邱中杰 杜宏博 王雯 馬洪 李重華

摘 要：隨著壓縮感知理論研究工作的深入，壓縮感知在信號(hào)和圖像處理領(lǐng)域已引起眾多研究者的關(guān)注。理論已經(jīng)證明自然圖像本身具有稀疏的表示特性，符合人類(lèi)所接觸的很多信號(hào)和圖像的處理。近年來(lái)，壓縮感知理論已被大量應(yīng)用到信號(hào)和圖像處理的各個(gè)領(lǐng)域[1]。如何構(gòu)造一個(gè)適合不同模態(tài)圖像的變換字典，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的快速而有效的稀疏分解算法是本項(xiàng)目中稀疏分解矩陣建立研究的重要內(nèi)容；提出快速、準(zhǔn)確、魯棒性好的CS重建算法也是本項(xiàng)目研究的主要內(nèi)容之一。

關(guān)鍵詞：壓縮感知；稀疏表示；變化字典；魯棒性

1 引言

目前，圖像壓縮技術(shù)可主要分為兩大類(lèi)，即有損壓縮和無(wú)損壓縮。無(wú)損壓縮雖然嚴(yán)格地保證了圖像質(zhì)量，但是壓縮率較低，僅為2～3倍，無(wú)法達(dá)到實(shí)時(shí)傳輸和節(jié)省存儲(chǔ)空間的要求。為了提高壓縮率，人們開(kāi)始嘗試有損壓縮算法，主要包括區(qū)域壓縮算法[2]、JPEG壓縮算法[3]、基于小波變換的壓縮算法[4]、面向?qū)ο蟮膮^(qū)域運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償算法[5]等。這些算法雖然在很大程度上壓縮了圖像的冗余信息，但是其壓縮處理方法均基于以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：即首先對(duì)可壓縮信號(hào)進(jìn)行高速采樣、然后對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，最后把壓縮過(guò)的信號(hào)進(jìn)行解壓縮以便恢復(fù)原始信號(hào)。眾所周知，傳統(tǒng)信號(hào)采樣的準(zhǔn)則是Nyquist采樣定理，因此，在影像設(shè)備將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)成數(shù)字圖像的過(guò)程中經(jīng)常需要較高的采樣率，而為了便于傳輸，又要對(duì)獲得的大量信息進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮，只保留一部分必要信息。這在很大程度上浪費(fèi)掉了采集、存儲(chǔ)和計(jì)算資源。

2 壓縮感知的研究背景與理論簡(jiǎn)介

壓縮感知（compressive sensing，CS）技術(shù)自2006年誕生以來(lái)，就以其在圖像壓縮和傳輸領(lǐng)域中表現(xiàn)出來(lái)的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，迅速引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的高度重視，被美國(guó)科技評(píng)論評(píng)為2007年度十大科技進(jìn)展。CS的核心思想是將信號(hào)采樣與壓縮融合在一起，即在采樣的同時(shí)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的壓縮，以盡量地降低信號(hào)的冗余信息。CS突破了傳統(tǒng)的Nyquist采樣定理，只要信號(hào)是可壓縮的或稀疏的，CS就可以以極低的采樣率采樣，然后又可以利用測(cè)量值精準(zhǔn)地重構(gòu)原始信號(hào)。目前，CS的理論研究主要集中在信號(hào)的稀疏分解、信號(hào)觀測(cè)矩陣建立和信號(hào)重構(gòu)三個(gè)方面[6]。盡管其理論研究仍出于起步階段，但已成為信息論、圖像處理、模式識(shí)別、醫(yī)療成像、地址勘探等領(lǐng)域的一大研究熱點(diǎn)。在麻省理工學(xué)院、斯坦福大學(xué)等許多知名大學(xué)已專(zhuān)門(mén)成立CS課題組。國(guó)內(nèi)關(guān)于CS的研究基本同步進(jìn)行，不過(guò)研究成果較國(guó)外少些。

隨著稀疏重構(gòu)和新興采樣定理研究的不斷發(fā)展，很多學(xué)者發(fā)現(xiàn)，當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)不完全時(shí)，甚至只有很小一部分測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，利用該方法仍可以很好重構(gòu)原圖像。例如圖1-1重現(xiàn)了Candes等人在核磁共振成像（Magnetic Resonance Imaging，MRI）研究中的發(fā)現(xiàn)。其中圖1-1（a）為原圖像，MRI中的測(cè)量數(shù)據(jù)可以理解為原圖像的Fourier變換，一次測(cè)量可以理解為Fourier域中的某個(gè)角度下的“切片”，即如圖1-1（b）圖中的一條直線，傳統(tǒng)的方法需要大量的測(cè)量，即密集的直線，才可以高質(zhì)量地重構(gòu)圖像。當(dāng)只有18個(gè)角度的測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)（如圖1-1（b）所示，只占整個(gè)頻域的7.71%），傳統(tǒng)的后向投影（Back Projection，BP）方法重構(gòu)的圖像如圖1-1（c）所示，如果在重構(gòu)過(guò)程中引入稀疏性約束，則可以高精度地重構(gòu)原圖像，如圖1-1（d）所示[7]。

這個(gè)發(fā)現(xiàn)最終誘使了壓縮感知理論的產(chǎn)生。其后，Candes、Tao與Romberg等人，初步建立了壓縮感知的理論模型[57]。壓縮成像主要分為兩個(gè)組成部分：數(shù)據(jù)的獲取過(guò)程以及圖像的重構(gòu)過(guò)程。其中，前半部分在理論上需研究使得“稀疏重構(gòu)”能夠恢復(fù)原信號(hào)的測(cè)量矩陣性質(zhì)，即重構(gòu)條件；后半部分與稀疏重構(gòu)的研究一脈相承，但是需要特別考慮二維圖像所涉及的大規(guī)模數(shù)據(jù)情況下的保精度快速計(jì)算問(wèn)題。

3 研究?jī)?nèi)容

結(jié)合本項(xiàng)目的主要研究?jī)?nèi)容以及綜合考慮項(xiàng)目多研究領(lǐng)域的交叉性質(zhì)，將研究?jī)?nèi)容分為以下幾個(gè)部分：

3.1 圖像的稀疏分解矩陣建立

CS理論的提出是建立的信號(hào)的稀疏性基礎(chǔ)上的，信號(hào)的稀疏性直接影響觀測(cè)個(gè)數(shù)進(jìn)而影響圖像的壓縮率和重構(gòu)的準(zhǔn)確性，因此，圖像稀疏分解矩陣的選取非常重要。

信號(hào)的稀疏性是指信號(hào)中的元素絕大多數(shù)為零元素，只有少數(shù)是非零的，稀疏性是進(jìn)行壓縮傳感的前提條件。信號(hào)在某一適合的基下均能稀疏表示。例如圖2-1（a）中的圖像和其小波變換圖2-1（b）。由兩幅圖像可看出，原始圖像中幾乎所有像素均為非零值，但是當(dāng)對(duì)其進(jìn)行小波變換時(shí)，得到的小波系數(shù)卻提供了一種簡(jiǎn)明的表示方法：大多數(shù)小波系數(shù)的值都很小，只有很少的小波系數(shù)其值較大，這些大的小波系數(shù)攜帶了圖像絕大多數(shù)的信息。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可描述為，對(duì)于一個(gè)N維向量x∈R（如圖1中有n個(gè)像素）可由一個(gè)正交基（如小波基）Ψ=[Ψ1，Ψ2，…Ψn]展開(kāi)為如下式：

其中αi是x的系數(shù)序列，αi=〈x，Ψ1〉。上式可很方便的將x表示為Ψ（其中Ψ為N×N）的矩陣，Ψ1，Ψ2，…Ψn是它的列）。這樣信號(hào)的稀疏性的含義就很清楚了：當(dāng)一個(gè)信號(hào)可以稀疏表示時(shí)，人們可以丟棄小的系數(shù)，并感覺(jué)不到信息的丟失。在形式上可表示為，xs（t）是由展開(kāi)式（1-1）中αi只保留S個(gè)最大值得到的。定義xs（t）=Ψαs，其中αs為xi中除了S個(gè)最大值，其它均設(shè)為0的系數(shù)向量。由于這個(gè)向量除了少數(shù)幾個(gè)元素均為0，因此它是嚴(yán)格稀疏的；這種只有S個(gè)非零元素的對(duì)象稱(chēng)為我們稱(chēng)之為S-稀疏。如果是稀疏的或可壓縮的，即（αi）按幅值排列迅速遞減，則α與αs近似；又由于Ψ是正交基，我們有||x-xs||12=||α-αs||12，那么||x-xs||12的差很小。通俗的表述為，人們可“扔掉”大部分的稀疏而不會(huì)丟失很多信息。圖2-1（c）給出這種例子，圖像在扔掉97.5%的系數(shù)后，仍很難察覺(jué)到信息的丟失。

圖2-1（a）原始圖像的像素值范圍為[0，255]；（b）圖像的小波變換系數(shù)，只有少數(shù)小波系數(shù)攜帶有絕大多數(shù)信號(hào)的能量，這種圖像具有高可壓縮性；（c）僅用25000個(gè)較大的小波系數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)的結(jié)果（圖像像素范圍為[0，255]），它與原始圖像的差別很難覺(jué)察到。目前常用的稀疏變換基有離散小波變換（DWT），離散余弦變換（DCT），過(guò)完備原子分解等。當(dāng)目標(biāo)信號(hào)在標(biāo)準(zhǔn)正交基構(gòu)成的空間中不具有稀疏性時(shí)，可采用過(guò)完備原子法進(jìn)行信號(hào)的稀疏化表達(dá)[8]。

3.2 快速、準(zhǔn)確、魯棒性好的CS重建算法研究

信號(hào)重構(gòu)算法是壓縮感知理論關(guān)鍵的一部分，對(duì)于壓縮信號(hào)的精確重構(gòu)以及采樣準(zhǔn)確性的驗(yàn)證均具有重要的意義。現(xiàn)有的CS重建算法有很多種，例如貪婪追蹤算法、松弛算法、范數(shù)優(yōu)化算法、組合算法及最小變分算法等。每種重建算法都有其固有的缺點(diǎn)，無(wú)法同時(shí)兼顧算法復(fù)雜度、計(jì)算時(shí)間、觀測(cè)數(shù)目、重構(gòu)質(zhì)量等多個(gè)目標(biāo)。以下例舉正交匹配追蹤算法與梯度追蹤算法。

（1）正交匹配追蹤算法（OMP）。正交匹配追蹤算法時(shí)常用的恢復(fù)算法，是屬于貪婪算法一類(lèi)的，來(lái)源于匹配追蹤算法（MP）。MP是一種迭代算法，每次迭代的過(guò)程中選取觀測(cè)矩陣中與信號(hào)殘差最相關(guān)的列向量進(jìn)行逼近，反復(fù)迭代計(jì)算殘差，當(dāng)殘差值小于某一預(yù)設(shè)的數(shù)值或者達(dá)到最大迭代次數(shù)是停止，所得到的重構(gòu)信號(hào)的迭代結(jié)果即為重構(gòu)得到的原始信號(hào)。

OMP是MP的改進(jìn)，差距體現(xiàn)在OMP算法過(guò)程中每次迭代計(jì)算后的殘差值都是和觀測(cè)矩陣的所選的列向量是正交的，重構(gòu)信號(hào)則通過(guò)觀測(cè)信號(hào)和所選列向量求偽逆的結(jié)果求得。因?yàn)樵诘^(guò)程中，計(jì)算的殘差均與所選的列向量正交，使得每次都進(jìn)行最優(yōu)的迭代運(yùn)算，使得重構(gòu)算法達(dá)的迭代次數(shù)減少、重構(gòu)信號(hào)跟接近于原始信號(hào)。

（2）梯度追蹤算法。正交匹配追蹤算法中需要進(jìn)行求偽逆預(yù)算，一般的情況下偽逆運(yùn)算采用QR分解或Cholesky分解實(shí)現(xiàn)，運(yùn)算量很大，為了提升運(yùn)算速度，Blumensath等人提出了梯度追蹤算法（GP）。

該算法通過(guò)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)并求其梯度的極小值代替求方程組解，該算法的步驟如下：

重構(gòu)算法輸入：觀測(cè)矩陣Ф，觀測(cè)結(jié)果y，稀疏度k。

重構(gòu)算法的輸出：逼近與原始信號(hào)x的稀疏解向量 。

重構(gòu)算法初始化：殘差r0=y，所選列向量的索引集Λ= ，迭代次數(shù)t=1， =0。

3.3 CS觀測(cè)矩陣構(gòu)造

壓縮傳感理論具有稀疏或可壓縮的特性，經(jīng)過(guò)非相干的隨機(jī)投影可直接獲取的系數(shù)雖然不多，卻包含信號(hào)中的絕大部分信息，繼而實(shí)現(xiàn)采樣與壓縮的同步。因此，構(gòu)建合適的投影矩陣也即觀測(cè)矩陣是本項(xiàng)目的主要研究?jī)?nèi)容。

⑴自適應(yīng)隨機(jī)觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)。目前觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)主要包括隨機(jī)觀測(cè)矩陣、確定性觀測(cè)矩陣和自適應(yīng)觀測(cè)矩陣三種。自適應(yīng)隨機(jī)觀測(cè)矩陣是最近新興起的CS觀測(cè)矩陣構(gòu)造方法，可以同時(shí)降低計(jì)算復(fù)雜度和相關(guān)性。

⑵基于多觀測(cè)向量和稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的CS重建算法研究。大多數(shù)現(xiàn)有的CS重建算法都是針對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行處理，這些算法可以看成是基于單觀測(cè)向量的重建算法。在處理圖像信號(hào)時(shí)，如果能直接對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行處理，將提高算法的計(jì)算效率，同時(shí)也將克服將圖像信號(hào)轉(zhuǎn)換成一維信號(hào)處理對(duì)重構(gòu)圖像質(zhì)量所造成的影響。相關(guān)研究表明，基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（SBL）方法能夠在重構(gòu)過(guò)程中獲得全局最優(yōu)解，因此本項(xiàng)目擬將SBL算法應(yīng)用到CS圖像重構(gòu)中。同時(shí)為了克服傳統(tǒng)算法針對(duì)單觀測(cè)向量模型處理圖像信號(hào)所出現(xiàn)的問(wèn)題，將由圖像信號(hào)觀測(cè)得到的觀測(cè)矩陣的每一列看作是一個(gè)觀測(cè)向量，則觀測(cè)矩陣被看成是由多觀測(cè)向量（MMV）組成的矩陣。本項(xiàng)目結(jié)合MMV和SBL研究一種有效的CS重建算法，以縮短圖像重建的時(shí)間并提高圖像重建質(zhì)量。

⑶利用自適應(yīng)基追蹤去噪方法重構(gòu)CS圖像?；贑S對(duì)含噪聲的圖像進(jìn)行采樣重構(gòu)，其誤差主要來(lái)源于兩個(gè)方面。第一是無(wú)噪聲情況下CS壓縮重構(gòu)本身帶來(lái)的噪聲。第二與信號(hào)本身含有的噪聲大小有關(guān)。本項(xiàng)目將兩類(lèi)情況綜合起來(lái)，把CS采樣和自適應(yīng)基追蹤去噪運(yùn)用到含噪聲的圖像壓縮與重構(gòu)中，既能減少存儲(chǔ)、傳輸所占用的資源，又能在重構(gòu)過(guò)程實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)，保證接收端能夠獲得高質(zhì)量的圖像。

5 總結(jié)與展望

壓縮感知理論的提出，將K-SVD字典和稀疏編碼的思想與壓縮感知相結(jié)合并運(yùn)用于圖像壓縮編碼中以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的圖像編碼方法是本文的中心內(nèi)容。然而，由于壓縮感知理論是一個(gè)新穎的理論，其相關(guān)應(yīng)用還不成熟，因此取代JPEG及JPEG2000算法在圖像壓縮編碼領(lǐng)域的地位還有很長(zhǎng)的路要走[10]。

本文在壓縮感知的理論基礎(chǔ)上，致力研究圖像易于存儲(chǔ)和計(jì)算的CS觀測(cè)矩陣，盡可能地降低重建所需要的觀測(cè)數(shù)目，提高圖像壓縮率；研究CS圖像重構(gòu)算法，降低其計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)縮短重構(gòu)時(shí)間并提高圖像的重構(gòu)質(zhì)量。同時(shí)，通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)，觀察不同參數(shù)下圖像的重構(gòu)質(zhì)量和壓縮比，得到參數(shù)控制結(jié)果的規(guī)律，并經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)和總結(jié)，得到最優(yōu)的參數(shù)值，使得圖像在高壓縮比的基礎(chǔ)上同時(shí)擁有較好的重構(gòu)質(zhì)量。在編程實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)上驗(yàn)證了算法的可行性，然而實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，這種算法是否能夠真正投入到實(shí)際應(yīng)用中，還需要進(jìn)一步經(jīng)過(guò)實(shí)踐的考驗(yàn)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]鄒偉.壓縮感知在圖像處理中的應(yīng)用研究[D].上海交通大學(xué)碩士學(xué)位論文，2012.

[2]DEMOS G.High quality wide-range multi-layer image compression coding system[J].Google Patents，2011.

[3]SINGH P，SINGH P，SHARMA R K.JPEG image compression based on Biorthogonal，Coiflets and Daubechies Wavelet Families[J].Int J Comput Appl，2011，13（1）：1–7.

[4]TALUKDER K H，HARADA K.Haar wavelet based approach for image compression and quality assessment of compressed image[J].arXiv preprint arXiv：1010.4084，2010.

[5]DING J-J，LIN P-Y，HUANG J-D，et al.Morphology-based shape adaptive compression[G].Advances in Multimedia Modeling. Springer，2011：168–176.

[6]CAND?S E J，WAKIN M B.An introduction to compressive sampling[J].Signal Processing Magazine，IEEE，IEEE，2008，25（2）： 21–30.

[7]馮鑫.多尺度分析與壓縮感知理論在圖像處理中的應(yīng)用研究[D].上蘭州理工大學(xué)博士學(xué)位論文，2012.

[8]丁偉.基于壓縮感知的水下圖像處理[D].中國(guó)海洋大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013.

[9]崔佳鵬.基于壓縮感知的圖像壓縮技術(shù)研究與實(shí)現(xiàn)[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程碩士學(xué)位論文，2013.

[10]郎彥昆.壓縮感知技術(shù)及其在數(shù)字圖像壓縮編碼中的應(yīng)用研究[D].北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013.