王中華

分段函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的熱點，也是高考的重要考點，下面就分段函數(shù)的概念及熱點題型進(jìn)行解析.

1.分段函數(shù)的定義

定義域分成若干區(qū)間，在各個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).

注意：分段函數(shù)表示的是一個函數(shù)，不是幾個函數(shù)，也不是幾個函數(shù)的組合，只不過它有多個對應(yīng)關(guān)系.

2.分段函數(shù)的定義域及值域

依據(jù)函數(shù)定義域、值域的定義，分段函數(shù)的定義域應(yīng)是所有自變量取值區(qū)間的并集，值域應(yīng)是各段函數(shù)值取值區(qū)間的并集.最大（小）值就是每段函數(shù)值中最大（?。┑哪且粋€.

3.分段函數(shù)的圖像

畫分段函數(shù)的圖像，應(yīng)在各自定義域之下畫出定義域所對應(yīng)的解析式的圖像.

考點1分段函數(shù)的求值

例1設(shè)f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，則f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

點評：本題考查了函數(shù)的周期性和分段函數(shù)的定義.解決分段函數(shù)的關(guān)鍵在于抓住自變量的范圍和它對應(yīng)的解析式.根據(jù)自變量的取值分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值.

跟蹤練習(xí)：定義在R上的函數(shù)

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，則f（2014）=.

答案：log32

解析：因為當(dāng)x>0時，f（x）=f（x-1）-f（x-2），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1），所以f（x+1）=-f（x-2），即f（x+3）=-f（x），所以函數(shù)的周期為6，故f（2014）=f（4）=-f（1）=-[f（0）-f（-1）]=-（log31-log32）=log32.

考點2利用分段函數(shù)求參數(shù)的取值范圍

例2設(shè)函數(shù)f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案：a≤2

解析：由題意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

當(dāng)a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2時，解得a≤2.

點評：本題考查了復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)的概念.根據(jù)自變量的取值范圍的不同分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，列出不等關(guān)系式，求出參數(shù)的取值范圍.

跟蹤練習(xí)：

函數(shù)f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是 .

答案：[13，1）

解析：據(jù)單調(diào)性定義，f（x）為減函數(shù)應(yīng)滿足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考點3分段函數(shù)的性質(zhì)

例3已知函數(shù)f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，則下列結(jié)論正確的是（）

A. f（x）是偶函數(shù)

B. f（x）是增函數(shù)

C. f（x）是周期函數(shù)

D. f（x）的值域為[-1，+∞）

答案：D

解析：由于分段函數(shù)的左右兩邊的函數(shù)圖像不關(guān)于y軸對稱，所以A不正確，由于圖像左邊不單調(diào)，所以B不正確，由于圖像x>0部分的圖像沒有周期性，所以C不正確，故選D.

點評：判斷分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性應(yīng)遵循“分段判斷，合并作答”的原則.

跟蹤練習(xí)：判斷函數(shù)f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

當(dāng)x<0時，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

當(dāng)x>0時，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

綜上所述，在函數(shù)定義域內(nèi)始終有f（-x）=f（x），

∴函數(shù)f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）為偶函數(shù).

考點4分段函數(shù)的圖像問題

例4已知函數(shù)f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直線y=m與函數(shù)f（x）的圖像有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是.

答案：（0，1）

解析：在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的圖像，可見當(dāng)0

點評：作出分段函數(shù)的各段圖像，再觀察分析.要特別注意x，y的變化范圍.必須熟記基本函數(shù)的圖像.

跟蹤練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案：（34，1）

解析：因為二次函數(shù)最多有兩個零點，所以函數(shù)y=ax-3（x>0）必有一個零點，從而a>0，所以函數(shù)y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考點5求分段函數(shù)的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，將f（x）在[m，m+1]上的最小值記為g（m），試求g（m）的表達(dá)式.

分析：以函數(shù)f（x）的對稱軸x=1與區(qū)間[m，m+1]的位置關(guān)系分三種情況討論，g（m）的取值因區(qū)間的不同而不同，因此，它應(yīng)是關(guān)于m的一個分段函數(shù).

解析：當(dāng)對稱軸在區(qū)間左側(cè)，即m>1時，函數(shù)f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上為增函數(shù)，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

當(dāng)對稱軸在區(qū)間內(nèi)時，即0≤m≤1時，g（m）=f（1）=2；

當(dāng)對稱軸在區(qū)間的右側(cè)時，即m<0，函數(shù)f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上為減函數(shù)，g（m）=f（m+1）=m2+2.

綜上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

點評：求分段函數(shù)的解析式要遵循“先分（求）后總（求）”的原則.

跟蹤練習(xí)：甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發(fā)前往乙家.如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過的路程y（km）

與時間x（分鐘）的關(guān)系，試寫出y=f（x）的函數(shù)解析式.

解析：當(dāng)x∈[0，30]時，設(shè)y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

當(dāng)x∈（30，40）時，y=2；

當(dāng)x∈[40，60]時，設(shè)y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

綜上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函數(shù)是函數(shù)的一種重要而特殊的表現(xiàn)形式，同學(xué)們要注意它和一般函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，在理解其本質(zhì)的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確地運用它.

分段函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的熱點，也是高考的重要考點，下面就分段函數(shù)的概念及熱點題型進(jìn)行解析.

1.分段函數(shù)的定義

定義域分成若干區(qū)間，在各個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).

注意：分段函數(shù)表示的是一個函數(shù)，不是幾個函數(shù)，也不是幾個函數(shù)的組合，只不過它有多個對應(yīng)關(guān)系.

2.分段函數(shù)的定義域及值域

依據(jù)函數(shù)定義域、值域的定義，分段函數(shù)的定義域應(yīng)是所有自變量取值區(qū)間的并集，值域應(yīng)是各段函數(shù)值取值區(qū)間的并集.最大（?。┲稻褪敲慷魏瘮?shù)值中最大（小）的那一個.

3.分段函數(shù)的圖像

畫分段函數(shù)的圖像，應(yīng)在各自定義域之下畫出定義域所對應(yīng)的解析式的圖像.

考點1分段函數(shù)的求值

例1設(shè)f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，則f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

點評：本題考查了函數(shù)的周期性和分段函數(shù)的定義.解決分段函數(shù)的關(guān)鍵在于抓住自變量的范圍和它對應(yīng)的解析式.根據(jù)自變量的取值分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值.

跟蹤練習(xí)：定義在R上的函數(shù)

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，則f（2014）=.

答案：log32

解析：因為當(dāng)x>0時，f（x）=f（x-1）-f（x-2），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1），所以f（x+1）=-f（x-2），即f（x+3）=-f（x），所以函數(shù)的周期為6，故f（2014）=f（4）=-f（1）=-[f（0）-f（-1）]=-（log31-log32）=log32.

考點2利用分段函數(shù)求參數(shù)的取值范圍

例2設(shè)函數(shù)f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案：a≤2

解析：由題意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

當(dāng)a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2時，解得a≤2.

點評：本題考查了復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)的概念.根據(jù)自變量的取值范圍的不同分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，列出不等關(guān)系式，求出參數(shù)的取值范圍.

跟蹤練習(xí)：

函數(shù)f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是 .

答案：[13，1）

解析：據(jù)單調(diào)性定義，f（x）為減函數(shù)應(yīng)滿足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考點3分段函數(shù)的性質(zhì)

例3已知函數(shù)f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，則下列結(jié)論正確的是（）

A. f（x）是偶函數(shù)

B. f（x）是增函數(shù)

C. f（x）是周期函數(shù)

D. f（x）的值域為[-1，+∞）

答案：D

解析：由于分段函數(shù)的左右兩邊的函數(shù)圖像不關(guān)于y軸對稱，所以A不正確，由于圖像左邊不單調(diào)，所以B不正確，由于圖像x>0部分的圖像沒有周期性，所以C不正確，故選D.

點評：判斷分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性應(yīng)遵循“分段判斷，合并作答”的原則.

跟蹤練習(xí)：判斷函數(shù)f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

當(dāng)x<0時，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

當(dāng)x>0時，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

綜上所述，在函數(shù)定義域內(nèi)始終有f（-x）=f（x），

∴函數(shù)f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）為偶函數(shù).

考點4分段函數(shù)的圖像問題

例4已知函數(shù)f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直線y=m與函數(shù)f（x）的圖像有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是.

答案：（0，1）

解析：在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的圖像，可見當(dāng)0

點評：作出分段函數(shù)的各段圖像，再觀察分析.要特別注意x，y的變化范圍.必須熟記基本函數(shù)的圖像.

跟蹤練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案：（34，1）

解析：因為二次函數(shù)最多有兩個零點，所以函數(shù)y=ax-3（x>0）必有一個零點，從而a>0，所以函數(shù)y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考點5求分段函數(shù)的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，將f（x）在[m，m+1]上的最小值記為g（m），試求g（m）的表達(dá)式.

分析：以函數(shù)f（x）的對稱軸x=1與區(qū)間[m，m+1]的位置關(guān)系分三種情況討論，g（m）的取值因區(qū)間的不同而不同，因此，它應(yīng)是關(guān)于m的一個分段函數(shù).

解析：當(dāng)對稱軸在區(qū)間左側(cè)，即m>1時，函數(shù)f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上為增函數(shù)，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

當(dāng)對稱軸在區(qū)間內(nèi)時，即0≤m≤1時，g（m）=f（1）=2；

當(dāng)對稱軸在區(qū)間的右側(cè)時，即m<0，函數(shù)f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上為減函數(shù)，g（m）=f（m+1）=m2+2.

綜上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

點評：求分段函數(shù)的解析式要遵循“先分（求）后總（求）”的原則.

跟蹤練習(xí)：甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發(fā)前往乙家.如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過的路程y（km）

與時間x（分鐘）的關(guān)系，試寫出y=f（x）的函數(shù)解析式.

解析：當(dāng)x∈[0，30]時，設(shè)y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

當(dāng)x∈（30，40）時，y=2；

當(dāng)x∈[40，60]時，設(shè)y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

綜上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函數(shù)是函數(shù)的一種重要而特殊的表現(xiàn)形式，同學(xué)們要注意它和一般函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，在理解其本質(zhì)的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確地運用它.

分段函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的熱點，也是高考的重要考點，下面就分段函數(shù)的概念及熱點題型進(jìn)行解析.

1.分段函數(shù)的定義

定義域分成若干區(qū)間，在各個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).

注意：分段函數(shù)表示的是一個函數(shù)，不是幾個函數(shù)，也不是幾個函數(shù)的組合，只不過它有多個對應(yīng)關(guān)系.

2.分段函數(shù)的定義域及值域

依據(jù)函數(shù)定義域、值域的定義，分段函數(shù)的定義域應(yīng)是所有自變量取值區(qū)間的并集，值域應(yīng)是各段函數(shù)值取值區(qū)間的并集.最大（小）值就是每段函數(shù)值中最大（?。┑哪且粋€.

3.分段函數(shù)的圖像

畫分段函數(shù)的圖像，應(yīng)在各自定義域之下畫出定義域所對應(yīng)的解析式的圖像.

考點1分段函數(shù)的求值

例1設(shè)f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，則f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

點評：本題考查了函數(shù)的周期性和分段函數(shù)的定義.解決分段函數(shù)的關(guān)鍵在于抓住自變量的范圍和它對應(yīng)的解析式.根據(jù)自變量的取值分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值.

跟蹤練習(xí)：定義在R上的函數(shù)

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，則f（2014）=.

答案：log32

解析：因為當(dāng)x>0時，f（x）=f（x-1）-f（x-2），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1），所以f（x+1）=-f（x-2），即f（x+3）=-f（x），所以函數(shù)的周期為6，故f（2014）=f（4）=-f（1）=-[f（0）-f（-1）]=-（log31-log32）=log32.

考點2利用分段函數(shù)求參數(shù)的取值范圍

例2設(shè)函數(shù)f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案：a≤2

解析：由題意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

當(dāng)a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2時，解得a≤2.

點評：本題考查了復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)的概念.根據(jù)自變量的取值范圍的不同分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，列出不等關(guān)系式，求出參數(shù)的取值范圍.

跟蹤練習(xí)：

函數(shù)f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是 .

答案：[13，1）

解析：據(jù)單調(diào)性定義，f（x）為減函數(shù)應(yīng)滿足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考點3分段函數(shù)的性質(zhì)

例3已知函數(shù)f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，則下列結(jié)論正確的是（）

A. f（x）是偶函數(shù)

B. f（x）是增函數(shù)

C. f（x）是周期函數(shù)

D. f（x）的值域為[-1，+∞）

答案：D

解析：由于分段函數(shù)的左右兩邊的函數(shù)圖像不關(guān)于y軸對稱，所以A不正確，由于圖像左邊不單調(diào)，所以B不正確，由于圖像x>0部分的圖像沒有周期性，所以C不正確，故選D.

點評：判斷分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性應(yīng)遵循“分段判斷，合并作答”的原則.

跟蹤練習(xí)：判斷函數(shù)f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

當(dāng)x<0時，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

當(dāng)x>0時，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

綜上所述，在函數(shù)定義域內(nèi)始終有f（-x）=f（x），

∴函數(shù)f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）為偶函數(shù).

考點4分段函數(shù)的圖像問題

例4已知函數(shù)f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直線y=m與函數(shù)f（x）的圖像有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是.

答案：（0，1）

解析：在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的圖像，可見當(dāng)0

點評：作出分段函數(shù)的各段圖像，再觀察分析.要特別注意x，y的變化范圍.必須熟記基本函數(shù)的圖像.

跟蹤練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案：（34，1）

解析：因為二次函數(shù)最多有兩個零點，所以函數(shù)y=ax-3（x>0）必有一個零點，從而a>0，所以函數(shù)y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考點5求分段函數(shù)的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，將f（x）在[m，m+1]上的最小值記為g（m），試求g（m）的表達(dá)式.

分析：以函數(shù)f（x）的對稱軸x=1與區(qū)間[m，m+1]的位置關(guān)系分三種情況討論，g（m）的取值因區(qū)間的不同而不同，因此，它應(yīng)是關(guān)于m的一個分段函數(shù).

解析：當(dāng)對稱軸在區(qū)間左側(cè)，即m>1時，函數(shù)f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上為增函數(shù)，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

當(dāng)對稱軸在區(qū)間內(nèi)時，即0≤m≤1時，g（m）=f（1）=2；

當(dāng)對稱軸在區(qū)間的右側(cè)時，即m<0，函數(shù)f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上為減函數(shù)，g（m）=f（m+1）=m2+2.

綜上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

點評：求分段函數(shù)的解析式要遵循“先分（求）后總（求）”的原則.

跟蹤練習(xí)：甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發(fā)前往乙家.如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過的路程y（km）

與時間x（分鐘）的關(guān)系，試寫出y=f（x）的函數(shù)解析式.

解析：當(dāng)x∈[0，30]時，設(shè)y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

當(dāng)x∈（30，40）時，y=2；

當(dāng)x∈[40，60]時，設(shè)y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

綜上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函數(shù)是函數(shù)的一種重要而特殊的表現(xiàn)形式，同學(xué)們要注意它和一般函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，在理解其本質(zhì)的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確地運用它.