎn)集，故先作出兩個(gè)集合表示的平面圖形，然后根據(jù)兩個(gè)圖形的特征確定參數(shù)所滿(mǎn)足的條件.顯然B表示的是圓面，所以應(yīng)該利用圓的有關(guān)知識(shí)解決.

解析：集合A，B表示的是兩個(gè)點(diǎn)集，如圖所示，作出不等式

A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}及B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}所表示的平面區(qū)域，由圖，可知集合A表示中心為M（a，1），邊長(zhǎng)為2的正方形CDEF的內(nèi)部（包括邊界）；而集合B是圓心為N（1，1），半徑為1的圓的內(nèi)部（包括邊界）.顯然，在正方形CDEF中，|CE|=2|CD|=2，|MC|=12|CE|=1，由圖，可知當(dāng)|MN|≤1+1=2時(shí)，A∩B≠，即|a-1|≤2，解得-1≤a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，3].

點(diǎn)評(píng)：集合的綜合問(wèn)題多與函數(shù)、方程、解析幾何等問(wèn)題相聯(lián)系，解決此類(lèi)問(wèn)題多利用數(shù)形結(jié)合的方法，即借助函數(shù)和圖像以及解析幾何中的相關(guān)圖形，根據(jù)函數(shù)圖像的特點(diǎn)以及圖形的直觀(guān)性進(jìn)行求解.如本題把兩個(gè)集合交集非空轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面區(qū)域有公共部分，根據(jù)正方形和圓的結(jié)構(gòu)特征，利用正方形的中心到圓心的距離來(lái)確定參數(shù)所滿(mǎn)足的條件.利用數(shù)形結(jié)合的方法求解集合的綜合性問(wèn)題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確表示集合所對(duì)應(yīng)的圖形，尤其是應(yīng)注意不等式中是否帶有等號(hào)，函數(shù)解析式中的自變量是否有取值范圍限制等.如本題中，若兩個(gè)集合中的不等式都不含等號(hào)，則這兩個(gè)圖形就不包括它們的邊界，則|a-1|<2；同理若集合A，B中的不等式中有一個(gè)不含等號(hào)，則參數(shù)a所滿(mǎn)足的條件也應(yīng)變?yōu)閨a-1|<2.如果不注意這些細(xì)節(jié)，就會(huì)出現(xiàn)增解或漏解而導(dǎo)致失誤.

（作者：王慶和、崔小軍，江蘇省阜寧中學(xué)）

如果（a，b）與（c，d）是S的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個(gè)不成立，從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個(gè)不成立.

故（a+b，b）與（c+d，d）也是T的不同元素.

可見(jiàn)，S中元素的個(gè)數(shù)不多于T中元素的個(gè)數(shù)，即m≤n，

（2）對(duì)于（a，b）∈T，根據(jù)定義，a∈A，b∈A，且a-b∈A，從而（a-b，b）∈S.如果（a，b）與（c，d）是T的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個(gè)不成立，從而a-b=c-d與b=d中也至少有一個(gè)不成立，

故（a-b，b）與（c-d，d）也是S的不同元素.

可見(jiàn)，T中元素的個(gè)數(shù)不多于S中元素的個(gè)數(shù)，即n≤m，

由（1）（2）可知，m=n.

點(diǎn)評(píng)：處理這種新定義題目的關(guān)鍵就是抓住新定義的本質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證，本題的特點(diǎn)是題目設(shè)計(jì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)情境（或在一個(gè)熟悉的數(shù)學(xué)情景中），定義一個(gè)新性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)新性質(zhì)的理解和應(yīng)用新性質(zhì)的能力.

五、破解集合中參數(shù)問(wèn)題

例5設(shè)U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}，若（UA）∩B=，求m的值.

分析：集合A、B是方程的解集，根據(jù)（UA）∩B=可得BA，利用子集的性質(zhì)分類(lèi)求解.

解析：解法一：A={-2，-1}，由（UA）∩B=可得BA，∵方程x2+（m+1）x+m=0的判別式Δ=（m+1）2-4m=（m-1）2≥0，∴B≠，∴B={-1}或{-2}或{-1，-2}.①若B={-1}時(shí)，則m=1；②若B={-2}時(shí)，則應(yīng)有-（m+1）=（-2）+（-2）=-4且m=（-2）·（-2）=4，這兩式不能同時(shí)成立.∴B≠{-2}；③若B={-1，-2}，則應(yīng)有-（m+1）=（-1）+（-2）=-3且m=（-1）·（-2）=2，由這兩式得m=2.經(jīng)檢驗(yàn)知m=1得m=2符合條件，∴m=1或2.

解法二：本題集合B中方程的根是x1=-1，x2=-m，當(dāng)-m≠-1時(shí)，集合B={-1，-m}，此時(shí)只能A=B，即m=2，當(dāng)-m=-1時(shí)集合B={-1}，此時(shí)集合B是集合A的真子集，也符合要求，∴m=1或2.

點(diǎn)評(píng)：在方程的解組成的集合中，要善于根據(jù)方程的知識(shí)考察集合中的問(wèn)題，如根據(jù)一元二次方程中的根與系數(shù)關(guān)系、方程的判別式等進(jìn)行分析，并盡可能求出方程的根，使集合具體化，更有助于問(wèn)題的解決.當(dāng)已知集合之間的關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，要從這些復(fù)雜的關(guān)系中把本質(zhì)關(guān)系找出來(lái)，如本題中（UA）∩B=，結(jié)合韋恩圖，可知這個(gè)關(guān)系實(shí)際上等價(jià)于BA，這樣問(wèn)題就容易解決了，解決復(fù)雜集合問(wèn)題要有這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的意識(shí).另外方程中的兩個(gè)相等的根，可以認(rèn)為是這個(gè)方程的兩個(gè)根，但集合元素是互異的，當(dāng)用集合表示方程的解集時(shí)，相等的兩個(gè)根只能算作一個(gè)元素，故在解答這類(lèi)試題時(shí)一定要注意這個(gè)特點(diǎn)，注意對(duì)所得到的結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤.

六、突破集合綜合性運(yùn)算問(wèn)題中的難點(diǎn)

例6已知集合A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}，若A∩B≠，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

分析：兩個(gè)集合表示的都是點(diǎn)集，故先作出兩個(gè)集合表示的平面圖形，然后根據(jù)兩個(gè)圖形的特征確定參數(shù)所滿(mǎn)足的條件.顯然B表示的是圓面，所以應(yīng)該利用圓的有關(guān)知識(shí)解決.

解析：集合A，B表示的是兩個(gè)點(diǎn)集，如圖所示，作出不等式

A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}及B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}所表示的平面區(qū)域，由圖，可知集合A表示中心為M（a，1），邊長(zhǎng)為2的正方形CDEF的內(nèi)部（包括邊界）；而集合B是圓心為N（1，1），半徑為1的圓的內(nèi)部（包括邊界）.顯然，在正方形CDEF中，|CE|=2|CD|=2，|MC|=12|CE|=1，由圖，可知當(dāng)|MN|≤1+1=2時(shí)，A∩B≠，即|a-1|≤2，解得-1≤a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，3].

點(diǎn)評(píng)：集合的綜合問(wèn)題多與函數(shù)、方程、解析幾何等問(wèn)題相聯(lián)系，解決此類(lèi)問(wèn)題多利用數(shù)形結(jié)合的方法，即借助函數(shù)和圖像以及解析幾何中的相關(guān)圖形，根據(jù)函數(shù)圖像的特點(diǎn)以及圖形的直觀(guān)性進(jìn)行求解.如本題把兩個(gè)集合交集非空轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面區(qū)域有公共部分，根據(jù)正方形和圓的結(jié)構(gòu)特征，利用正方形的中心到圓心的距離來(lái)確定參數(shù)所滿(mǎn)足的條件.利用數(shù)形結(jié)合的方法求解集合的綜合性問(wèn)題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確表示集合所對(duì)應(yīng)的圖形，尤其是應(yīng)注意不等式中是否帶有等號(hào)，函數(shù)解析式中的自變量是否有取值范圍限制等.如本題中，若兩個(gè)集合中的不等式都不含等號(hào)，則這兩個(gè)圖形就不包括它們的邊界，則|a-1|<2；同理若集合A，B中的不等式中有一個(gè)不含等號(hào)，則參數(shù)a所滿(mǎn)足的條件也應(yīng)變?yōu)閨a-1|<2.如果不注意這些細(xì)節(jié)，就會(huì)出現(xiàn)增解或漏解而導(dǎo)致失誤.

（作者：王慶和、崔小軍，江蘇省阜寧中學(xué)）

如果（a，b）與（c，d）是S的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個(gè)不成立，從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個(gè)不成立.

故（a+b，b）與（c+d，d）也是T的不同元素.

可見(jiàn)，S中元素的個(gè)數(shù)不多于T中元素的個(gè)數(shù)，即m≤n，

（2）對(duì)于（a，b）∈T，根據(jù)定義，a∈A，b∈A，且a-b∈A，從而（a-b，b）∈S.如果（a，b）與（c，d）是T的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個(gè)不成立，從而a-b=c-d與b=d中也至少有一個(gè)不成立，

故（a-b，b）與（c-d，d）也是S的不同元素.

可見(jiàn)，T中元素的個(gè)數(shù)不多于S中元素的個(gè)數(shù)，即n≤m，

由（1）（2）可知，m=n.

點(diǎn)評(píng)：處理這種新定義題目的關(guān)鍵就是抓住新定義的本質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證，本題的特點(diǎn)是題目設(shè)計(jì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)情境（或在一個(gè)熟悉的數(shù)學(xué)情景中），定義一個(gè)新性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)新性質(zhì)的理解和應(yīng)用新性質(zhì)的能力.

五、破解集合中參數(shù)問(wèn)題

例5設(shè)U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}，若（UA）∩B=，求m的值.

分析：集合A、B是方程的解集，根據(jù)（UA）∩B=可得BA，利用子集的性質(zhì)分類(lèi)求解.

解析：解法一：A={-2，-1}，由（UA）∩B=可得BA，∵方程x2+（m+1）x+m=0的判別式Δ=（m+1）2-4m=（m-1）2≥0，∴B≠，∴B={-1}或{-2}或{-1，-2}.①若B={-1}時(shí)，則m=1；②若B={-2}時(shí)，則應(yīng)有-（m+1）=（-2）+（-2）=-4且m=（-2）·（-2）=4，這兩式不能同時(shí)成立.∴B≠{-2}；③若B={-1，-2}，則應(yīng)有-（m+1）=（-1）+（-2）=-3且m=（-1）·（-2）=2，由這兩式得m=2.經(jīng)檢驗(yàn)知m=1得m=2符合條件，∴m=1或2.

解法二：本題集合B中方程的根是x1=-1，x2=-m，當(dāng)-m≠-1時(shí)，集合B={-1，-m}，此時(shí)只能A=B，即m=2，當(dāng)-m=-1時(shí)集合B={-1}，此時(shí)集合B是集合A的真子集，也符合要求，∴m=1或2.

點(diǎn)評(píng)：在方程的解組成的集合中，要善于根據(jù)方程的知識(shí)考察集合中的問(wèn)題，如根據(jù)一元二次方程中的根與系數(shù)關(guān)系、方程的判別式等進(jìn)行分析，并盡可能求出方程的根，使集合具體化，更有助于問(wèn)題的解決.當(dāng)已知集合之間的關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，要從這些復(fù)雜的關(guān)系中把本質(zhì)關(guān)系找出來(lái)，如本題中（UA）∩B=，結(jié)合韋恩圖，可知這個(gè)關(guān)系實(shí)際上等價(jià)于BA，這樣問(wèn)題就容易解決了，解決復(fù)雜集合問(wèn)題要有這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的意識(shí).另外方程中的兩個(gè)相等的根，可以認(rèn)為是這個(gè)方程的兩個(gè)根，但集合元素是互異的，當(dāng)用集合表示方程的解集時(shí)，相等的兩個(gè)根只能算作一個(gè)元素，故在解答這類(lèi)試題時(shí)一定要注意這個(gè)特點(diǎn)，注意對(duì)所得到的結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤.

六、突破集合綜合性運(yùn)算問(wèn)題中的難點(diǎn)

例6已知集合A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}，若A∩B≠，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

分析：兩個(gè)集合表示的都是點(diǎn)集，故先作出兩個(gè)集合表示的平面圖形，然后根據(jù)兩個(gè)圖形的特征確定參數(shù)所滿(mǎn)足的條件.顯然B表示的是圓面，所以應(yīng)該利用圓的有關(guān)知識(shí)解決.

解析：集合A，B表示的是兩個(gè)點(diǎn)集，如圖所示，作出不等式

A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}及B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}所表示的平面區(qū)域，由圖，可知集合A表示中心為M（a，1），邊長(zhǎng)為2的正方形CDEF的內(nèi)部（包括邊界）；而集合B是圓心為N（1，1），半徑為1的圓的內(nèi)部（包括邊界）.顯然，在正方形CDEF中，|CE|=2|CD|=2，|MC|=12|CE|=1，由圖，可知當(dāng)|MN|≤1+1=2時(shí)，A∩B≠，即|a-1|≤2，解得-1≤a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，3].

點(diǎn)評(píng)：集合的綜合問(wèn)題多與函數(shù)、方程、解析幾何等問(wèn)題相聯(lián)系，解決此類(lèi)問(wèn)題多利用數(shù)形結(jié)合的方法，即借助函數(shù)和圖像以及解析幾何中的相關(guān)圖形，根據(jù)函數(shù)圖像的特點(diǎn)以及圖形的直觀(guān)性進(jìn)行求解.如本題把兩個(gè)集合交集非空轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面區(qū)域有公共部分，根據(jù)正方形和圓的結(jié)構(gòu)特征，利用正方形的中心到圓心的距離來(lái)確定參數(shù)所滿(mǎn)足的條件.利用數(shù)形結(jié)合的方法求解集合的綜合性問(wèn)題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確表示集合所對(duì)應(yīng)的圖形，尤其是應(yīng)注意不等式中是否帶有等號(hào)，函數(shù)解析式中的自變量是否有取值范圍限制等.如本題中，若兩個(gè)集合中的不等式都不含等號(hào)，則這兩個(gè)圖形就不包括它們的邊界，則|a-1|<2；同理若集合A，B中的不等式中有一個(gè)不含等號(hào)，則參數(shù)a所滿(mǎn)足的條件也應(yīng)變?yōu)閨a-1|<2.如果不注意這些細(xì)節(jié)，就會(huì)出現(xiàn)增解或漏解而導(dǎo)致失誤.

（作者：王慶和、崔小軍，江蘇省阜寧中學(xué)）