王杰方，安偉光，宋向華

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中，結(jié)構(gòu)可靠性并不是唯一的度量標(biāo)準(zhǔn)，分析關(guān)于結(jié)構(gòu)性能參數(shù)的可靠性敏度也是十分重要的［1］。可靠性敏度分析是一種定量的確定基本變量分布參數(shù)的變化對結(jié)構(gòu)失效概率的影響程度的方法，它能夠?yàn)殍b別最重要的設(shè)計(jì)參數(shù)提供重要的信息。

目前，對可靠性敏度方法的分析和研究十分廣泛［2-4］，主要有3類:1)針對線性或非線性程度不高的極限狀態(tài)方程，采用基于改進(jìn)的一次二階矩(the advanced first order and second moment method，AFOSM)和概率網(wǎng)格評估方法(probabilistic network evaluation technique，PNET)相結(jié)合的近似解析法［5-6］(AFOSM-PNET法);2)針對隱式極限狀態(tài)方程，采用基于Monte-Carlo法［7］和基于自適應(yīng)重要抽樣的數(shù)值模擬法［8］;3)利用隨機(jī)響應(yīng)面法［9］將隱式的結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成顯式函數(shù)，并在顯式響應(yīng)函數(shù)基礎(chǔ)上采用第1類方法進(jìn)行敏度分析。第1類方法計(jì)算工作量較小，但不適合非線性程度高的極限狀態(tài)方程;第2類方法適用于任何情況的極限狀態(tài)方程，但對于小失效概率情況下的大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的敏度分析，這類方法的計(jì)算效率很低。另外，文獻(xiàn)［10］中還介紹了基于線抽樣的可靠性敏度分析方法。

為了解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的敏度分析問題，本文提出了基于有限步長迭代法(limit step length iteration method，LSLIM)和逐步等效平面法(step-bystep equivalent plane method，SSEPM)的可靠性敏度分析方法——LSLIM-SSEPM法。

1 系統(tǒng)失效概率的敏度表達(dá)式

1.1 等效可靠性指標(biāo)

假設(shè)系統(tǒng)的基本隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(若不服從正態(tài)分布，可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布)，經(jīng)有限步長迭代法處理后，將非線性的安全余量轉(zhuǎn)化為用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量表示的線性等效功能函數(shù):

式中:yj( j=1，2，…，n)是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的基本 隨 機(jī) 變 量， Bi= (Bi1，Bi2，…，Bin)(i=1，2，…，m )為單位向量，第i個等效功能函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)βi為其等效可靠性指標(biāo)。

式中:ρ12為2個失效模式的相關(guān)系數(shù)，βe為該串聯(lián)體系的等效可靠性指標(biāo)。

1.2 系統(tǒng)失效概率的敏度表達(dá)式

由式(2)有，2個失效模式的串聯(lián)系統(tǒng)失效概率對基本隨機(jī)變量xi的均值μxi的一階敏度為

式中:φ()·為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。將上式中的μxi換成σxi即為系統(tǒng)失效概率對基本隨機(jī)變量xi的標(biāo)準(zhǔn)差σxi的一階敏度。

由二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布得

1.3 安全余量中含綜合隨機(jī)變量的敏度分析

將綜合隨機(jī)變量zj表示為基本隨機(jī)變量的函數(shù)

式中:zj為安全余量中第j個綜合隨機(jī)變量，中下標(biāo)a、b、c表示zj中所含的基本隨機(jī)變量在所有的基本隨機(jī)變量中的位置編號，中的上標(biāo)j表示基本隨機(jī)變量xa出現(xiàn)在第j個綜合隨機(jī)變量zj中。

假設(shè)某個基本隨機(jī)變量xa只出現(xiàn)在綜合隨機(jī)變量中，根據(jù)復(fù)合求導(dǎo)法則，系統(tǒng)失效概率對基本隨機(jī)變量xa的均值μxa的一階敏度為

將上式中的μxa換成σxa即為系統(tǒng)失效概率對基本隨機(jī)變量xi的標(biāo)準(zhǔn)差σxa的一階敏度。

1.4 多失效模式串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性敏度分析

多失效模式(m＞2)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性敏度分析步驟為:

式中:串聯(lián)系統(tǒng)的等效可靠指標(biāo)βe1公式為

3)由式(3)及最后一次等效所得的參數(shù)可得多失效模式系統(tǒng)失效概率對基本變量xi的均值的偏導(dǎo)數(shù)。

2 單個失效模式可靠性指標(biāo)敏度表達(dá)式

從上節(jié)可知，只要確定 ?β1/?μxi、?β2/?μxi、?β1/?σxi、?β2/?σxi，即可求得系統(tǒng)失效概率的敏度表達(dá)式。將非線性的失效模式功能函數(shù)線性化是求解單個失效模式可靠性指標(biāo)的敏度表達(dá)式的前提，本文給出的LSLIM-SSEPM法采用有限步長迭代法來處理這一線性化的過程，其優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快、迭代精度高，對于非線性程度較高的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)也是適用的。

2.1 功能函數(shù)線性化

對于結(jié)構(gòu)功能函數(shù)非線性程度較高的情況，用改進(jìn)的一次二階矩法計(jì)算可能會出現(xiàn)迭代不收斂，為了解決求解可靠性指標(biāo)迭代不收斂的情況，采用可調(diào)節(jié)步長的有限步長迭代法，依據(jù)有限步長迭代法有

采用式(11)～(13)獲得收斂的迭代驗(yàn)算點(diǎn)x*，那么，在迭代驗(yàn)算點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開，獲得式(1)中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下的線性化等效功能函數(shù)為

式中:

yi為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的基本隨機(jī)變量。

2.2 單個失效模式可靠性指標(biāo)的敏度表達(dá)式

對于任意形式的安全余量，其單個失效模式的可靠性指標(biāo)對基本變量均值的敏度表達(dá)式可以表示為［5］

由于μxi=σxi/νi，所以單個失效模式的可靠性指標(biāo)對基本變量標(biāo)準(zhǔn)差的敏度表達(dá)式為

由式(15)中可知，基本隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時，變異系數(shù) νi( i=1，2，…，4 )為無窮大，因此式(15)的分子中第2項(xiàng)的值為0，則式(15)可簡化為

采用等效步長迭代法分析系統(tǒng)敏度時，由于線性化的等效功能函數(shù)中的基本隨機(jī)變量為相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，因此單個失效模式對基本隨機(jī)變量均值的敏度可以表示為式(17)所示的最簡化的表達(dá)式。

3 LSLIM-SSEPM方法驗(yàn)證

3.1 算例1

驗(yàn)證逐步等效平面法計(jì)算失效概率的有效性，并給出改進(jìn)計(jì)算精度的方法。設(shè)4個線性化的安全余量為［11］

假設(shè)上述6個基本隨機(jī)變量均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)分布且相互獨(dú)立。算例可靠性指標(biāo)很高，因此在采用Monte-Carlo法計(jì)算失效概率時，需要很高的打點(diǎn)次數(shù)才能滿足計(jì)算精度的要求。本文的打點(diǎn)次數(shù)為1 000 000組，由于Monte-Carlo法得到的失效概率具有一定的隨機(jī)性，為保證結(jié)果的精確性，經(jīng)過60次計(jì)算，得到趨于穩(wěn)定的系統(tǒng)失效概率平均值為μPf=4.929 8 ×10-4。

經(jīng)試算發(fā)現(xiàn)，逐步等效平面法的計(jì)算結(jié)果與等效路徑有關(guān)，將算例1中的4個安全余量按不同的等效路徑進(jìn)行逐步等效，所得的計(jì)算結(jié)果如表1所示，表1的最后一列給出了逐步等效平面法的計(jì)算結(jié)果與Monte-Carlo法的計(jì)算結(jié)果μPf=4.929 8×10-4的誤差。

表1 算例1的失效概率Table 1 The failure probability of example 1

從表1可知:

1)對比第1、3、5三組數(shù)據(jù)可知，將可靠性指標(biāo)最低的安全余量(M3)在等效路徑中安排得越靠前，計(jì)算精度越低;對比第7、9、11三組數(shù)據(jù)可知，將可靠性指標(biāo)最高的安全余量(M2)在等效路徑中安排得越靠前，計(jì)算精度越高。

2)對比第1(按可靠性指標(biāo)從高到低排列)和7(按可靠性指標(biāo)從低到高排列)兩組數(shù)據(jù)可知，若等效路徑按可靠性指標(biāo)從高到低排序，計(jì)算誤差(1.01%)小于按可靠性指標(biāo)從低到高的排序的誤差(11.36%)。

因此，在利用逐步等效平面法計(jì)算系統(tǒng)失效概率的過程中，按可靠性指標(biāo)由高到低來安排等效路徑是提高計(jì)算精度的有效方法。在后續(xù)算例中進(jìn)行可靠性敏度分析時也將利用這一結(jié)論。

3.2 算例2

設(shè)4個線性安全余量分別為

求4個安全余量組成的串聯(lián)系統(tǒng)失效概率對基本隨機(jī)變量均值的敏度。x1、x2、x3、x4為不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。分別采用文獻(xiàn)［7］中基于Monte-Carlo的方法、文獻(xiàn)［5］中的AFOSM-PNET方法以及本文的LSLIM-SSEPM所得計(jì)算結(jié)果見表2。表2中給出了由以上3種方法獲得的系統(tǒng)失效概率Pf、系統(tǒng)失效概率對基本變量均值的敏度?Pf/?μxi以及運(yùn)算時間t。

表2 算例2的計(jì)算結(jié)果Table 2 The results of examp le 2

從表2中可以得出以下結(jié)論:

1)采用以上3種方法所得的計(jì)算結(jié)果能基本保持一致，這也說明了本文給出的LSLIM-SSEPM法用于分析具有線性安全余量系統(tǒng)可靠性敏度的可行性。

2)運(yùn)算時間方面，基于Monte-Carlo法的敏度分析方法是最耗時的，AFOSM-PNET法和LSLIM-SSEPM法的計(jì)算量都比Monte-Carlo法要小得多，這也說明了本文給出的LSLIM-SSEPM法的高效性。

因此，在進(jìn)行具有線性安全余量的系統(tǒng)可靠性敏度分析時，LSLIM-SSEPM法是可行且高效的。

采用LSLIM-SSEPM法對算例2進(jìn)行敏度分析，并在表3中給出了不同的等效路徑對應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。以基于Monte-Carlo法的敏度分析方法的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，從表3中可以得到以下結(jié)論:

1)不同的等效路徑下，系統(tǒng)失效概率對基本隨機(jī)變量敏度的計(jì)算結(jié)果差別較大，例如，將表3中的第1組數(shù)和第7組數(shù)相比，敏度值的偏差達(dá)到20%以上，這說明采用LSLIM-SSEPM法分析系統(tǒng)可靠性敏度時，選擇正確的等效路徑是十分重要的。

2)等效路徑取表3的1～3組，采用LSLIM-SSEPM法所得的敏度結(jié)果與基于Monte-Carlo法的敏度分析方法獲得的結(jié)果差別較大，這3種等效路徑的共同點(diǎn)是:可靠性指標(biāo)高的安全余量(M4)在等效路徑中被安排的較靠后;等效路徑取表3中的4～7組時，采用LSLIM-SSEPM法所得的敏度結(jié)果與基于Monte-Carlo法的敏度分析方法獲得的結(jié)果相比，誤差相對較小，這4種等效路徑的共同點(diǎn)是:可靠性指標(biāo)低的安全余量(M1)在等效路徑中被安排得較靠后。

因此，將可靠性指標(biāo)越高的安全余量安排在等效路徑的前面，且將可靠性指標(biāo)越低的安全余量安排在等效路徑的后面，LSLIM-SSEPM法的計(jì)算結(jié)果越可靠。

表3 不同的等效路徑時算例2的計(jì)算結(jié)果Table 3 The results of exam p le 2 at different equivalent paths

3.3 算例3

假設(shè)2個串聯(lián)的安全余量表達(dá)式如下

式中:隨機(jī)變量R1～R5以及P的概率分布類型和統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表4。

表4 隨機(jī)變量的概率分布類型和統(tǒng)計(jì)參數(shù)Table 4 The probabilistic distribution type and statistic parameters of random variables

按照等概率原則，用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量表示2個非線性功能函數(shù)為

將上述2個功能函數(shù)線性化為

表5中分別給出了采用Monte-Carlo法計(jì)算的式(19)的2個非線性和式(20)的2個線性化后的功能函數(shù)的可靠性指標(biāo)以及系統(tǒng)可靠性指標(biāo)。

由表5可知，采用本文式(11)～(14)的方法對算例3中的2個非線性的安全余量進(jìn)行線性化后所得的可靠性指標(biāo)值與非線性的安全余量的可靠性指標(biāo)值的結(jié)果相近，這說明采用本文的方法對非線性的安全余量進(jìn)行線性化是可行的。

表5 算例3的可靠性指標(biāo)Table 5 The reliability index of examp le 3

分別采用文獻(xiàn)［7］中基于Monte-Carlo的方法、文獻(xiàn)［5］中的方法(AFOSM-PNET法)以及LSLIMSSEPM法對算例3進(jìn)行敏度分析。為了保證計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，在基于Monte-Carlo法的敏度分析方法中，基本隨機(jī)變量的打點(diǎn)次數(shù)為10 000 000組。表6中給出了由以上3種方法獲得的系統(tǒng)失效概率Pf、系統(tǒng)失效概率對基本變量均值的敏度?Pf/?μyi以及運(yùn)算時間t。

從表6中可知:

1)采用以上3種方法所得的計(jì)算結(jié)果能基本保持一致。且Monte-Carlo法和本文的LSLIM-SSEPM法結(jié)果更為接近，這也說明了本文的LSLIM-SSEPM法用于分析具有非線性安全余量系統(tǒng)可靠性敏度的可行性，且LSLIM-SSEPM法比基于Monte-Carlo法的敏度分析方法更高效，比AFOSM-PNET法的計(jì)算結(jié)果更精確。

2)就運(yùn)算時間而言，為了保證基于Monte-Carlo法的敏度分析方法的計(jì)算精度，必須保證基本隨機(jī)變量的打點(diǎn)數(shù)，從表6中可以看出這種方法是最耗時的，對比AFOSM-PNET法和LSLIM-SSEPM法，其運(yùn)算時間都很短，這也說明了本文給出的LSLIMSSEPM法的高效性。

因此，在進(jìn)行具有非線性安全余量的系統(tǒng)可靠性敏度分析時，LSLIM-SSEPM法是可行且高效的。

表6 算例3的計(jì)算結(jié)果Table 6 The results of examp le 3

4 結(jié)論

本文提出了一種可靠性靈敏度分析方法——LSLIM-SSEPM法，并給出了改進(jìn)該方法計(jì)算精度的措施。從算例中可得出如下結(jié)論:

1)在計(jì)算系統(tǒng)失效概率時，按可靠性指標(biāo)由高到低來安排等效路徑是提高計(jì)算精度的有效方法;

2)LSLIM-SSEPM法和基于Monte-Carlo的敏度分析方法計(jì)算結(jié)果相近，但LSLIM-SSEPM法比基于Monte-Carlo的敏度分析方法效率高;在LSLIM-SSEPM法和AFOSM-PNET法計(jì)算量都很小的情況下，LSLIMSSEPM法的計(jì)算結(jié)果比AFOSM-PNET法更精確;

3)在多失效模式的系統(tǒng)中，將可靠性指標(biāo)越高的安全余量安排在等效路徑的前面，且將可靠性指標(biāo)越低的安全余量安排在等效路徑的后面，LSLIMSSEPM法的計(jì)算結(jié)果越可靠。

LSLIM-SSEPM法具有通用性，可用MATLAB編寫通用的計(jì)算程序，具有一定的工程實(shí)用價值。

［1］VALDEBENITOM A，JENSENH A，SCHUELLERG I，et al.Reliability sensitivity estimation of linear systems under stochastic excitation［J］.Computers and Structures，2012，92-93:257-268.

［2］宋軍，呂震宙.非正態(tài)變量可靠性靈敏度分析方法［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2008，30(1):52-57.SONG Jun，LU Zhenzhou.Reliability sensitivity method for non-normal variable ［J］.Journal of Mechanical Strength，2008，30(1):52-57

［3］楊周.非正態(tài)分布參數(shù)的機(jī)械構(gòu)件的可靠性靈敏度與可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)［D］.沈陽:東北大學(xué)，2010:23-26.YANG Zhou.Reliability-based sensitivity and reliability-based robust design for mechanical components with non-normal random variables［D］.Shenyang:Journal of Mechanical Strength，2010:23-26.

［4］楊杰，張崎，黃一.結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度因子的一種新指標(biāo)［J］.工程力學(xué)，2013，30(6):16-21.YANG Jie，ZHANG Qi，HUANG Yi.A new sensitivity factor for structural reliability［J］.Engineering Mechanics，2013，30(6):16-21.

［5］趙維濤，張大千，于秀坤，等.空間梁板結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化的全局最優(yōu)解［J］.上海航天，2007，5:1-4.ZHAOWeitao，ZHANG Daqian，YU Xiukun，et al.Global optimal solution of space beam-plate structural reliability optimization ［J］.Aerospace Shanghai，2007，5:1-4.

［6］安偉光，孫克淋，陳衛(wèi)東，等.隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2005，26(10):1175-1182.ANWeiguang，SUN Kelin，CHEN Weidong，et al.Optimum design based on reliability in stochastic structure systems［J］.Applied Mathenmatics and Mechanics，2005，26(10):1175-1182.

［7］趙維濤，張旭.基于Monte-Carlo方法的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度計(jì)算及敏度分析［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報，2011，28(2):200-204.ZHAOWeitao，ZHANGXu.Reliability calculation and reliability sensitivity analysis of structural system based on Monte-Carlo method ［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2011，28(2):200-204.

［8］康春華.基于自適應(yīng)重要抽樣的可靠性靈敏度分析方法［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2007，29(6):946-951.KANG Chunhua.Reliability sensitivity analysis based on adaptive importance samplingmethod［J］.Journal of Mechanical Strength，2007，29(6):946-951.

［9］喬紅威，呂震宙，趙新攀.基于隨機(jī)響應(yīng)面法的可靠性靈敏度分析及可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報，2010，27(2):207-212.QIAO Hongwei，LYU Zhenzhou，ZHAO Xinpan.Reliability sensitivity analysis and reliability-based design optimization based on stochastic response surfaces method ［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2010，27(2):207-212.

［10］LYU Zhenzhou，SONG Shufang，YUE Zhufeng，et al.Reliability sensitivitymethod by line sampling［J］.Structural Safety，2008(30):517-532

［11］貢金鑫.工程結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法［M］.大連:大連理工大學(xué)出版社，2003:256-268.GONG Jinxin.Computationalmethods for realiability of engineering structures［M］.Dalian:Dalian University of Technology Press，2003:256-268.