陳飛躍等

摘 要 假設(shè)股票價(jià)格變化過程服從混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，建立了混合分?jǐn)?shù)布朗環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式股票期權(quán)的定價(jià)模型.利用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的It公式，將支付連續(xù)紅利的歐式股票期權(quán)的定價(jià)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)偏微分方程，通過偏微分方程求解獲得了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式股票看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

關(guān)鍵詞 混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，歐式期權(quán)，期權(quán)定價(jià)

中圖分類號(hào) F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Pricing European Option in the Mixed Fractional

Brownian Motion Environment

CHEN Feiyue1，2，YANG Yong2，GONG Haiwen3

（1.School of business， Central South University，Changsha， Hunan 410083， China；

2. Insurance Professional College， Changsha， Hunan 410114， China； 3. School of mathematics and Computational Science，

Changsha University of Science and Technology， Changsha， Hunan 410114， China）

Abstract Assuming that the process of stock price follows the mixed fractional Brownian motion，this paper constructed the pricing model for European option of stock paying continuous dividend under mixed fractional Brownian motion environment. The problem of pricing European option of stock paying continuous dividend was changed into the question of partial differential equation by using mixed fractional It formula. The pricing formula of European call option of stock paying continuous dividend in mixed fractional Brownian motion environment was obtained by solving partial differential equation.

Key words mixed fractional Brownian motion；European option；option pricing

1 引 言

歐式期權(quán)是一種以股票或其他金融資產(chǎn)為標(biāo)的資產(chǎn)的合約，其持有者有權(quán)利但并非有義務(wù)在合約規(guī)定的某一特定時(shí)間以約定價(jià)格買入或賣出某種標(biāo)的資產(chǎn).期權(quán)具有非線性收益的特征，并兼顧了投資、保值和避險(xiǎn)的功能.

期權(quán)權(quán)定價(jià)研究一直是金融工程的核心課題.自從1973年BlackScholes[1]期權(quán)定價(jià)模型出現(xiàn)以來，其定價(jià)理論得到了空前的發(fā)展，并取得了豐碩的成果.然而近年來，對(duì)資本市場(chǎng)的大量實(shí)證研究表明，金融資產(chǎn)（如股票）的對(duì)數(shù)收益率并非服從正態(tài)分布，而是服從一種“尖峰厚尾”的分布，而且金融資產(chǎn)價(jià)格也并非隨機(jī)游走，而是存在著長(zhǎng)期相關(guān)性.由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)（此后記為FBM）是一種高斯過程，其所具有的加法不變性，自相似性、厚尾性以及長(zhǎng)期相關(guān)性等性質(zhì)使得FBM成為較好的刻畫金融資產(chǎn)變化過程的工具[2].Duncan[3]等建立了一個(gè)關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的基于Wick乘積的隨機(jī)積分，稱為分形It積分，在該積分下，Necula[4]給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式期權(quán)在任意時(shí)刻的定價(jià)公式.Hu[5]等對(duì)Hurst指數(shù)H∈（1/2，1）的FBM情形進(jìn)行了研究，獲得了FBM下的Girsanov公式、ClarkOcone混沌展開公式以及It公式等.Xiao[6]使用等價(jià)鞅測(cè)度方法研究了帶跳擴(kuò)散的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的歐式匯率期權(quán)定價(jià)問題，并獲得了歐式匯率期權(quán)的解析定價(jià)公式.我國(guó)學(xué)者在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的期權(quán)定價(jià)研究方面也作出了不少貢獻(xiàn).肖艷清、鄒捷中[7]將經(jīng)典模型中的計(jì)價(jià)單位變換方法推廣到分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)環(huán)境，給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下期權(quán)定價(jià)公式的新的推導(dǎo)方法.梅正陽、楊玉孔[8]研究了一類Hurst指數(shù)H∈（1/2，1）的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型，通過鞅測(cè)度變換獲得了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的期權(quán)定價(jià)控制方程和歐式期權(quán)的解析公式.張衛(wèi)國(guó)、肖煒麟、徐偉軍、張惜麗[9]應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)偏好和均衡定價(jià)方法，研究了標(biāo)的資產(chǎn)服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的匯率期權(quán)定價(jià)問題，給出了分?jǐn)?shù)歐式匯率期權(quán)的閉式解.林漢燕[10]運(yùn)用偏微分方程方法推導(dǎo)了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下支付紅利的歐式看跌期權(quán)價(jià)格的顯式解.

然而，Bjrk和Hurt[11]研究表明分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)在刻畫金融資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)時(shí)仍存在一些不足，如基于Wick積分的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)在金融中的應(yīng)用會(huì)受到限制，同時(shí)定義一個(gè)合適的關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分是比較困難的.另外，在金融中應(yīng)用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的主要問題是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是一個(gè)半鞅.為了避免這些問題，并考慮金融資產(chǎn)價(jià)格過程的長(zhǎng)記憶特性，使用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來刻畫金融資產(chǎn)的波動(dòng)是合理的[12，13].混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一族高斯過程，它是布朗運(yùn)動(dòng)與分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的線性組合.當(dāng)參數(shù)H>1/2時(shí)，混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)特殊的長(zhǎng)記憶過程.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中首次使用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的學(xué)者是P.Cheriditio[14].最近，Sun[15]研究了混合分?jǐn)?shù)布朗環(huán)境中的歐式匯率期權(quán)的定價(jià)問題，而且實(shí)證研究和模擬結(jié)果表明混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)定價(jià)模型是一個(gè)合理的模型.孫玉東、師義民[16]運(yùn)用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的It公式，通過偏微分方程求解獲得了幾何平均型亞式期權(quán)看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

目前，運(yùn)用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型研究期權(quán)定價(jià)問題的文獻(xiàn)還很少，特別是在國(guó)內(nèi)還尚未有學(xué)者做過關(guān)于混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付紅利的股票期權(quán)定價(jià)方面的研究.本文探討了股票價(jià)格遵循混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下支付連續(xù)紅利的歐式期權(quán)定價(jià)問題，首先利用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的It公式，將股票支付連續(xù)紅利的歐式期權(quán)的定價(jià)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)偏微分方程，然后通過偏微分方程求解獲得了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 定義

5 結(jié)論與展望

本文采用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫股票價(jià)格的變化過程，研究了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)模型，通過求解偏微分方程得到了期權(quán)定價(jià)公式的顯示解，從而將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了改進(jìn).但是，本文提出的模型仍然沒有脫離BlackScholes理論框架，為了簡(jiǎn)化模型而所作的一些假設(shè)顯然與現(xiàn)實(shí)有出入，且模型中沒有考慮金融市場(chǎng)中人的行為等因素，證券市場(chǎng)實(shí)際存在的一些約束條件如存在漲跌停板限制以及送股、配股等因素也沒有在模型中體現(xiàn)出來，所以模型有待進(jìn)一步改進(jìn)和修正.如何將更多的因素統(tǒng)一到定價(jià)模型中期待更多的學(xué)者深入研究.目前，國(guó)外已有學(xué)者嘗試采用隨機(jī)模糊理論對(duì)期權(quán)等金融衍生品進(jìn)行定價(jià)，從而為期權(quán)定價(jià)開辟了新的方法途徑.

參考文獻(xiàn)

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[10]林漢燕.分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)模型下歐式期權(quán)定價(jià)偏微分方程推導(dǎo)法[J].桂林航天工業(yè)高等?？茖W(xué)學(xué)報(bào)，2010，571（1）：1l0-112.

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[18]邵宇，刁羽. 微觀金融學(xué)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008：663-674.

目前，運(yùn)用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型研究期權(quán)定價(jià)問題的文獻(xiàn)還很少，特別是在國(guó)內(nèi)還尚未有學(xué)者做過關(guān)于混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付紅利的股票期權(quán)定價(jià)方面的研究.本文探討了股票價(jià)格遵循混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下支付連續(xù)紅利的歐式期權(quán)定價(jià)問題，首先利用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的It公式，將股票支付連續(xù)紅利的歐式期權(quán)的定價(jià)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)偏微分方程，然后通過偏微分方程求解獲得了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 定義

5 結(jié)論與展望

本文采用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫股票價(jià)格的變化過程，研究了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)模型，通過求解偏微分方程得到了期權(quán)定價(jià)公式的顯示解，從而將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了改進(jìn).但是，本文提出的模型仍然沒有脫離BlackScholes理論框架，為了簡(jiǎn)化模型而所作的一些假設(shè)顯然與現(xiàn)實(shí)有出入，且模型中沒有考慮金融市場(chǎng)中人的行為等因素，證券市場(chǎng)實(shí)際存在的一些約束條件如存在漲跌停板限制以及送股、配股等因素也沒有在模型中體現(xiàn)出來，所以模型有待進(jìn)一步改進(jìn)和修正.如何將更多的因素統(tǒng)一到定價(jià)模型中期待更多的學(xué)者深入研究.目前，國(guó)外已有學(xué)者嘗試采用隨機(jī)模糊理論對(duì)期權(quán)等金融衍生品進(jìn)行定價(jià)，從而為期權(quán)定價(jià)開辟了新的方法途徑.

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目前，運(yùn)用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型研究期權(quán)定價(jià)問題的文獻(xiàn)還很少，特別是在國(guó)內(nèi)還尚未有學(xué)者做過關(guān)于混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付紅利的股票期權(quán)定價(jià)方面的研究.本文探討了股票價(jià)格遵循混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下支付連續(xù)紅利的歐式期權(quán)定價(jià)問題，首先利用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的It公式，將股票支付連續(xù)紅利的歐式期權(quán)的定價(jià)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)偏微分方程，然后通過偏微分方程求解獲得了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 定義

5 結(jié)論與展望

本文采用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫股票價(jià)格的變化過程，研究了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)模型，通過求解偏微分方程得到了期權(quán)定價(jià)公式的顯示解，從而將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了改進(jìn).但是，本文提出的模型仍然沒有脫離BlackScholes理論框架，為了簡(jiǎn)化模型而所作的一些假設(shè)顯然與現(xiàn)實(shí)有出入，且模型中沒有考慮金融市場(chǎng)中人的行為等因素，證券市場(chǎng)實(shí)際存在的一些約束條件如存在漲跌停板限制以及送股、配股等因素也沒有在模型中體現(xiàn)出來，所以模型有待進(jìn)一步改進(jìn)和修正.如何將更多的因素統(tǒng)一到定價(jià)模型中期待更多的學(xué)者深入研究.目前，國(guó)外已有學(xué)者嘗試采用隨機(jī)模糊理論對(duì)期權(quán)等金融衍生品進(jìn)行定價(jià)，從而為期權(quán)定價(jià)開辟了新的方法途徑.

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