王公杰，張韌＊，陳建，王輝贊，王璐華

（1.解放軍理工大學 氣象海洋學院，軍事海洋環(huán)境軍隊重點實驗室，江蘇 南京211101）

1 引言

隨著衛(wèi)星遙感技術的興起，各種衛(wèi)星遙感資料包括海表面高度數(shù)據(jù)、海表面溫度數(shù)據(jù)等為海洋研究提供了大量的海表面資料。近年來，越來越多的現(xiàn)場觀測計劃如Argo計劃、TAO計劃以及WOCE等也為海洋學研究提供了大量的三維觀測資料。但無論是衛(wèi)星遙感資料還是現(xiàn)場觀測資料，在時空分布上都存在各自的缺陷。如何將二者有機結合，促進物理海洋動力學和熱力學研究以及提高海洋可預報性，具有重要的科學意義和應用價值。

與數(shù)值天氣預報一樣，精確獲取海洋動力模式的初值，對實現(xiàn)海洋可預報性起到至關重要的作用，而通過將觀測資料與動力模式結合獲取初值的過程便是資料同化［1］。由于海洋資料同化對于計算資源要求很高，最優(yōu)插值等計算代價相對較低的同化方法仍然在資料同化中占有重要的位置。歐洲中尺度天氣預報中心和加拿大一些業(yè)務部門都曾采用該技術作為業(yè)務化分析的主干。隨著四維變分、集合卡曼濾波以及集合卡曼平滑等方法逐步應用到海洋資料同化并取得諸多進展，專門針對最優(yōu)插值的研究已經不多見，學者們多是將最優(yōu)插值作為變分同化以及卡曼濾波等方法的對照。盡管如此，業(yè)務化系統(tǒng)中應用最多的仍是三維變分［2］或最優(yōu)插值方法［3—4］（Kalnay證明了對于單變量的分析時最優(yōu)插值與三維變分在解決同一問題是具有等價性［5］）。

最優(yōu)插值方法的表達式為：x a＝x b＋K（y o－Hx b）［6］，其中x a為最優(yōu)插值得到的變量分析場；x b為背景場（一般從氣候態(tài)數(shù)據(jù)得到）；y o為離散的觀測量；H為觀測算子；K為權重矩陣，也叫增益矩陣，是衡量觀測值與背景值相對大小的權重因子。

經推導可得：K＝BHT（HBHT＋R）－1，其中B為背景場誤差協(xié)方差矩陣（以下簡稱矩陣），R為觀測誤差協(xié)方差矩陣。對于海洋三維場，全球尺度的背景場誤差協(xié)方差的計算量很大，在不考慮平衡算子的前提下，通常的做法是進行矩陣分解，即B＝D1／2CD1／2，其中D是對角方差陣，對角線上的元素表示格點的方差，一般利用氣候序列方法求得，C是相關矩陣，一般利用空間濾波算子計算得到。最簡單最常用的方法將C矩陣中的每個元素μij（即i，j兩空間點的相關系數(shù)）表示成水平距離的函數(shù)，常用的形式有高斯函數(shù)、二階自相關函數(shù)等。高斯函數(shù)形式的相關系數(shù)表達式為：μij＝exp（－／2），其中r ij代表兩點間的空間距離，Lφ代表誤差相關尺度。誤差相關尺度取決于變形半徑，它通過改變背景場的誤差協(xié)方差的結構來影響觀測信息被訂正到背景場上的程度，以及觀測信息在計算空間格點的傳播方式和濾波方式［7］，并影響最終的同化效果。

圖1 最優(yōu)插值方法的一種實現(xiàn)途徑

目前關于海洋資料同化中矩陣的構建主要有3個步驟：一是利用傳統(tǒng)的NMC方法、氣候序列方法、觀測余差法等計算誤差標準差；二是采用不同復雜程度的空間濾波算子構建誤差相關矩陣，如水平距離相關函數(shù)法、擴散方程解算子法［8］等；三是研究變量間相關對背景場協(xié)方差的影響，即對矩陣施加物理約束。相對于大氣而言，海洋中各物理量在時間尺度上變化相對較慢，且觀測稀缺，因此計算誤差標準差的方法絕大多數(shù)限于氣候序列法。當進行單一變量同化時，研究的重點歸結于選出更加合理有效的空間濾波算子。相對于擴散方程解算子法，水平距離相關函數(shù)法更容易實現(xiàn)，因而在資料同化中的應用也更廣泛。舒業(yè)強［9］、Jacob等［10］以及 Meyers等［11］的工作表明采用水平距離函數(shù)作為空間濾波算子是合適的。

然而，前人的研究存在兩個方面的問題：一是采用全場均一的誤差相關尺度或者把整個分析海域分割成若干子區(qū)域，每個子區(qū)域設置為均一尺度，這種做法顯然無法考慮海洋中不同物理過程對B矩陣結構的影響；二是Meyers等的工作對觀測資料的要求較高，無法進行連續(xù)的、大面積的插值實驗。盡管Kalnay［5］以及 Reynolds等［12］的研究中均表明，誤差相關尺度取決于斜壓羅斯貝變形半徑（以下簡稱變形半徑），但是探究其對最優(yōu)插值效果改進的研究尚未開展。隨著基于客觀分析的高分辨率氣候態(tài)溫鹽數(shù)據(jù)的出現(xiàn)，精細刻畫近海陸架陸坡等淺海海域的變形半徑變成可能。本文利用最新的高分辨率區(qū)域氣候態(tài)數(shù)據(jù)計算變形半徑，探討基于變形半徑優(yōu)化的誤差相關尺度方案對最優(yōu)插值結果的改進。

2 計算方法和實驗數(shù)據(jù)

2.1 變形半徑計算

變形半徑是研究大尺度海洋環(huán)流和刻畫中尺度海洋現(xiàn)象，如中尺度渦、沿岸射流和赤道流等的重要尺度。同時，變形半徑也是數(shù)值模式參數(shù)設置的重要參考量，如Qiu［13］指出變形半徑決定了1.5層模式厚度設置，而 LeBlond和 Mysak［14］和 Pedlosky［15］分別證明了數(shù)值模式網格尺度大小要與變形半徑相匹配?？梢娋_刻畫淺海海域的變形半徑對于海洋動力學和資料同化的研究均具有重要意義。

在理想狀況下，變形半徑可以從準地轉位渦方程中得到［16］。假設垂向速度可表示為互不相關的垂向函數(shù)和水平函數(shù)的乘積，即：w（x，y，z，t） ＝φ（z）W（x，y，t），那么采用模態(tài)分離技術，可將原始方程轉化為：

式為：N2（z）是聲速，ρ是海水密度。本文采用中性密度梯度算法計算N隨深度的分布。方程（2）的邊界條件是：z＝0時φ＝0；z＝－H時，φ＝0，其中H代表水深。

采用中央差格式離散特征值方程，求解斜壓羅斯貝變形半徑的問題變成了求解方程（2）的Sturm－Liouville特征值問題［17］。為保證解出的特征值為實數(shù)，必須保證特征矩陣的對稱性，故先對溫鹽剖面數(shù)據(jù)進行Akima插值，得到等間隔深度處的溫度和鹽度值。其特征值μ＝－（Chelton等［18］），而第m階變形半徑λm的表達式如公式（3）、（4），式中的c m是第m模態(tài)的斜壓重力波速。

圖2 東亞海域水深分布（a）和第一斜壓Rossby變形半徑分布（b）

2.2 實驗區(qū)域和數(shù)據(jù)

研究區(qū)域選取中國東部海域及其附近海域（以下稱實驗海域）。該海域受季風影響顯著，外有強西邊界流（黑潮）和太平洋潮波傳入作用，內有長江、黃河等大陸徑流輸入淡水泥沙等引起的浮力驅動，明顯的季節(jié)變化形成獨特的溫鹽結構和復雜的環(huán)流系統(tǒng)。黑潮作為該海域最重要和典型的海流，攜帶大量的熱量流向中高緯度海域，其變化會對中國近海的溫鹽和環(huán)流結構產生重要的影響，同時也顯著影響著周邊大陸的氣候。研究該海域斜壓羅斯貝變形半徑的變化，對進一步認識海洋動力過程，了解大尺度環(huán)流和中尺度渦旋，以及確切刻畫海洋環(huán)境的氣候態(tài)特征，大有裨益。

由WKB近似公式可以看出，斜壓重力波速顯著地受到地形變化和海洋層結的影響。在實驗海域，海底地形復雜，如圖2a所示：在西邊界流海域，琉球海溝、東海大陸架以及一系列的海脊、海山縱橫交錯，地形的水平梯度很大，變形半徑也隨地形顯著變化。另一方面，由于近海陸架、陸坡區(qū)域的海水性質受陸地、季風以及潮汐的淺海效應影響，海水的垂向混合機制復雜，層結變化差異明顯，也將導致變形半徑的強烈變化。這要求我們必須采用高分辨率溫鹽資料，來描述變形半徑的精細變化。

美國國家海洋數(shù)據(jù)分發(fā)中心（NODC）與韓國國立漁業(yè)發(fā)展研究所合作開發(fā)了一套基于客觀分析的高分辨率的區(qū)域氣候態(tài)溫鹽數(shù)據(jù)：水平分辨率有1°、（1／4）°和（1／10）°3種；垂向按照 NODC標準層從0 m向下到5 500 m分為102層，覆蓋范圍是24.0°～52.0°N，115.0°～143.0°E。本文采用（1／10）°分辨率的溫鹽數(shù)據(jù)計算變形半徑，分析變形半徑的地理分布特征及其影響因子。

求解Sturm－Liouville特征方程，得到實驗海域第一斜壓Rossby變形半徑的空間分布，如圖2b所示?？梢钥闯?，變形半徑在近岸海域相對較小，大部分區(qū)域都小于10 km，這可能是由于近岸海域混合較明顯，浮性頻率上下均一造成的，說明近海的水文特性主要受局地小尺度過程的影響；而在琉球群島鏈附近，由于地形變化劇烈，變形半徑分布與地形變化類似，島鏈兩側深厚海溝的存在使得變形半徑迅速從幾公里變?yōu)?0 km左右，變形半徑的梯度出現(xiàn)極值，這說明該海域地形對變形半徑的影響占據(jù)主導地位，這與日本本州島東京灣正南偏東方向的七島—硫磺島海嶺附近的情形相仿。西北太平洋海域主要受到副熱帶流系以及大洋西傳的Rossby波的控制，變形半徑（大約為50～60 km）的分布，主要體現(xiàn)了這些物理過程的尺度。黑潮流經海域，由于黑潮攜帶來自北赤道流的高溫、高鹽海水與東中國海局地水文性質存在較大差異，形成了明顯的西邊界流鋒區(qū)，鋒區(qū)變形半徑的分布與東海黑潮的流線分布基本吻合，說明該海域海洋動力過程的水平特征尺度受黑潮影響很大。

2.3 對比實驗設計

模式框架采用法國的ISAS（In－Situ Analysis System），它是一套基于最優(yōu)插值的數(shù)據(jù)融合系統(tǒng)，已經實現(xiàn)業(yè)務化運行［3］。分析表明，無論采用高斯函數(shù)或二階自回歸函數(shù)（SOAR）作為擬合函數(shù)，當誤差相關尺度發(fā)生改變時，相關函數(shù)曲線及相應的背景場誤差協(xié)方差矩陣的形式會發(fā)生相應的調整，進而直接影響最優(yōu)插值結果（圖3）。從最優(yōu)插值原理看，實測資料的數(shù)量和質量會影響影響插值結果，在確保質量的前提下，實測資料分布越廣泛，所含有的局地、實時的海洋信息就越多，所得到的插值效果也越好。在實測資料數(shù)量有限的前提下，合理擴大誤差相關尺度，可以防止插值結果所包含的觀測信息過少，從而在一定意義上可以改進插值產品。然而，誤差相關尺度并非越大越好，相關尺度越大，其平滑效果越明顯，過大時可能會因為不同觀測數(shù)據(jù)之間相互干擾或者抵消，使得插值效果變差。對比實驗中，分別引入了均一化尺度和基于變形半徑的尺度兩種方案，而ISAS自帶的尺度方案（雙尺度方案：熱帶副熱帶海域呈現(xiàn)大尺度均一的特征，中高緯度隨緯度升高而減小）作為實驗對照方案。均一尺度方案分別選擇20 km，50 km，80 km，100 km，150 km，200 km為相關尺度；而變形半徑方案，則通過將誤差相關尺度分別設置為不同的變形半徑倍數(shù)（即空間點的誤差相關尺度設為該點變形半徑的倍數(shù)），來實驗探究其對插值結果的影響。實測資料只選擇Argo剖面，其他來源的實測資料如：CTD、XBT等用來對比評價插值產品的質量。評價插值效果，采用均方根誤差RMS作為指標，RMS的計算方法如公式（5），其中指標m代表垂向的層次，n代表各個層上觀測點的個數(shù)，N代表觀測點的總數(shù)。其中，xanai，j是由分析場上的格點值插值到觀測點的位置處得到。實施最優(yōu)插值過程中，只對上層1 000 m海域的溫度場進行插值實驗，垂向分為102層，水平的網格為（1／2）°×（1／3）°的 Mercator格點。

圖3 不同誤差相關函數(shù)對于相關系數(shù)的影響

3 實驗結果和對比分析

3.1 不同方案間均方根誤差的比較

基于均一化相關尺度方案插值得到的溫度場均方根誤差剖面如圖4，均方根誤差如表1。從中可以看出：無論去取何種相關尺度，均一化尺度方案最終的誤差都要小于ISAS自帶的尺度方案的誤差。選用80 km作為尺度半徑時，各層的均方根誤差分布以及各層平均的均方根誤差均是最小，約為1.025℃。隨后，計算變形半徑方案中各層的均方根誤差隨深度的變化（見圖5）以及各層平均的誤差（見表2）。與均一尺度方案類似，變形半徑方案中當L＜8R時各層誤差以及深度平均的誤差均小于ISAS方案，這與前文中關于誤差相關尺度不可任意增大的結論是符合的；直接取L＝R時效果并不佳，可能原因是誤差相關尺度太小時，分析場所包含的的觀測信息太少；當取L＝2R時，整體效果最好，平均誤差僅為1.007℃，比ISAS方案降低了0.15℃。

圖4 采用均一化相關尺度的各層均方根誤差的分布

表1 不同誤差相關尺度的插值結果比較——均方根誤差

從圖4和圖5可見，均一尺度方案和變形半徑方案各層誤差的分布大體類似。以變形半徑方案的結果為例分析各層誤差特征。如圖5所示，無論以何種方式設置誤差相關尺度，插值的誤差隨深度變化均很大，大體上呈現(xiàn)“一大二小”的三峰式分布：即溫躍層附近誤差最大，上表層和450 m深度處次之，500 m以深誤差隨深度逐漸減小。上表層屬上混合層的范圍，溫度受到海表感熱交換和潛熱交換的影響，本身存在一定的日變化，而插值中受制于實測資料數(shù)量的局限性，本文的時間窗寬設置為前后15 d，可能因此使得表層誤差偏大。在混合層以下溫躍層處，由于溫躍層內溫度變化本身就很大，實測資料的個數(shù)占總格點數(shù)的比例不超過5%，且實測數(shù)據(jù)多數(shù)是CTD和XBT資料，在溫躍層深度并不一定有加密觀測，而實測剖面資料在垂向上已經通過Aki ma方法插值到標準層，因此用作檢驗插值結果的實測數(shù)據(jù)本身就不一定能夠反映溫躍層的真實信息，這可能也是溫躍層處插值效果較差的原因。在450 m深度附近，多數(shù)插值實驗均出現(xiàn)一個較弱的誤差峰值區(qū)，當誤差相關尺度設置過大時，誤差峰值也越大，這多是因為不合理的誤差相關尺度設置造成的虛假信息。在500 m以深的地方，均方根誤差隨水深逐漸減小，這與海水在下層性質比較穩(wěn)定、溫度變化平緩的特征相吻合。

圖5 不同乘積因子的相關尺度的插值結果的各層均方根誤差分布

表2 不同乘積因子作用下的誤差相關尺度對插值結果的誤差影響

整體來看，80～400 m深度（大致位于溫躍層內）誤差最大，均大于1.2°C。除日本海以外，水深大于400 m的海域多數(shù)位于黑潮路徑以及副熱帶環(huán)流區(qū)域，因此溫躍層處的插值誤差可能與黑潮有關。根據(jù)SODA數(shù)據(jù)獲得135°E斷面的流場分布 （圖6），黑潮流軸恰好在300 m左右，影響區(qū)域大約在450～500 m以淺。因此，500 m以淺的溫躍層處的插值誤差受黑潮的影響。黑潮與周圍水團的水文性質的巨大差異，使得當觀測資料較少時，插值的結果無法刻畫精細變化，當與實時或準實時的CTD、XBT資料對比時，誤差較大。

圖6 135°E斷面的緯向流速（cm／s）分布正值代表流速向東，負值代表流速向西

3.2 不同方案間溫度場空間分布的對比

選擇各個方案中誤差最小的誤差相關尺度設置得到的溫度場進行分析，并與同時期的SODA資料進行對比，結果如圖7。序號1、2、3、4分別代表均一尺度方案（80 km）、ISAS尺度方案、變形半徑方案（2倍）和SODA資料在A（50 m）、B（100 m）、C（200 m）和D（460 m）深度處的溫度分布。

對于均一尺度方案和ISAS方案，其Mercator格點的表觀分辨率（1／2）°×（1／3）°高于SODA 資料（1／2）°×（1／2）°，但是4個典型層次層上的溫度場卻無法體現(xiàn)SODA資料描述的一些細節(jié)，一些中尺度的現(xiàn)象無法分辨出來。均一化尺度方案結果在50 m、100 m、200 m深度處，黑潮附近的水平溫度梯度無法體現(xiàn)，尤其是50 m深度處無法刻畫黑潮的平流輸運作用對于局地溫度場的影響；100 m深度處，九州島東南方向處出現(xiàn)一個小的暖中心（見圖7中子圖b1）；200 m深度處，均一尺度方案得到的溫度場黑潮的平流作用顯得過寬，與黑潮實際流幅不符；460 m深度處的均一尺度方案的溫度場與SODA相比，暖中心面積更大，不能體現(xiàn)出“一大一小”的雙中心配置。在分析各層溫度的極小值分布時發(fā)現(xiàn)，均一化的尺度方案得到的插值溫度場，在有些層次出現(xiàn)了－5.3℃的非正常溫度，這表明均一化的誤差相關尺度對真實物理場的平滑作用過于強烈，既濾掉很多有用的信息，也無法保證插值結果的可靠性。

分析2倍變形半徑作為誤差相關尺度時的4個典型層次的溫度分布。圖中，基于變形半徑的尺度方案，可以更好地呈現(xiàn)細節(jié)變化。在50 m和100 m深處，在日本四國島東南方向，存在中心大約位于28°N，136°E的偏冷中心（圖7中子圖a3和a3），且可一定程度上刻畫黑潮對熱量的平流輸運作用，這與SODA結果（圖7中子圖a4和a4）類似；而基于均一尺度方案的結果在50 m深度處偏冷中心的位置更偏東南，且中心溫度更低；ISAS自帶尺度方案在50 m和100 m深度處溫度場過于平滑，且在日本以南海域溫度偏暖（圖7中子圖a2和b2）。在200 m深度處，變形半徑插值結果與SODA資料相比，均可體現(xiàn)日本列島沿岸黑潮流經區(qū)域水平方向的溫度梯度及在琉球群島附近存在的呈“東北—西南”方向的暖中心區(qū)域。但是插值溫度場相比于SODA資料，其暖中心偏弱。在460 m深度處，變形半徑插值結果可以較好地刻畫日本本州島南側“一大一小”的暖中心結構，而這是均一尺度方案和ISAS自帶尺度方案（圖7中子圖d1和d2）不能刻畫的。因此變形半徑方案的插值結果更符合物理規(guī)律和客觀事實。

圖7 不同方案間溫度場空間分布對比

在日本以南海域，無論何種分析結果，460 m深度處均存在明顯的暖中心，事實上該區(qū)域自240～700 m深度處一直存在較強的暖中心。管秉賢［20］處理水文觀測資料時發(fā)現(xiàn)在伊豆海脊左右兩側存在暖渦。那么該暖中心的維持機制是什么呢？從圖8中SODA流場分布來看，該區(qū)域自上而下存在著很強的反氣旋渦旋。反氣旋渦旋，對應海表面海水輻聚，SSH呈現(xiàn)高值中心（見圖9）。該海域Argo浮標的溫度垂向分布表明，四國海盆海域的溫躍層深度大約在150～550 m之間。根據(jù)Alexis Chaigneau等［21］關于渦旋三維結構的探究，渦旋的冷暖異常表現(xiàn)在溫躍層的深度，因此插值結果中460 m深度處溫度場的暖中心主要由渦旋抽吸作用決定。對于50 m和100 m深度處的插值溫度場而言，這兩層處于上混合層中，從黑潮主軸上脫落的反氣旋渦中滯留著來自近岸海域的冷水，從而造成該區(qū)域的偏冷現(xiàn)象，其實質是上混合層的溫度垂向差異較小，下降流對水平溫度分布影響不明顯，黑潮流速和渦旋流速對溫度場的平流輸運起主要作用。變形半徑方案中，50 m和100 m深度處的溫度場中并未出現(xiàn)如SODA資料中明顯的反氣旋渦，一方面因為SODA資料是基于數(shù)值模式同化的再分析資料，其溫度場與流場是相互適應的；另一方面，這兩層的溫度場同時受到黑潮本身強勁的平流輸運作用和反氣旋渦的作用，溫度分布不完全呈現(xiàn)反氣旋渦的形態(tài)是合理的。實際上，在該區(qū)域200 m深度即黑潮的主軸處，反氣旋渦對溫度場的影響幾乎全部被黑潮掩蓋（見圖7子圖c3和c4）。

圖8 日本以南海域各個典型層次上SODA流場（單位：m／s）與基于變形半徑的插值溫度場（單位：℃）溫度場中的等值線依次是20℃（50 m），19.5℃（100 m）以及14.0和13.2℃（450 m）

圖9 海表面高度（a），插值溫度場（b）和Argo剖面的溫度（c）分布

4 小結

提出了基于變形半徑計算來改進最優(yōu)插值中誤差相關尺度的研究思想和技術途徑，通過與均一化尺度方案及法國ISAS提供的尺度方案的實驗比較，得到如下見解：

（1）在實驗海域，由于各物理過程的空間尺度極不均勻，變形半徑變化復雜，近海約為10 km以內，深海為60 km左右，主要受地形和層結影響；在西邊界流海域，主要受黑潮影響，變形半徑的空間分布與黑潮流徑接近重合。

（2）盡管80 km的均一尺度方案的均方根誤差較小，但是其插值溫度場無法反應真實環(huán)境：一方面是空間尺度較大、溫度場過于平滑，另一方面是無法刻畫一些重要的物理現(xiàn)象，且溫度出現(xiàn)不合理的極值。

（3）相比而言，基于2倍變形半徑的相關尺度方案的表現(xiàn)最好：一是均方根誤差最小，整體平均為1.007°C；二是能合理刻畫該時段四國海盆海域的典型溫度分布的三維結構：即上混合層受到渦旋對熱量的平流作用在四國海盆區(qū)域出現(xiàn)偏冷中心，200 m深度處受黑潮平流輸運作用控制，460 m深度的溫度場受渦旋抽吸作用控制而表現(xiàn)出暖中心。

（4）需指出的是，當直接采用變形半徑作為相關尺度時，插值結果并不理想；當誤差尺度設置過大時，如在均一尺度方案中的200 km以及8倍變形半徑方案，均方根誤差也很大。這說明誤差相關尺度不能任意設置，而需有一定的范圍。

（5）由于實際海洋中各層次物理過程的尺度存在差異，各層的最優(yōu)尺度設置也不盡相同。這說明應在不同層次使用不同的誤差相關尺度。海洋三維誤差相關尺度研究對了解背景場誤差協(xié)方差矩陣的結構非常必要。

最優(yōu)插值的目的是利用不規(guī)則分布的觀測資料獲取整個分析區(qū)域的海洋資料，以便分析關心海域的動力學和熱力學特征，故考慮海洋物理過程對插值結果的調制是必要的?；诖?，本文尚存在一些不足和需改進之處：首先是在實驗中按Z坐標系垂向分層，除人為將各層誤差相關尺度設置為相同值外，在垂向上也是均勻分層，沒有考慮溫躍層傾斜等問題，這無疑難以考慮更多的物理過程，比如海流的平流輸運作用對溫度的影響。考慮環(huán)流的影響，在海流沿著等密度面運動的區(qū)域，如果在將分層設置為等密度面的基礎上考慮基于距離的背景場誤差相關函數(shù)，可能會更好的刻畫物理事實。這些問題都有待在進一步的研究中予以考慮和解決。

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