謝歡歡，李長(zhǎng)源，楊伯朝

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十研究所，西安 710068）

在陣列天線設(shè)計(jì)過(guò)程中，為了實(shí)現(xiàn)一些特定的目標(biāo)，需要對(duì)陣列的波束形狀進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)要求展寬陣列天線的波束。如相控陣?yán)走_(dá)在指定空間區(qū)域?qū)崿F(xiàn)多目標(biāo)的搜索和跟蹤時(shí)，要求展寬相控陣天線的波束。相控陣?yán)走_(dá)在進(jìn)行寬波束搜索、多目標(biāo)引導(dǎo)和寬波束導(dǎo)彈截獲時(shí)，也需要其陣列天線具有寬波束的功能。除此以外，陣列波束展寬還應(yīng)用于空間微波能量傳輸中，波束展寬能避免能量過(guò)于集中，對(duì)接收的整流設(shè)備造成擊穿破壞，使能量在要求區(qū)域內(nèi)均衡分布，接收設(shè)備的效率最大化。研究人員提出了很多陣列賦形算法來(lái)實(shí)現(xiàn)波束展寬，其通?？煞譃榻馕龇椒ê蛿?shù)值方法。經(jīng)典的解析方法有傅立葉變換法（Fourier Transform Method）[1]、Woodward綜合法[2]等，這類方法計(jì)算速度快，但其精度較差，與要求的波形會(huì)存在一定差異。與解析方法相比，數(shù)值方法的精度高，適用范圍廣，越來(lái)越受到重視。然而數(shù)值方法的計(jì)算量比較大，存在變量多及方向圖綜合全局優(yōu)化較困難等問(wèn)題。

種群進(jìn)化類算法在解決多維、非線性、全局尋優(yōu)方面具有傳統(tǒng)算法不具備的優(yōu)點(diǎn)，在陣列方向圖綜合方面得到了廣泛應(yīng)用。進(jìn)化算法中的遺傳算法（GA）在降低陣列天線的副瓣電平有較好應(yīng)用[3]。粒子群優(yōu)化算法（PSO）已成功應(yīng)用于二維陣列、共形陣列波束優(yōu)化上[4-5]。差分進(jìn)化算法是一種在連續(xù)空間中進(jìn)行啟發(fā)式隨機(jī)搜索的智能優(yōu)化算法[6],差分進(jìn)化算法已用于陣列天線波束賦形上[7-8]。然而目前的進(jìn)化類智能算法都存在易陷入局部最優(yōu)、容易早熟、收斂速度慢的問(wèn)題。

本文使用差分進(jìn)化算法結(jié)合傅立葉變換的初值對(duì)陣列天線波束進(jìn)行展寬設(shè)計(jì)。該方法首先使用傅立葉變換計(jì)算展寬后陣列天線的幅相，將得到的幅相作為差分進(jìn)化算法的一個(gè)初始值進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化計(jì)算。這能提高傅立葉變換計(jì)算的精度，使展寬后的波束效果更好。而以一個(gè)相對(duì)較優(yōu)的幅相值作為差分進(jìn)化算法的初始值時(shí)，能使差分進(jìn)化算法的收斂速度更快，避免陷入局部最優(yōu)的現(xiàn)象。使用該方法對(duì)一個(gè)21元的一維直線陣進(jìn)行波束展寬設(shè)計(jì)。陣列在等幅同相時(shí)的3 dB波束寬度為4.02o，使用文中方法展寬波束后，3 dB波束寬度變?yōu)?9.6o，主波束范圍內(nèi)的平坦度為0.21 dB，優(yōu)于僅使用傅立葉變換獲得的結(jié)果。

1 算法原理

該算法將傅立葉級(jí)數(shù)變換和差分進(jìn)化算法結(jié)合，使用傅立葉級(jí)數(shù)變換獲取差分進(jìn)化算法其中的一個(gè)初始值，再使用差分進(jìn)化算法對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)變換的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，獲得更佳的波束形狀。

1.1 傅立葉級(jí)數(shù)變換法

N元規(guī)則直線陣的陣因子可表示為：

其中，Φ=kd sin(θ)，k=2πf /c0，f是工作頻率，c0是光速，為3×108m/s，d是單元間距，Am是激勵(lì)的電流信號(hào)，為復(fù)數(shù)。令參考位置點(diǎn)為陣列的中心，當(dāng)單元數(shù)為奇數(shù)時(shí)，陣因子為：

當(dāng)單元數(shù)為偶數(shù)時(shí)，陣因子為：

當(dāng)m不在陣列區(qū)域范圍內(nèi)時(shí)Am=0，即單元為奇數(shù)時(shí)，Am=0（ m＜ -(N -1)/2或m＞(N -1)/2）；單元為偶數(shù)時(shí)，Am=0（ m＜- N/2或 m＞ N/2）。因而式（2）可轉(zhuǎn)化為：

式（3）可轉(zhuǎn)化為：

對(duì)式（4）和式（5）進(jìn)行傅立葉變換可得，奇數(shù)單元激勵(lì)的信號(hào)為：

偶數(shù)單元激勵(lì)的信號(hào)為：

求解的激勵(lì)信號(hào)為復(fù)數(shù)，包含了激勵(lì)的幅度和相位。

1.2 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法是一種基于種群的隨機(jī)進(jìn)化類優(yōu)化算法，它始于一個(gè)隨機(jī)選擇的初始種群向量，主要過(guò)程包括初始化種群、變異、交叉和選擇[7]操作，重復(fù)其變異、交叉和選擇操作使計(jì)算結(jié)果滿足設(shè)定目標(biāo)或達(dá)到最大迭代次數(shù)，計(jì)算結(jié)束。其計(jì)算過(guò)程參考文獻(xiàn)7。

本文根據(jù)算法的實(shí)際應(yīng)用情況，在初始化種群計(jì)算時(shí)，將其中的一個(gè)種群個(gè)體設(shè)為傅立葉級(jí)數(shù)變換獲得的激勵(lì)信號(hào)，其他NP-1個(gè)個(gè)體為隨機(jī)產(chǎn)生。該操作能加速算法收斂速度，避免其陷入局部最優(yōu)，這里我們令NP個(gè)個(gè)體的第一個(gè)為傅立葉級(jí)數(shù)變換獲得的激勵(lì)信號(hào)，則操作過(guò)程如下：

式中，Ai是由傅立葉級(jí)數(shù)變換得到的幅相值；i =2,3,…,NP，j=1,2,…,D；和分別是第 j個(gè)變量的下界和上界；randij是[0,1]之間的隨機(jī)小數(shù)。算法的變異、交叉和選擇操作和文獻(xiàn)7一致。

2 21元直線陣

為了驗(yàn)證上述方法的可行性，設(shè)計(jì)了一個(gè)21元的直線陣并使用推薦方法進(jìn)行波束展寬計(jì)算。設(shè)天線單元為點(diǎn)源，陣列的單元間距d=0.6λ，λ是工作波長(zhǎng)，陣列中心為參考的0位置。則天線陣列的電場(chǎng)可表式為：

從圖1中可以看到，等幅同相時(shí)，天線的3 dB波束寬度為4.02o，副瓣電平為-13.2 dB。

圖1 等幅同相情況下，陣列歸一化的增益方向圖

圖2 傅立葉級(jí)數(shù)變換后，陣列歸一化的增益方向圖

表1 傅立葉級(jí)數(shù)變換計(jì)算獲得的幅相值

3 波束展寬設(shè)計(jì)及結(jié)果

將21元直線陣的波束展寬，設(shè)計(jì)展寬后的3 dB波束寬度為20o，使用傅立葉級(jí)數(shù)變換法進(jìn)行計(jì)算，得到陣列激勵(lì)的信號(hào)為：

由式（10）計(jì)算激勵(lì)的幅度和相位如表1所示，其歸一化的增益方向圖如圖2所示。從表1數(shù)據(jù)可以看到，傅立葉級(jí)數(shù)變換后，得到一些單元激勵(lì)的幅度很小，如:單元1、2、6、16、20、21，這些端口的幅度都小于 0.1，這會(huì)加大單元激勵(lì)的難度。從表1的數(shù)據(jù)可以看到，獲得的幅度和相位是以中間單元呈現(xiàn)對(duì)稱關(guān)系。從圖2的方向圖曲線可以看到，陣列的3 dB波束寬度為16.96o，與要求的20o有一定差距。副瓣電平為-22.5 dB，陣列主波束有凹坑，其平坦度為1.64 dB，這說(shuō)明使用傅立葉級(jí)數(shù)變換獲得的幅相效果不太好。我們以傅立葉級(jí)數(shù)變換得到的幅相為基礎(chǔ)，將其作為差分進(jìn)化算法其中的一個(gè)初始值，進(jìn)一步提升波束展寬效果，主要從以下三個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：

1）增加單元激勵(lì)的幅度值；

2）提高天線主波束的平坦度；

3）進(jìn)一步減少副瓣電平。

以此為目標(biāo)，將激勵(lì)的幅度設(shè)為[0.1，1]，波束平坦度設(shè)為0，陣列波束的副瓣電平設(shè)為-25 dB。則其適應(yīng)度函數(shù)S(θ)可表式為：

G(θ)是由電場(chǎng)方向圖E(θ)得到的歸一化增益方向圖。計(jì)算得到的歸一化增益方向圖如圖3所示，其激勵(lì)的幅度和相位如表2所示。

圖3 推薦方法計(jì)算后，陣列歸一化的增益方向圖

表2 推薦方法計(jì)算獲得的幅相值

從表2的數(shù)據(jù)可以看到，單元激勵(lì)的幅度都大于 0.1。從圖 3可以看到，陣列 3 dB波束寬度為19.6o，幅瓣電平為-24.9 dB，主波束平坦度為0.21 dB，基本達(dá)到了設(shè)定的要求。

4 結(jié)論

本文使用差分進(jìn)化算法結(jié)合傅立葉變換的初值對(duì)陣列波束進(jìn)行展寬設(shè)計(jì)，該方法比普通傅立葉級(jí)數(shù)變換獲得的波束形狀更好，能克服傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)一個(gè) 21元的直線陣進(jìn)行波束展寬設(shè)計(jì)，使陣列的3 dB波束寬主擴(kuò)展到19.6o，主波束范圍內(nèi)的平坦度為0.21 dB，副瓣電平為-24.9 dB，證實(shí)該設(shè)計(jì)方法是切實(shí)可行的。

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