張強(qiáng)等

摘 要 在非壽險(xiǎn)中，在索賠經(jīng)歷雖然相互獨(dú)立，但有時會服從不同的分布.通過考慮保費(fèi)的目標(biāo)估計(jì)來對風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)進(jìn)行了研究，并采用正交投影的方法得到了目標(biāo)問題的最優(yōu)解，從而得到了加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度估計(jì). 此外，給出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì)，并給出了模擬. 結(jié)果表明，在考慮目標(biāo)保費(fèi)的情況下，當(dāng)選取一個合適的權(quán)重，可以得到未來保費(fèi)的最優(yōu)估計(jì).

關(guān)鍵詞 平衡指數(shù)損失函數(shù)；信度估計(jì)；參數(shù)估計(jì)；正交投影

中圖分類號 O211.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

The General Credibility Premium Estimator

under Weighted Balanced Exponential Loss Function

ZHANG Qiang1， NI Keshe1，WU Lijun2

（1. College of Sciences， Shihezi University， Shihezi，Xijiang 832003 China；

2. College of Mathematics and System Science， Xinjiang University.， Urumqi，Xijiang 830046 China）

Abstract In nonlife insurance， claim experiences are mutually independent， but with different distributions. Considering the target premium， and by means of the orthogonal projection method， the optimal solution of the target problem was obtained. Then the credibility estimator under weighted balanced exponential loss function was derived. In addition， the structure parameters were estimated and the result was shown by simulations. The result shows that， when considering the target premium， the optimal estimator of the future premium is obtained by selecting a suitable weight.

Key words balanced exponential loss function； credibility estimator； parameters estimator； orthogonal projection

1 引 言

信度理論作為非壽險(xiǎn)精算學(xué)的核心內(nèi)容之一，已成為非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司精算部門重要的工具. 信度理論主要用來對未來時期經(jīng)驗(yàn)保費(fèi)的厘定，思想是通過結(jié)合投保人個人的索賠經(jīng)歷與先驗(yàn)保費(fèi)來共同決定保費(fèi)，所制定的保費(fèi)為兩者的加權(quán)和，經(jīng)典的信度模型的詳細(xì)介紹可見文獻(xiàn)[1]. 通常是假設(shè)歷史時期的索賠具有共同的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ， 在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)給定下， 各期的索賠滿足獨(dú)立同分布的的條件. 然而， 在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，這種假設(shè)有時候是不成立的，風(fēng)險(xiǎn)存在著相依性. 近年來，關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)之間的相依性的研究受到越來越多的精算研究者的關(guān)注. 文獻(xiàn)[2]提出風(fēng)險(xiǎn)間具有某種共同效應(yīng)，建立了風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的信度模型. 此外文獻(xiàn)[3]在風(fēng)險(xiǎn)不是獨(dú)立的條件下，得到了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)的多合同模型的估計(jì). 文獻(xiàn)[4]同時考慮誤差和風(fēng)險(xiǎn)間具有等相關(guān)性，在指數(shù)保費(fèi)原理下得到了誤差和風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)的多合同Bühlmann信度模型，且在給定風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)下歷史索賠服從不同分布的情形，得到了風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的廣義信度估計(jì).文獻(xiàn)[5]在指數(shù)保費(fèi)原理下研究了多合同保單的信度估計(jì)，并給出了參數(shù)的無偏估計(jì).

許多學(xué)者考慮到正（負(fù)）誤差引起的損失不同，采用對稱損失（如平方損失）來刻畫保費(fèi)與風(fēng)險(xiǎn)的適合程度而得到的估計(jì)并不準(zhǔn)確.對于保險(xiǎn)公司在制定下一年保費(fèi)時，總希望與某個目標(biāo)（如上一年的保費(fèi)等）相差較小.因而平衡損失函數(shù)得到了廣泛的應(yīng)用，文獻(xiàn)[6]在廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下討論了廣義的貝葉斯保費(fèi)估計(jì). 文獻(xiàn)[7]研究了多合同的平衡指數(shù)保費(fèi)估計(jì)問題. 文獻(xiàn)[8]在平衡損失函數(shù)下給出了BS模型的信度估計(jì)，討論了估計(jì)的性質(zhì). 文獻(xiàn) [9]在平衡損失函數(shù)下分別得到了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)與共同效應(yīng)的回歸信度估計(jì).

本研究在經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從不同分布的情形下，引入加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)，并采用正交投影的方法求解最優(yōu)化問題，得到了信度公式，其次給出了信度因子中結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì). 結(jié)果表明，所得的公式具有經(jīng)典的信度估計(jì)形式，是文獻(xiàn)[1，7，5]中結(jié)果的推廣，擴(kuò)展了信度估計(jì)的使用范圍，為保險(xiǎn)公司厘定未來保費(fèi)提供了參考.

經(jīng) 濟(jì) 數(shù) 學(xué)第 31卷第3期

張 強(qiáng)等：加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的廣義信度保費(fèi)估計(jì)

6 結(jié) 論

本文通過正交投影方法在加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下給出了多合同的廣義信度估計(jì)，并給出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì).不僅滿足了保險(xiǎn)公司在制定未來保費(fèi)時希望的目標(biāo)保費(fèi)，而且所得到的信度估計(jì)依然為經(jīng)典信度模型的加權(quán)形式.

參考文獻(xiàn)

[1] H BUHLMANN， A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].Netherlands： Springer， 2005.

[2] Limin WEN， Xianyi WU， Xian ZHOU. The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J].Insurance： Mathematics and Economics， 2009， 44（1）：19-25.

[3] Limin WEN，Wenli DENG. The credibility models with equal correlation risks [J]. Journal of Systems Science and Complexity， 2011，24 （3）：532-539.

[4] 張強(qiáng).一類帶有正安全負(fù)荷的信度模型[D].烏魯木齊：新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，2012.

[5] 溫利民，吳賢毅.指數(shù)保費(fèi)原理下的經(jīng)驗(yàn)厘定[J].中國科學(xué)：數(shù)學(xué)，2011，41（10）：861-876.

[6] 張強(qiáng)，吳黎軍.廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費(fèi)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2013，373（1）：89-91.

[7] 張強(qiáng)，倪科社，吳黎軍.平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費(fèi)[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2014，31（2）：60-64.

[8] 溫利民，林霞，王靜龍. 平衡損失函數(shù)下的信度模型[J]. 應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balancedloss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013，2013（1）：30-40.

[10]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear Models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint

摘 要 在非壽險(xiǎn)中，在索賠經(jīng)歷雖然相互獨(dú)立，但有時會服從不同的分布.通過考慮保費(fèi)的目標(biāo)估計(jì)來對風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)進(jìn)行了研究，并采用正交投影的方法得到了目標(biāo)問題的最優(yōu)解，從而得到了加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度估計(jì). 此外，給出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì)，并給出了模擬. 結(jié)果表明，在考慮目標(biāo)保費(fèi)的情況下，當(dāng)選取一個合適的權(quán)重，可以得到未來保費(fèi)的最優(yōu)估計(jì).

關(guān)鍵詞 平衡指數(shù)損失函數(shù)；信度估計(jì)；參數(shù)估計(jì)；正交投影

中圖分類號 O211.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

The General Credibility Premium Estimator

under Weighted Balanced Exponential Loss Function

ZHANG Qiang1， NI Keshe1，WU Lijun2

（1. College of Sciences， Shihezi University， Shihezi，Xijiang 832003 China；

2. College of Mathematics and System Science， Xinjiang University.， Urumqi，Xijiang 830046 China）

Abstract In nonlife insurance， claim experiences are mutually independent， but with different distributions. Considering the target premium， and by means of the orthogonal projection method， the optimal solution of the target problem was obtained. Then the credibility estimator under weighted balanced exponential loss function was derived. In addition， the structure parameters were estimated and the result was shown by simulations. The result shows that， when considering the target premium， the optimal estimator of the future premium is obtained by selecting a suitable weight.

Key words balanced exponential loss function； credibility estimator； parameters estimator； orthogonal projection

1 引 言

信度理論作為非壽險(xiǎn)精算學(xué)的核心內(nèi)容之一，已成為非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司精算部門重要的工具. 信度理論主要用來對未來時期經(jīng)驗(yàn)保費(fèi)的厘定，思想是通過結(jié)合投保人個人的索賠經(jīng)歷與先驗(yàn)保費(fèi)來共同決定保費(fèi)，所制定的保費(fèi)為兩者的加權(quán)和，經(jīng)典的信度模型的詳細(xì)介紹可見文獻(xiàn)[1]. 通常是假設(shè)歷史時期的索賠具有共同的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ， 在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)給定下， 各期的索賠滿足獨(dú)立同分布的的條件. 然而， 在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，這種假設(shè)有時候是不成立的，風(fēng)險(xiǎn)存在著相依性. 近年來，關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)之間的相依性的研究受到越來越多的精算研究者的關(guān)注. 文獻(xiàn)[2]提出風(fēng)險(xiǎn)間具有某種共同效應(yīng)，建立了風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的信度模型. 此外文獻(xiàn)[3]在風(fēng)險(xiǎn)不是獨(dú)立的條件下，得到了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)的多合同模型的估計(jì). 文獻(xiàn)[4]同時考慮誤差和風(fēng)險(xiǎn)間具有等相關(guān)性，在指數(shù)保費(fèi)原理下得到了誤差和風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)的多合同Bühlmann信度模型，且在給定風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)下歷史索賠服從不同分布的情形，得到了風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的廣義信度估計(jì).文獻(xiàn)[5]在指數(shù)保費(fèi)原理下研究了多合同保單的信度估計(jì)，并給出了參數(shù)的無偏估計(jì).

許多學(xué)者考慮到正（負(fù)）誤差引起的損失不同，采用對稱損失（如平方損失）來刻畫保費(fèi)與風(fēng)險(xiǎn)的適合程度而得到的估計(jì)并不準(zhǔn)確.對于保險(xiǎn)公司在制定下一年保費(fèi)時，總希望與某個目標(biāo)（如上一年的保費(fèi)等）相差較小.因而平衡損失函數(shù)得到了廣泛的應(yīng)用，文獻(xiàn)[6]在廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下討論了廣義的貝葉斯保費(fèi)估計(jì). 文獻(xiàn)[7]研究了多合同的平衡指數(shù)保費(fèi)估計(jì)問題. 文獻(xiàn)[8]在平衡損失函數(shù)下給出了BS模型的信度估計(jì)，討論了估計(jì)的性質(zhì). 文獻(xiàn) [9]在平衡損失函數(shù)下分別得到了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)與共同效應(yīng)的回歸信度估計(jì).

本研究在經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從不同分布的情形下，引入加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)，并采用正交投影的方法求解最優(yōu)化問題，得到了信度公式，其次給出了信度因子中結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì). 結(jié)果表明，所得的公式具有經(jīng)典的信度估計(jì)形式，是文獻(xiàn)[1，7，5]中結(jié)果的推廣，擴(kuò)展了信度估計(jì)的使用范圍，為保險(xiǎn)公司厘定未來保費(fèi)提供了參考.

經(jīng) 濟(jì) 數(shù) 學(xué)第 31卷第3期

張 強(qiáng)等：加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的廣義信度保費(fèi)估計(jì)

6 結(jié) 論

本文通過正交投影方法在加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下給出了多合同的廣義信度估計(jì)，并給出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì).不僅滿足了保險(xiǎn)公司在制定未來保費(fèi)時希望的目標(biāo)保費(fèi)，而且所得到的信度估計(jì)依然為經(jīng)典信度模型的加權(quán)形式.

參考文獻(xiàn)

[1] H BUHLMANN， A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].Netherlands： Springer， 2005.

[2] Limin WEN， Xianyi WU， Xian ZHOU. The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J].Insurance： Mathematics and Economics， 2009， 44（1）：19-25.

[3] Limin WEN，Wenli DENG. The credibility models with equal correlation risks [J]. Journal of Systems Science and Complexity， 2011，24 （3）：532-539.

[4] 張強(qiáng).一類帶有正安全負(fù)荷的信度模型[D].烏魯木齊：新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，2012.

[5] 溫利民，吳賢毅.指數(shù)保費(fèi)原理下的經(jīng)驗(yàn)厘定[J].中國科學(xué)：數(shù)學(xué)，2011，41（10）：861-876.

[6] 張強(qiáng)，吳黎軍.廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費(fèi)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2013，373（1）：89-91.

[7] 張強(qiáng)，倪科社，吳黎軍.平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費(fèi)[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2014，31（2）：60-64.

[8] 溫利民，林霞，王靜龍. 平衡損失函數(shù)下的信度模型[J]. 應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balancedloss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013，2013（1）：30-40.

[10]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear Models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint

摘 要 在非壽險(xiǎn)中，在索賠經(jīng)歷雖然相互獨(dú)立，但有時會服從不同的分布.通過考慮保費(fèi)的目標(biāo)估計(jì)來對風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)進(jìn)行了研究，并采用正交投影的方法得到了目標(biāo)問題的最優(yōu)解，從而得到了加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度估計(jì). 此外，給出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì)，并給出了模擬. 結(jié)果表明，在考慮目標(biāo)保費(fèi)的情況下，當(dāng)選取一個合適的權(quán)重，可以得到未來保費(fèi)的最優(yōu)估計(jì).

關(guān)鍵詞 平衡指數(shù)損失函數(shù)；信度估計(jì)；參數(shù)估計(jì)；正交投影

中圖分類號 O211.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

The General Credibility Premium Estimator

under Weighted Balanced Exponential Loss Function

ZHANG Qiang1， NI Keshe1，WU Lijun2

（1. College of Sciences， Shihezi University， Shihezi，Xijiang 832003 China；

2. College of Mathematics and System Science， Xinjiang University.， Urumqi，Xijiang 830046 China）

Abstract In nonlife insurance， claim experiences are mutually independent， but with different distributions. Considering the target premium， and by means of the orthogonal projection method， the optimal solution of the target problem was obtained. Then the credibility estimator under weighted balanced exponential loss function was derived. In addition， the structure parameters were estimated and the result was shown by simulations. The result shows that， when considering the target premium， the optimal estimator of the future premium is obtained by selecting a suitable weight.

Key words balanced exponential loss function； credibility estimator； parameters estimator； orthogonal projection

1 引 言

信度理論作為非壽險(xiǎn)精算學(xué)的核心內(nèi)容之一，已成為非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司精算部門重要的工具. 信度理論主要用來對未來時期經(jīng)驗(yàn)保費(fèi)的厘定，思想是通過結(jié)合投保人個人的索賠經(jīng)歷與先驗(yàn)保費(fèi)來共同決定保費(fèi)，所制定的保費(fèi)為兩者的加權(quán)和，經(jīng)典的信度模型的詳細(xì)介紹可見文獻(xiàn)[1]. 通常是假設(shè)歷史時期的索賠具有共同的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ， 在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)給定下， 各期的索賠滿足獨(dú)立同分布的的條件. 然而， 在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，這種假設(shè)有時候是不成立的，風(fēng)險(xiǎn)存在著相依性. 近年來，關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)之間的相依性的研究受到越來越多的精算研究者的關(guān)注. 文獻(xiàn)[2]提出風(fēng)險(xiǎn)間具有某種共同效應(yīng)，建立了風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的信度模型. 此外文獻(xiàn)[3]在風(fēng)險(xiǎn)不是獨(dú)立的條件下，得到了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)的多合同模型的估計(jì). 文獻(xiàn)[4]同時考慮誤差和風(fēng)險(xiǎn)間具有等相關(guān)性，在指數(shù)保費(fèi)原理下得到了誤差和風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)的多合同Bühlmann信度模型，且在給定風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)下歷史索賠服從不同分布的情形，得到了風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的廣義信度估計(jì).文獻(xiàn)[5]在指數(shù)保費(fèi)原理下研究了多合同保單的信度估計(jì)，并給出了參數(shù)的無偏估計(jì).

許多學(xué)者考慮到正（負(fù)）誤差引起的損失不同，采用對稱損失（如平方損失）來刻畫保費(fèi)與風(fēng)險(xiǎn)的適合程度而得到的估計(jì)并不準(zhǔn)確.對于保險(xiǎn)公司在制定下一年保費(fèi)時，總希望與某個目標(biāo)（如上一年的保費(fèi)等）相差較小.因而平衡損失函數(shù)得到了廣泛的應(yīng)用，文獻(xiàn)[6]在廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下討論了廣義的貝葉斯保費(fèi)估計(jì). 文獻(xiàn)[7]研究了多合同的平衡指數(shù)保費(fèi)估計(jì)問題. 文獻(xiàn)[8]在平衡損失函數(shù)下給出了BS模型的信度估計(jì)，討論了估計(jì)的性質(zhì). 文獻(xiàn) [9]在平衡損失函數(shù)下分別得到了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)與共同效應(yīng)的回歸信度估計(jì).

本研究在經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從不同分布的情形下，引入加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)，并采用正交投影的方法求解最優(yōu)化問題，得到了信度公式，其次給出了信度因子中結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì). 結(jié)果表明，所得的公式具有經(jīng)典的信度估計(jì)形式，是文獻(xiàn)[1，7，5]中結(jié)果的推廣，擴(kuò)展了信度估計(jì)的使用范圍，為保險(xiǎn)公司厘定未來保費(fèi)提供了參考.

經(jīng) 濟(jì) 數(shù) 學(xué)第 31卷第3期

張 強(qiáng)等：加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的廣義信度保費(fèi)估計(jì)

6 結(jié) 論

本文通過正交投影方法在加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下給出了多合同的廣義信度估計(jì)，并給出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì).不僅滿足了保險(xiǎn)公司在制定未來保費(fèi)時希望的目標(biāo)保費(fèi)，而且所得到的信度估計(jì)依然為經(jīng)典信度模型的加權(quán)形式.

參考文獻(xiàn)

[1] H BUHLMANN， A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].Netherlands： Springer， 2005.

[2] Limin WEN， Xianyi WU， Xian ZHOU. The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J].Insurance： Mathematics and Economics， 2009， 44（1）：19-25.

[3] Limin WEN，Wenli DENG. The credibility models with equal correlation risks [J]. Journal of Systems Science and Complexity， 2011，24 （3）：532-539.

[4] 張強(qiáng).一類帶有正安全負(fù)荷的信度模型[D].烏魯木齊：新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，2012.

[5] 溫利民，吳賢毅.指數(shù)保費(fèi)原理下的經(jīng)驗(yàn)厘定[J].中國科學(xué)：數(shù)學(xué)，2011，41（10）：861-876.

[6] 張強(qiáng)，吳黎軍.廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費(fèi)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2013，373（1）：89-91.

[7] 張強(qiáng)，倪科社，吳黎軍.平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費(fèi)[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2014，31（2）：60-64.

[8] 溫利民，林霞，王靜龍. 平衡損失函數(shù)下的信度模型[J]. 應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balancedloss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013，2013（1）：30-40.

[10]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear Models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint