劉 璠，魏宗康

（北京航天控制儀器研究所，北京 100039）

捷聯(lián)慣性組合誤差模型相關(guān)性分析方法

劉 璠，魏宗康

（北京航天控制儀器研究所，北京 100039）

在實(shí)際應(yīng)用中通過(guò)捷聯(lián)慣性組合誤差模型可以將測(cè)量值轉(zhuǎn)換成載體導(dǎo)航解算的需要量，而誤差模型中的誤差系數(shù)一般通過(guò)標(biāo)定試驗(yàn)獲得。以往認(rèn)為誤差模型中各誤差系數(shù)相互獨(dú)立，但通過(guò)實(shí)際計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)并非如此。為了考量各系數(shù)相關(guān)性關(guān)系，提出了一種相關(guān)性分析方法。首先，提出了捷聯(lián)慣組加速度計(jì)輸出方程。之后，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)方法計(jì)算出了各系數(shù)的相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差矩陣，并推導(dǎo)出了測(cè)量值和誤差系數(shù)的分布特性之間的關(guān)系。最后，通過(guò)加速度計(jì)組合的實(shí)際測(cè)試，分別計(jì)算了不包含和包含擬合殘差的統(tǒng)計(jì)數(shù)值。通過(guò)與輸出值進(jìn)行比對(duì)，驗(yàn)證了相關(guān)性分析方法的正確性，并表明擬合殘差對(duì)于統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算具有重要作用。

捷聯(lián)慣性測(cè)量組合；誤差模型；相關(guān)性；協(xié)方差矩陣

捷聯(lián)慣性測(cè)量組合的測(cè)量誤差是捷聯(lián)導(dǎo)航系統(tǒng)的主要誤差源之一，對(duì)系統(tǒng)的導(dǎo)航精度有很大影響，在導(dǎo)航解算前必須對(duì)慣組輸出的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差補(bǔ)償。誤差參數(shù)主要包括陀螺儀和加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)、零位偏差、安裝誤差角以及標(biāo)度因數(shù)不對(duì)稱(chēng)性誤差等，這些參數(shù)需要在使用前進(jìn)行標(biāo)定，到目前為止已經(jīng)提出了許多種標(biāo)定方法[1-5]。因?yàn)槎喾N誤差的影響，在運(yùn)用這些標(biāo)定方法后也無(wú)法測(cè)出誤差系數(shù)的精確值，而這也構(gòu)成了導(dǎo)航誤差的一部分，但是由于標(biāo)定值是在精確值的一定范圍內(nèi)上下波動(dòng)，所以通過(guò)計(jì)算多組標(biāo)定值的統(tǒng)計(jì)特性就可以估計(jì)出導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)航誤差。

在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)導(dǎo)航偏差的估計(jì)具有重要意義。而與以往認(rèn)為的各誤差系數(shù)相互獨(dú)立不同，實(shí)際的計(jì)算結(jié)果證明誤差系數(shù)是相關(guān)的，所以為了分析輸出測(cè)量值和誤差參數(shù)統(tǒng)計(jì)特性之間的關(guān)系，需要一種參數(shù)相關(guān)性分析方法。

首先，本文闡述了捷聯(lián)慣組加速度計(jì)輸出方程。之后，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)方法計(jì)算出了各系數(shù)的相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差矩陣，并推導(dǎo)出了測(cè)量值和誤差系數(shù)的分布特性之間的關(guān)系。最后，通過(guò)加速度計(jì)組合的實(shí)際測(cè)試，分別計(jì)算了不包含和包含擬合殘差的統(tǒng)計(jì)數(shù)值。通過(guò)與輸出值進(jìn)行比對(duì)，驗(yàn)證了相關(guān)性分析方法的正確性，并表明擬合殘差對(duì)于統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算具有重要作用。

1 加速度計(jì)輸出方程

捷聯(lián)慣性組合加速度計(jì)的輸出方程為：

捷聯(lián)慣性組合加速度計(jì)的誤差系數(shù)一般通過(guò)多位置試驗(yàn)進(jìn)行標(biāo)定。在進(jìn)行1組試驗(yàn)后，一般使用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)解算。以X軸為例，經(jīng)過(guò)n次測(cè)量之后，從式(1)中可以得到：

那么，有Y = AX，而通過(guò)計(jì)算可以得到：

因而得到誤差系數(shù)的數(shù)值。

而如果進(jìn)行多組測(cè)量，在每組中慣組在相同位置的測(cè)量值并不完全一樣，因此得到的誤差系數(shù)的解算值也不完全相同。對(duì)于每個(gè)誤差系數(shù)，其數(shù)值會(huì)在一個(gè)水平上下波動(dòng)。在分析輸出與輸入量統(tǒng)計(jì)特性關(guān)系時(shí)，因?yàn)樵陔S機(jī)變量分布分析中，兩個(gè)隨機(jī)向量的乘積運(yùn)算復(fù)雜，難以求得結(jié)果。為了避免這點(diǎn)，設(shè)：

式中， Kai為每組測(cè)量后解算得到的標(biāo)度因數(shù)，為標(biāo)度因數(shù)的解算平均值。忽略二階小量并且考慮擬合殘差后，加速度計(jì)組合的輸出方程可表示為：

一般認(rèn)為，各誤差系數(shù)之間相互獨(dú)立，因此以X軸為例，在一個(gè)位置上，輸入輸出量擁有統(tǒng)計(jì)關(guān)系：

但是，在實(shí)際計(jì)算中可以發(fā)現(xiàn)，式(6)中的方差部分不成立，這是因?yàn)槲锢砩系南嗷ヂ?lián)系導(dǎo)致各誤差系數(shù)并不相互獨(dú)立。當(dāng)使用誤差系數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布推算輸出量的分布特性時(shí)，需要分析各誤差系數(shù)的相關(guān)性。

2 協(xié)方差矩陣和系數(shù)相關(guān)性

而

稱(chēng)為X和Y的相關(guān)系數(shù)。

設(shè)系統(tǒng)輸出方程為：

式中，y為系統(tǒng)輸出，也為測(cè)量值；A為系統(tǒng)各輸入變量組成的向量，為1× m維；X為系統(tǒng)各輸入量對(duì)應(yīng)的系數(shù)值，為 m×1維；ε為計(jì)算殘差。

經(jīng)過(guò)n組測(cè)量后，每組測(cè)量后擬合得到的系數(shù)值為 X1,…,Xn，在每組中選出擁有同樣輸入向量 A的測(cè)量值 y1，…， yn，每個(gè)測(cè)量值對(duì)應(yīng)的解算殘差分別為 ε1,…,εn，則有：

其平均值有關(guān)系式：

定義測(cè)量輸出Y的方差為：

定義擬合殘差E的方差為：

定義X的協(xié)方差矩陣為Σ，則有：

從上式可以看出，輸出 Y的方差除與各項(xiàng)系數(shù)的方差有關(guān)外，還與擬合殘差的方差有關(guān)。如果擬合殘差的影響較小，則有近似關(guān)系：

3 加速度計(jì)組合分析實(shí)例

3.1 加速度計(jì)輸出統(tǒng)計(jì)特性

表1 加速度計(jì)組合6次計(jì)算值Tab.1 6 calibration results of accelerometers

3.2 不考慮擬合殘差時(shí)擬合值統(tǒng)計(jì)特性

按照式(5)，不考慮擬合殘差時(shí)，加速度計(jì)組合X軸的誤差模型可寫(xiě)為：

對(duì)于上式中的各誤差參數(shù)，代入標(biāo)定結(jié)果，得到相關(guān)系數(shù)如表2所示。

表2 X軸各參數(shù)之間相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab2. The correlation of parameters in the X axis

按照式(10)對(duì)應(yīng)式(17)，顯然有：

那么，

此外，加速度計(jì)組合的擬合輸出平均值為：

顯然，這一計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測(cè)試值并不相符，且相差較大。因此，需要考量擬合殘差的影響。

3.3 考慮擬合殘差時(shí)擬合值統(tǒng)計(jì)特性

當(dāng)考慮擬合殘差時(shí)，加速度計(jì)的誤差模型可寫(xiě)為：

對(duì)于增加了擬合殘差后的各誤差參數(shù)，其相關(guān)系數(shù)如表3所示。

此時(shí)有新的向量A和X為：

表3 X軸各參數(shù)之間相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.3 The correlation of parameters in the X axis

新的向量X的協(xié)方差矩陣為：

三個(gè)軸向加速度計(jì)輸出的平均值為：

比較三軸加速度計(jì)平均值、方差的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測(cè)試數(shù)值，可以看出二者相等。顯然，擬合殘差的分布特性會(huì)影響加速度計(jì)輸出的統(tǒng)計(jì)計(jì)算，如果不考慮的話(huà)，結(jié)果將有較大的偏差。

4 結(jié) 論

在本文中，首先引入了統(tǒng)計(jì)學(xué)中隨機(jī)向量協(xié)方差矩陣的計(jì)算方法。然后，推導(dǎo)了隨機(jī)向量的線性函數(shù)中，自變量和因變量之間平均值和方差之間的關(guān)系。之后，以捷聯(lián)慣性組合加速度計(jì)的輸出方程為例，利用實(shí)際標(biāo)定數(shù)據(jù)結(jié)果，對(duì)加速度計(jì)輸出量和輸入量以及擬合殘差的相關(guān)性進(jìn)行了分析。

最終結(jié)果表明，在輸出量的分析中，需要考慮擬合殘差的影響，否則將有較大的偏差。應(yīng)用本文提供的方法可以有效判定實(shí)際使用時(shí)慣組加速度的置信范圍，為確定導(dǎo)航精度提供了可靠的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

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Correlation analysis method for error model of strapdown IMU

LIU Fan, WEI Zong-kang
(Beijing Aerospace Control Device Institute, Beijing 100039, China)

By using the error model of strapdown inertial measurement unit (SIMU), the measurements can be translated into the needed variable, and the error coefficients in the error model are usually obtained by calibration tests. In the past, the parameters were thought to be statistically independent, but it is proved wrong by our calculation. In this paper, a method for analyzing the correlation of parameters is studied. Firstly, the error model of the accelerometer of IMU is given. Then the matrix of covariance and correlation of parameters are calculated out with the knowledge of statistical method. The distribution relation between the measurements and error parameters is deducted. At last, with a real test of IMU accelerometers, the statistic values with and without fitting residues are computed, respectively. The method is proved to be valid by comparing with the statistic value of measurements, and the fitting residues are shown to play an important ro le in the calculation of statistical properties.

strapdown inertial measurement unit; error model; correlation; covariance matrix

1005-6734(2014)05-0567-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.05.002

U666.1

A

2014-05-14；

2014-08-21

民用航天專(zhuān)業(yè)技術(shù)預(yù)先研究項(xiàng)目（D010101）；國(guó)防基礎(chǔ)科研項(xiàng)目（B030080021）

劉璠（1987—），男，工程師，從事導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制專(zhuān)業(yè)研究。 E-mail：finelf@sina.com